Reconstruir una cantidad desde su tasa

01 · Punto de partida

La tasa cuenta cómo cambia, no cuánto hay

Un sensor informa que entran 5 litros por minuto. Ese dato permite calcular cuánto aumenta el contenido, pero no permite saber cuántos litros hay ahora: podrían haber existido 10, 100 o 1000 litros al comenzar.

Para reconstruir una cantidad Q(t) hacen falta dos ingredientes:

• Su tasa de cambio, Q′(t)=r(t), que describe la evolución.
• Un valor de referencia, Q(t₀)=Q₀, que fija el nivel de la cantidad.

02 · Información necesaria

Una tasa determina la forma, pero no la altura

Todas las funciones siguientes tienen derivada 2t:

Conocer solamente Q′(t)=2t produce la familia Q(t)=t²+C. La condición inicial selecciona una integrante de esa familia. Si Q(1)=7, entonces 7=1+C, de modo que C=6 y Q(t)=t²+6.

La fórmula integral obtiene el mismo resultado sin resolver la constante por separado:

03 · Teorema del cambio neto

El estado final es el inicial más todos los cambios

Si Q′(t)=r(t), el Teorema Fundamental del Cálculo establece que:

Reordenando obtenemos la forma más útil para aplicaciones:

La integral puede ser positiva, negativa o cero. Por eso el estado final puede quedar por encima, por debajo o al mismo nivel que el inicial.

04 · Método general

Reconstruir una cantidad paso a paso

1. 1
   Identificar la cantidad

   Definir qué representa Q y en qué unidades se mide.

2. 2
   Interpretar la tasa

   Confirmar que r=Q′ y declarar qué significan sus signos.

3. 3
   Ubicar el dato de referencia

   Registrar el par Q(t₀)=Q₀; no necesariamente corresponde a t₀=0.

4. 4
   Acumular hasta el punto deseado

   Calcular ∫ₜ₀ᵗr(s)ds, analítica o numéricamente.

5. 5
   Sumar e interpretar

   Obtener Q(t) y verificar unidades, signo y restricciones del contexto.

6. 6
   Comprobar

   Derivar la fórmula reconstruida y evaluar la condición inicial.

05 · Análisis dimensional

La integral debe tener las unidades del estado

Para poder sumar Q₀+∫r(t)dt, ambos términos deben expresar la misma magnitud. La integración multiplica las unidades de la tasa por las de la variable independiente.

Si una potencia está en kW y el tiempo en minutos, el diferencial debe convertirse: dt/60 horas. La forma de la fórmula puede parecer correcta y aun así producir un resultado sesenta veces mayor.

06 · Lectura cualitativa

La gráfica de la tasa anticipa la evolución del estado

Antes de calcular una integral podemos deducir mucho sobre Q observando r:

Cambiar Q₀ desplaza verticalmente el gráfico de Q, pero no modifica pendientes, máximos relativos ni concavidad. Todos esos rasgos provienen de la tasa.

07 · Referencias distintas de cero

El dato conocido puede estar en cualquier instante

Si sabemos que Q(5)=18, podemos reconstruir tanto el futuro como el pasado:

Cuando t<5, los límites quedan orientados hacia atrás. Por ejemplo, Q(2)=18+∫₅²r(s)ds=18−∫₂⁵r(s)ds. No hace falta inventar una regla nueva.

Dos observaciones del mismo sistema también permiten controlar la tasa:

Si no coincide dentro del error esperado, puede haber mediciones ruidosas, unidades incompatibles o un modelo incompleto.

08 · Reglas que cambian

Las tasas por tramos producen estados continuos

Un sistema puede operar de maneras distintas durante el día. Supongamos:

Si Q(0)=10, reconstruimos cada etapa:

• Para 0≤t≤2: Q(t)=10+4t.
• En el punto de cambio: Q(2)=18.
• Para 2≤t≤5: Q(t)=18−(t−2)=20−t.

La segunda fórmula debe comenzar desde el estado alcanzado por la primera. Usar nuevamente 10 como valor inicial crearía un salto artificial. Una tasa finita puede cambiar bruscamente, pero su integral acumulada permanece continua.

09 · Validez del modelo

Reconstruir también permite detectar cuándo falla una regla

Un inventario no puede ser negativo y un tanque no puede superar su capacidad. Si la fórmula reconstruida cruza un límite físico, debemos localizar el primer instante en que ocurre:

A partir de ese evento, la tasa puede dejar de ser válida. Una bomba no sigue extrayendo el mismo caudal de un tanque vacío; una batería llena no continúa almacenando toda la potencia suministrada.

Recortar al final con Math.max(0,Q) evita mostrar un valor imposible, pero oculta cuándo cambió la dinámica. Un modelo más fiel divide el tiempo en el evento y define una nueva tasa después.

10 · Ejemplo desarrollado

Reconstruir un inventario con balance variable

Un depósito contiene 40 unidades al inicio. Durante seis horas su tasa neta es r(t)=12−3t unidades/h. Positivo significa reposición y negativo, consumo.

1. Formular el estado

2. Evaluar la integral

3. Analizar el máximo

La tasa se anula en 12−3t=0, es decir, en t=4. Antes es positiva y después negativa, por lo que el inventario alcanza allí un máximo:

4. Calcular el estado final

El inventario termina 18 unidades por encima del inicial, aunque después de la hora 4 haya comenzado a disminuir.

5. Comprobar

Derivar 40+12t−1,5t² devuelve 12−3t, y evaluar en cero devuelve 40. Se verifican tanto la tasa como la condición inicial.

11 · Registros y sensores

Reconstruir sin una fórmula para la tasa

Si un sensor entrega pares (tᵢ,rᵢ), cada intervalo aporta aproximadamente el área de un trapecio:

Luego actualizamos el estado de manera acumulativa: Qᵢ₊₁=Qᵢ+ΔQᵢ. Conservar todos los valores intermedios permite:

• graficar el historial completo;
• detectar el momento de un máximo o de una restricción;
• comparar el estado reconstruido con mediciones directas;
• reanudar el cálculo desde el último estado confirmado.

Los intervalos no necesitan ser uniformes: cada aporte usa su propia duración. Sí deben aparecer ordenados y no repetirse sin una política de consolidación.

12 · Exploración

Laboratorio: tasa, cambio y estado

Elegí una tasa, modificá el instante y el valor inicial. La zona del gráfico superior representa el cambio acumulado; el gráfico inferior muestra el estado reconstruido.

El área firmada bajo la tasa produce el cambio vertical desde el valor inicial hasta el estado actual.

Preguntas para explorar

1. Con el modelo de inventario, ubicá t=4. ¿Qué relación existe entre tasa y máximo?
2. Cambiá el valor inicial. ¿Qué resultados se desplazan y cuáles permanecen iguales?
3. Con la tasa periódica, buscá un instante donde el cambio acumulado sea cero sin que la tasa lo sea.
4. Con consumo constante, encontrá una combinación que produzca un estado negativo. ¿Desde qué instante deja de ser físicamente válido el modelo?

13 · Implementación computacional

Crear una función de estado desde una tasa

Podemos encapsular la integración numérica y la condición inicial en una función:

function reconstruir(tasa, tiempoInicial, valorInicial, particiones = 10000) {
  return function estado(tiempo) {
    const paso = (tiempo - tiempoInicial) / particiones;
    let cambio = 0;

    for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
      const t = tiempoInicial + (i + 0.5) * paso;
      cambio += tasa(t) * paso;
    }
    return valorInicial + cambio;
  };
}

const inventario = reconstruir(t => 12 - 3 * t, 0, 40);
console.log("Q(4) =", inventario(4).toFixed(4));
console.log("Q(6) =", inventario(6).toFixed(4));

Construir el historial desde muestras irregulares

function reconstruirMuestras(muestras, valorInicial) {
  if (muestras.length === 0) return [];
  let estado = valorInicial;
  const historial = [{ tiempo: muestras[0].tiempo, estado }];

  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const a = muestras[i - 1];
    const b = muestras[i];
    const duracion = b.tiempo - a.tiempo;
    if (duracion <= 0) throw new Error("Los tiempos deben crecer");

    estado += (a.tasa + b.tasa) / 2 * duracion;
    historial.push({ tiempo: b.tiempo, estado });
  }
  return historial;
}

const lecturas = [
  { tiempo: 0, tasa: 12 },
  { tiempo: 1, tasa: 9 },
  { tiempo: 2.5, tasa: 4.5 },
  { tiempo: 4, tasa: 0 }
];
console.log(reconstruirMuestras(lecturas, 40));

Detectar el primer cruce de una restricción

function primerCruce(estado, inicio, fin, limite = 0, paso = 0.01) {
  let anterior = estado(inicio) - limite;

  for (let t = inicio + paso; t <= fin; t += paso) {
    const actual = estado(t) - limite;
    if (Math.abs(actual) < 1e-10 || anterior * actual < 0) {
      return Number(t.toFixed(4));
    }
    anterior = actual;
  }
  return null;
}

const deposito = t => 20 - 4 * t;
console.log("Se vacía cerca de t =", primerCruce(deposito, 0, 10));

Comprobar una reconstrucción analítica

function derivadaNumerica(funcion, x, h = 1e-5) {
  return (funcion(x + h) - funcion(x - h)) / (2 * h);
}

const tasa = t => 12 - 3 * t;
const estado = t => 40 + 12 * t - 1.5 * t ** 2;

for (const t of [0, 2, 4, 6]) {
  const error = derivadaNumerica(estado, t) - tasa(t);
  console.log(`t=${t}, error=${error.toExponential(2)}`);
}
console.log("Condición inicial:", estado(0));

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: hallar la constante

Si Q′(t)=6t y Q(2)=17, encontrá Q(t).

Ejercicio 2: estado final

Un tanque contiene 80 L y recibe un flujo neto constante de −3 L/min durante 12 minutos. ¿Cuánto contiene al final?

Ejercicio 3: volver al mismo nivel

Una cantidad tiene tasa r(t)=4−t y estado inicial Q(0)=10. ¿En qué instante positivo vuelve a valer 10?

Ejercicio 4: reconstrucción por tramos

Un inventario inicia con 30 unidades. Su tasa es 5 unidades/h durante 2 horas y −4 unidades/h durante las 3 siguientes. Calculá el estado en cada cambio.

Ejercicio 5: muestras

Una tasa vale 2, 5 y 3 unidades/h en t=0,1,3. Si Q(0)=10, aproximá Q(3) mediante trapecios.

const muestras = [
  { t: 0, r: 2 },
  { t: 1, r: 5 },
  { t: 3, r: 3 }
];
let estado = 10;

for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
  const a = muestras[i - 1];
  const b = muestras[i];
  estado += (a.r + b.r) / 2 * (b.t - a.t);
}
console.log("Q(3) ≈", estado);

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos esta estructura a caudales, consumo y crecimiento acumulado, prestando especial atención a entradas, salidas y balances reales.