Integrar respecto de x o respecto de y

01 · Punto de partida

Una región admite más de una descripción

Hasta ahora usamos tiras verticales: fijamos x, medimos desde una función inferior hasta otra superior y acumulamos con dx. Pero también podemos cortar horizontalmente: fijamos y, medimos desde una frontera izquierda hasta una derecha y acumulamos con dy.

Ambos métodos miden la misma superficie. La elección modifica:

• la variable de integración;
• la orientación de las tiras;
• la forma de expresar las fronteras;
• los límites de integración;
• la cantidad de tramos necesarios.

02 · Integrar con dx

Tiras verticales: superior menos inferior

Una tira vertical recorre la región de abajo hacia arriba. Si sus fronteras son y=g(x) e y=f(x), con f(x)≥g(x), entonces:

Los límites a y b son las coordenadas horizontales extremas. Todas las fronteras curvas deben escribirse como valores de y en función de x.

03 · Integrar con dy

Tiras horizontales: derecha menos izquierda

Una tira horizontal recorre la región de izquierda a derecha. Si las fronteras son x=L(y) y x=R(y), con R(y)≥L(y), entonces:

Los límites c y d son las coordenadas verticales mínima y máxima. Las fronteras deben expresarse como x en función de y.

04 · Dos lecturas

Comparar las orientaciones

La variable del diferencial debe aparecer en las funciones y en los límites. Una expresión como ∫f(x)dy suele indicar que la región no fue reescrita correctamente.

05 · Reescribir fronteras

Pasar de y=f(x) a x=F(y)

Para integrar respecto de y, despejamos x. Algunas relaciones producen más de una rama:

La región determina qué rama usar. Por ejemplo, si estamos a la derecha del eje, x=√y; si estamos a la izquierda, x=−√y.

06 · Elegir el método

La mejor orientación suele requerir menos tramos

No existe una regla que obligue a usar dx o dy. Conviene probar mentalmente una tira en cada dirección y comparar.

1. ¿Una tira típica atraviesa toda la región sin salir y volver a entrar?
2. ¿Mantiene las mismas dos fronteras durante todo el recorrido?
3. ¿Las curvas pueden despejarse fácilmente en la variable elegida?
4. ¿Cuántas integrales se necesitan?
5. ¿Cuál integrando es más sencillo de calcular?

Una orientación con una sola integral suele ser preferible a otra con dos o tres. Pero si despejar introduce expresiones muy complejas, varios tramos sencillos pueden resultar más claros.

07 · Equivalencia

La misma región calculada de dos maneras

Consideremos la región encerrada por y=x² y y=2x. Las intersecciones son (0,0) y (2,4).

Con tiras verticales

La recta está arriba y la parábola abajo para 0≤x≤2:

Con tiras horizontales

Despejamos: la recta es x=y/2 y la rama derecha de la parábola es x=√y. Para 0≤y≤4, la parábola queda a la derecha:

Las expresiones son distintas, pero miden exactamente el mismo conjunto de puntos.

08 · Coherencia dimensional

Las unidades no dependen de la orientación

Con tiras verticales multiplicamos una altura por una anchura. Con tiras horizontales multiplicamos una longitud por una altura elemental. Si ambos ejes están en metros:

El área final debe coincidir en número y unidades. Si dos planteos de la misma región producen resultados distintos, al menos uno contiene un error de fronteras, límites o despeje.

09 · Ejemplo desarrollado

Una región donde dy evita una partición

Calculemos la región encerrada por x=y² y x=2−y.

1. Intersecciones

y²=2−y produce y²+y−2=0, por lo que y=−2 o y=1.

2. Fronteras horizontales

En todo −2≤y≤1, la recta x=2−y queda a la derecha y la parábola x=y² a la izquierda:

3. Cálculo

El área es 4,5 unidades cuadradas.

4. Por qué dx sería más largo

Con tiras verticales, la frontera superior cambia en x=1. Entre 0 y 1 la tira va de −√x a √x; entre 1 y 4 va de −√x a 2−x. Serían necesarias dos integrales.

10 · Cuándo dividir

Una tira debe atravesar la región de una sola vez

Una región es simple respecto de x si cada recta vertical la corta en un único segmento. Es simple respecto de y si ocurre lo mismo con cada recta horizontal.

Si una tira encuentra huecos, sale de la región o cambia alguna frontera, debemos dividir:

• verticalmente, en intervalos de x, para integrales con dx;
• horizontalmente, en intervalos de y, para integrales con dy.

La meta no es evitar toda partición, sino construir tramos donde la descripción de cada tira sea válida y constante.

11 · Exploración

Laboratorio: la misma región, dos orientaciones

La región entre y=x² y y=2x puede recorrerse con tiras verticales u horizontales. Cambiá la orientación y mové la tira para comparar sus fronteras.

La región violeta está limitada por la recta y la parábola. La tira coral cambia de orientación según la variable de integración.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué funciones determinan los extremos de la tira vertical?
2. Al cambiar a horizontal, ¿por qué aparece una raíz cuadrada?
3. ¿En qué posiciones la tira tiene longitud cero?
4. ¿Por qué ambas orientaciones producen el mismo valor total?

12 · Implementación computacional

Representar ambas descripciones en JavaScript

Podemos codificar los límites de una tira vertical y de una horizontal como funciones independientes:

const tiraVertical = x => ({
  variable: x,
  inferior: x ** 2,
  superior: 2 * x,
  longitud: 2 * x - x ** 2
});

const tiraHorizontal = y => ({
  variable: y,
  izquierda: y / 2,
  derecha: Math.sqrt(y),
  longitud: Math.sqrt(y) - y / 2
});

console.log(tiraVertical(1));
console.log(tiraHorizontal(1));

Evaluar las dos integrales exactas

const primitivaDx = x => x ** 2 - x ** 3 / 3;
const primitivaDy = y => (2 / 3) * y ** 1.5 - y ** 2 / 4;

const areaDx = primitivaDx(2) - primitivaDx(0);
const areaDy = primitivaDy(4) - primitivaDy(0);

console.log("Área con dx:", areaDx.toFixed(6));
console.log("Área con dy:", areaDy.toFixed(6));
console.log("Coinciden:", Math.abs(areaDx - areaDy) < 1e-10);

Aproximar una región con límites variables

function acumularTiras(desde, hasta, cantidad, limiteMenor, limiteMayor) {
  const paso = (hasta - desde) / cantidad;
  let area = 0;
  for (let i = 0; i < cantidad; i += 1) {
    const variable = desde + (i + 0.5) * paso;
    area += (limiteMayor(variable) - limiteMenor(variable)) * paso;
  }
  return area;
}

const conDx = acumularTiras(0, 2, 10000, x => x ** 2, x => 2 * x);
const conDy = acumularTiras(0, 4, 10000, y => y / 2, y => Math.sqrt(y));

console.log("Aproximación dx:", conDx.toFixed(6));
console.log("Aproximación dy:", conDy.toFixed(6));

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: leer una tira horizontal

Una región se describe por 0≤y≤3 y y²≤x≤y+6. Escribí su integral de área.

Ejercicio 2: despejar las fronteras

Reescribí y=x² y y=3x como funciones de y para la región del primer cuadrante.

Ejercicio 3: elegir orientación

Para la región limitada por x=y² y x=6−y, explicá qué orientación parece más directa.

Ejercicio 4: verificar equivalencia

Calculá el área del triángulo limitado por y=x, y=0 y x=3 usando dx y dy.

const areaDx = (3 ** 2) / 2;
const areaDy = (3 * 3 - 3 ** 2 / 2);

console.log("Con dx:", areaDx);
console.log("Con dy:", areaDy);
console.log("Misma área:", areaDx === areaDy);

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema retomaremos la interpretación acumulativa para distinguir acumulación neta y cantidad total en tasas que pueden tomar valores positivos y negativos.