Funciones de acumulación

01 · Punto de partida

De un resultado aislado a una historia completa

La integral ∫₀⁶ r(t)dt responde cuánto cambió una cantidad entre los instantes 0 y 6. Pero muchas aplicaciones necesitan una respuesta para cada instante: cuánto había cambiado al minuto 1, al 2,5 o al 5,8.

Para obtener todas esas respuestas con una sola expresión, mantenemos fijo el punto inicial y dejamos móvil el extremo final:

A es una nueva función. Recibe un punto x y devuelve la acumulación neta producida por f desde a hasta ese punto.

02 · Anatomía de la definición

Cada símbolo cumple una función diferente

a · origen

Punto fijo desde el cual comenzamos a contar. Por definición, A(a)=0.

x · extremo móvil

Punto hasta el cual queremos conocer la acumulación.

t · variable muda

Variable interna que recorre el intervalo. Podría llamarse u o s sin cambiar el resultado.

f(t)dt · aporte elemental

Pequeña contribución que se suma, con su signo, alrededor de t.

Escribir A(x)=∫ₐˣf(x)dx suele provocar confusión porque la misma letra aparenta ser simultáneamente el extremo y la variable recorrida. La expresión puede interpretarse por contexto, pero t hace explícitos los dos papeles.

03 · Evaluar e interpretar

Un valor de la función es una integral definida

Si A(x)=∫₀ˣ(3−t)dt, entonces:

La fórmula se obtiene integrando con respecto a t y evaluando en los límites: [3t−t²/2]₀ˣ. Algunos valores son:

Que A(6)=0 no significa que A haya permanecido en cero. Describe un balance final nulo luego de haber crecido y decrecido.

04 · Acumulación entre dos puntos

Restar valores recupera el aporte de un tramo

La diferencia entre dos valores de la función de acumulación tiene una interpretación directa:

Todo lo acumulado antes de c aparece en ambos valores y se cancela. En el ejemplo, A(5)−A(2)=2,5−4=−1,5: entre 2 y 5 el cambio neto es negativo, aunque una parte inicial del tramo tenga tasa positiva.

05 · Forma del gráfico

La tasa indica cómo cambia la acumulación

En un tramo pequeño de ancho Δx, el nuevo aporte es aproximadamente f(x)Δx. Por eso el signo y el tamaño de f anticipan el comportamiento de A.

Si f cambia de positiva a negativa, A pasa de crecer a decrecer y alcanza un máximo local. Si cambia de negativa a positiva, alcanza un mínimo local.

06 · La conexión central

Acumular y derivar son operaciones inversas

Si f es continua y definimos A(x)=∫ₐˣf(t)dt, el Teorema Fundamental del Cálculo afirma:

La razón intuitiva aparece al comparar dos puntos cercanos:

El cociente es el valor promedio de f en un intervalo corto. Cuando h tiende a cero y f es continua, ese promedio tiende a f(x).

07 · Elegir el punto inicial

Cambiar el origen desplaza la función verticalmente

Consideremos dos funciones construidas con la misma tasa:

Ambas tienen la misma forma porque sus pendientes son f(x). Solo difieren por la constante ∫ᵦᵃf(t)dt. El origen determina dónde vale cero la acumulación, pero no modifica su tasa de cambio.

Si x<a, la integral sigue definida y se invierte la orientación:

Así, la función puede describir puntos anteriores al origen sin cambiar la definición.

08 · Análisis dimensional

La función acumulada tiene unidades de cantidad

Si f(t) está en litros por minuto y dt en minutos, A(x) está en litros. En cambio, A′(x) vuelve a estar en litros por minuto.

La variable independiente también debe usar una escala compatible. Integrar una tasa en kW con un tiempo medido numéricamente en minutos exige convertir minutos a horas.

09 · Acumulación y estado

La acumulación comienza en cero; el sistema puede no hacerlo

A(x)=∫ₐˣf(t)dt representa el cambio desde a. Si una cantidad física tenía valor inicial Q₀, su estado es:

Los gráficos de Q y A tienen la misma forma y están separados verticalmente por Q₀. Ambos poseen la misma derivada f.

10 · Ejemplo desarrollado

Construir el historial de un depósito

Un depósito comienza con 20 litros y tiene flujo neto r(t)=3−t L/min durante seis minutos.

1. Definir la acumulación

2. Construir el estado

3. Analizar el comportamiento

Como r(t)>0 antes de 3, el contenido crece. En t=3, r(3)=0 y el contenido alcanza Q(3)=24,5 L. Después, el flujo es negativo y el contenido decrece hasta volver a 20 L en t=6.

4. Interpretar un intervalo interno

Entre los minutos 4 y 6, el cambio es A(6)−A(4)=0−4=−4 L. El depósito pierde 4 litros en ese tramo.

11 · Datos discretos

Una suma acumulada aproxima toda la función

Cuando la tasa proviene de un sensor, normalmente no existe una fórmula para integrar. Si conocemos muestras f₀,f₁,… separadas por un paso Δt, construimos sucesivamente:

Esta es una suma por rectángulos izquierdos. La regla del trapecio suele mejorar la aproximación usando el promedio de muestras consecutivas:

El resultado no es un único total, sino un arreglo de pares (tₖ,Aₖ) que permite dibujar la evolución, consultar estados intermedios y detectar máximos o restricciones.

12 · Exploración

Laboratorio: de la tasa a la acumulación

Elegí una tasa y desplazá el extremo x. El gráfico superior muestra los aportes integrados; el inferior, el historial acumulado y el punto correspondiente.

El área firmada bajo la tasa hasta x coincide con la altura de la función de acumulación en x.

Preguntas para explorar

1. Con la tasa lineal, ubicá x=3. ¿Qué ocurre simultáneamente con f(x) y con A(x)?
2. Con la tasa oscilatoria, ubicá puntos donde f(x)=0. ¿La acumulación también vale cero allí?
3. Elegí la tasa siempre positiva. ¿Puede decrecer la acumulación?
4. Modificá el estado inicial. ¿Por qué cambian Q(x) pero no f(x) ni A(x)?

13 · Implementación computacional

Construir una función de acumulación numérica

Una función de orden superior puede recibir la tasa y devolver otra función que aproxime A(x) mediante puntos medios:

function crearAcumulacion(tasa, origen, particiones = 10000) {
  return function acumulacion(x) {
    if (x === origen) return 0;
    const paso = (x - origen) / particiones;
    let suma = 0;

    for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
      const t = origen + (i + 0.5) * paso;
      suma += tasa(t) * paso;
    }
    return suma;
  };
}

const A = crearAcumulacion(t => 3 - t, 0);
console.log("A(3) =", A(3).toFixed(4));
console.log("A(5) =", A(5).toFixed(4));
console.log("A(-1) =", A(-1).toFixed(4));

Un paso negativo maneja automáticamente el caso x<origen: la orientación invertida cambia el signo de la suma.

Producir el historial desde muestras

function acumularMuestras(muestras) {
  if (muestras.length === 0) return [];
  let acumulado = 0;
  const historial = [{ tiempo: muestras[0].tiempo, valor: 0 }];

  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const anterior = muestras[i - 1];
    const actual = muestras[i];
    const duracion = actual.tiempo - anterior.tiempo;
    acumulado += (anterior.tasa + actual.tasa) / 2 * duracion;
    historial.push({ tiempo: actual.tiempo, valor: acumulado });
  }
  return historial;
}

const datos = [
  { tiempo: 0, tasa: 3 },
  { tiempo: 1, tasa: 2 },
  { tiempo: 2, tasa: 1 },
  { tiempo: 3, tasa: 0 }
];
console.log(acumularMuestras(datos));

Consultar el aporte de cualquier tramo

const acumulacionExacta = x => 3 * x - x ** 2 / 2;

function aporteEntre(acumulacion, inicio, fin) {
  return acumulacion(fin) - acumulacion(inicio);
}

console.log("Cambio entre 2 y 5:", aporteEntre(acumulacionExacta, 2, 5));
console.log("Cambio entre 4 y 6:", aporteEntre(acumulacionExacta, 4, 6));

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: construir y evaluar

Sea A(x)=∫₁ˣ2t dt. Encontrá una fórmula y calculá A(3).

Ejercicio 2: leer signos

Una tasa es negativa en (0,2), cero en 2 y positiva en (2,5). Describí la acumulación A(x)=∫₀ˣf(t)dt.

Ejercicio 3: recuperar un intervalo

Si A(2)=7 y A(6)=3, ¿cuánto vale ∫₂⁶f(t)dt?

Ejercicio 4: estado y unidades

Una batería contiene 40 Wh en t=0 y su potencia neta es p(t)=10−2t W, con t en horas. Escribí su energía hasta t=4 e identificá el máximo.

Ejercicio 5: acumulación a partir de datos

Una tasa toma valores 2, 4 y 6 L/min en los minutos 0, 1 y 2. Aproximá A(2) con trapecios.

const tasas = [2, 4, 6];
const paso = 1;
let acumulado = 0;

for (let i = 1; i < tasas.length; i += 1) {
  acumulado += (tasas[i - 1] + tasas[i]) / 2 * paso;
}
console.log("A(2) ≈", acumulado, "L");

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema usaremos esta conexión para reconstruir una cantidad desde su tasa, combinando una condición inicial con el cambio acumulado.