Acumulación neta y cantidad total

01 · Punto de partida

Un balance pequeño puede ocultar mucha actividad

Un depósito comienza el día con 100 litros y termina con 102. El cambio neto es solamente 2 litros, pero durante ese tiempo pudieron ingresar 50 y salir 48. El estado final no revela por sí solo cuánto material circuló.

Cuando una tasa r(t) utiliza el signo para distinguir direcciones, aparecen dos preguntas:

• ¿Cuánto cambió el estado? Se compensan entradas y salidas.
• ¿Cuánta cantidad se movilizó? Se suman todas las magnitudes.

02 · Definir la dirección

El signo necesita una convención

Antes de integrar debemos declarar qué significa cada signo. En un depósito podemos decidir:

• r(t)>0: ingresa líquido;
• r(t)<0: sale líquido;
• r(t)=0: no existe flujo neto.

En movimiento, positivo y negativo pueden significar derecha e izquierda. En una cuenta, ingreso y egreso. En una batería, carga y descarga. La matemática es la misma, pero la interpretación depende de la convención documentada.

03 · Balance firmado

La integral reconstruye el cambio neto

Durante un intervalo corto dt, el cambio es aproximadamente r(t)dt. Al acumular todos los aportes:

Si predominan los aportes positivos, ΔQ>0. Si predominan los negativos, ΔQ<0. Si se compensan, ΔQ=0, aunque la tasa no haya sido cero.

Estado inicial y estado final

La integral no devuelve automáticamente el contenido final: devuelve cuánto debe sumarse al valor inicial.

04 · Magnitud acumulada

La cantidad total elimina la dirección

Cuando importa todo lo que circuló, usamos la magnitud de la tasa:

Podemos separar la actividad en dos cantidades no negativas:

Entonces:

Estas dos ecuaciones permiten reconstruir entrada y salida si conocemos tanto el cambio neto como el total: E=(T+ΔQ)/2 y S=(T−ΔQ)/2.

05 · Cambios de dirección

Los ceros dividen entradas y salidas

Para calcular cantidades por separado, encontramos los instantes donde r(t)=0. Entre ceros consecutivos, una tasa continua conserva su signo.

1. Resolver r(t)=0.
2. Conservar los ceros dentro del intervalo.
3. Determinar el signo en cada tramo.
4. Integrar cada tramo.
5. Sumar con signo para el balance o en magnitud para el total.

Un cero no siempre significa que el proceso cambia de dirección: la tasa puede tocar cero y conservar el signo. Hay que comprobar ambos lados.

06 · Análisis dimensional

El signo no modifica las unidades

Si r(t) se expresa en litros por minuto y dt en minutos, tanto el cambio neto como la entrada, la salida y la cantidad total se miden en litros:

El estado inicial y el cambio deben compartir unidad antes de sumarse. Si la tasa está en MB/s y el intervalo en minutos, primero se convierte una escala.

07 · Entradas y salidas separadas

Modelar el balance con dos tasas no negativas

A veces disponemos de una tasa de entrada e(t)≥0 y otra de salida s(t)≥0. La tasa neta es:

El estado final se calcula mediante:

Esta representación conserva información que una tasa neta puede ocultar. Si entran y salen 10 unidades por hora simultáneamente, la tasa neta es cero, pero existe una actividad total de 20 unidades por hora.

Dos significados de «total»

• Con una sola tasa firmada, ∫|r| mide la magnitud del flujo neto instantáneo.
• Con tasas simultáneas separadas, ∫e+∫s mide todo lo que entró y salió, incluso cuando ambos procesos se compensan en el mismo instante.

08 · Validez física

El modelo no puede ignorar los límites del sistema

Una fórmula puede predecir un inventario negativo o un depósito por encima de su capacidad. Eso no significa que existan cantidades físicas negativas: señala que el modelo dejó de ser válido o que faltan reglas.

Antes de aceptar el resultado conviene preguntar:

• ¿el estado permanece entre cero y la capacidad máxima?
• ¿la tasa cambia cuando el sistema se vacía o se llena?
• ¿existen pérdidas, retrasos o saturación?
• ¿las entradas y salidas pueden ocurrir simultáneamente?

Aplicar Math.max(0, cantidad) al final puede ocultar el instante exacto en que el modelo falla. Es preferible detectar el evento y redefinir la dinámica desde allí.

09 · Ejemplo desarrollado

Balance de un depósito con flujo cambiante

Un depósito contiene inicialmente 20 litros. Su flujo neto durante cinco minutos es r(t)=3−t L/min, donde positivo significa entrada.

1. Cambio de signo

3−t=0 en t=3. Hay entrada entre 0 y 3 minutos y salida entre 3 y 5.

2. Entrada y salida acumuladas

3. Balance, total y estado final

El contenido aumenta 2,5 litros, aunque se movilizan 6,5 litros en total.

10 · Registros y muestras

Cuando la tasa proviene de datos

Un sensor entrega muestras en instantes separados. Cada muestra debe asociarse con una duración para producir un aporte. Si el paso es Δt, una aproximación simple usa rᵢΔt.

Para cada aporte podemos acumular:

• neto += aporte;
• entrada += Math.max(aporte,0);
• salida += Math.max(−aporte,0);
• total += Math.abs(aporte).

Si los intervalos no tienen la misma duración, cada muestra necesita su propio Δtᵢ. Sumar tasas sin considerar tiempo no produce una cantidad acumulada.

11 · Exploración

Laboratorio: entradas, salidas y estado final

Elegí una tasa, modificá el instante final y el contenido inicial. Las zonas doradas representan entradas y las coral, salidas.

Las contribuciones superiores al eje se consideran entradas. Las inferiores representan salidas y se muestran con otro color.

Preguntas para explorar

1. En el modelo lineal, mové el instante final antes y después de t=3. ¿Cuándo comienza a acumularse salida?
2. En el modelo oscilatorio, buscá un balance cercano a cero con actividad total positiva.
3. Cambiá la cantidad inicial. ¿Qué resultados permanecen iguales?
4. Buscá una combinación que produzca cantidad final negativa. ¿Qué indica sobre la validez física?

12 · Implementación computacional

Calcular un informe de balance

Una suma de puntos medios puede separar entradas y salidas y construir un informe coherente:

function calcularBalance(tasa, inicio, fin, cantidad = 10000) {
  const paso = (fin - inicio) / cantidad;
  let entrada = 0;
  let salida = 0;

  for (let i = 0; i < cantidad; i += 1) {
    const t = inicio + (i + 0.5) * paso;
    const aporte = tasa(t) * paso;
    if (aporte >= 0) entrada += aporte;
    else salida += -aporte;
  }

  const redondear = valor => Number(valor.toFixed(6));
  return {
    entrada: redondear(entrada),
    salida: redondear(salida),
    neto: redondear(entrada - salida),
    total: redondear(entrada + salida)
  };
}

console.log(calcularBalance(t => 3 - t, 0, 5));

Agregar el estado inicial y validar

function estadoFinal(inicial, balance, capacidad = Infinity) {
  const final = inicial + balance.neto;
  return {
    inicial,
    final,
    dentroDeLimites: final >= 0 && final <= capacidad,
    advertencia: final < 0
      ? "El modelo predice una cantidad negativa"
      : final > capacidad
        ? "El modelo supera la capacidad"
        : "Estado válido"
  };
}

const balance = { entrada: 4.5, salida: 2, neto: 2.5, total: 6.5 };
console.log(estadoFinal(20, balance, 30));

Procesar muestras con intervalos variables

function balanceDeMuestras(muestras) {
  let entrada = 0;
  let salida = 0;

  muestras.forEach(({ tasa, duracion }) => {
    const aporte = tasa * duracion;
    if (aporte >= 0) entrada += aporte;
    else salida += Math.abs(aporte);
  });

  return { entrada, salida, neto: entrada - salida, total: entrada + salida };
}

const muestras = [
  { tasa: 4, duracion: 0.5 },
  { tasa: -1, duracion: 2 },
  { tasa: 3, duracion: 1 }
];
console.log(balanceDeMuestras(muestras));

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: reconstruir entrada y salida

Un sistema registra cambio neto de 6 unidades y actividad total de 20. ¿Cuánto entró y cuánto salió?

Ejercicio 2: tasa constante por tramos

Durante dos horas entran 5 unidades/h y durante las tres siguientes salen 2 unidades/h. Calculá cambio neto y total.

Ejercicio 3: estado físicamente imposible

Un inventario comienza con 3 unidades y la integral de su tasa durante el día es −5. Interpretá el resultado.

Ejercicio 4: balance lineal

Para r(t)=2−t en [0,4], calculá entrada, salida, cambio neto y total.

const F = t => 2 * t - t ** 2 / 2;
const entrada = F(2) - F(0);
const integralSalida = F(4) - F(2);
const salida = Math.abs(integralSalida);

console.log("Entrada:", entrada);
console.log("Salida:", salida);
console.log("Cambio neto:", entrada - salida);
console.log("Cantidad total:", entrada + salida);

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema construiremos funciones de acumulación cuyo límite superior es variable, para conocer no solo el resultado final sino también cuánto se acumuló hasta cada instante.