Intersecciones y regiones por tramos

01 · Punto de partida

La curva superior puede cambiar

La fórmula ∫(superior−inferior)dx funciona mientras el orden se mantenga. Cuando dos gráficas se cruzan, la que estaba arriba puede pasar abajo. Usar una única resta en todo el intervalo produciría aportes negativos y cancelaciones.

Los puntos de intersección cumplen simultáneamente:

Esos puntos pueden desempeñar dos papeles:

• ser las fronteras exteriores de una región encerrada;
• dividir un intervalo dado en partes donde cambia el orden.

02 · Resolver la igualdad

Encontrar dónde se cruzan las curvas

Para hallar las intersecciones entre y=f(x) e y=g(x), resolvemos f(x)=g(x). Una vez obtenida una coordenada x=c, sustituimos en cualquiera de las funciones para encontrar y=f(c)=g(c).

Ejemplo algebraico

Para f(x)=x² y g(x)=2x:

Los puntos son (0,0) y (2,4).

Métodos posibles

03 · Una función que organiza todo

Analizar la diferencia f − g

Definimos h(x)=f(x)−g(x). Entonces:

El área geométrica en un intervalo puede escribirse de forma compacta como:

Para calcularla analíticamente, normalmente eliminamos el valor absoluto mediante una partición basada en los ceros de h.

04 · Determinar el orden

Construir una tabla de signos

Si los ceros interiores de h son c₁,c₂,…, elegimos un punto de prueba en cada intervalo. No es necesario evaluar muchas posiciones: mientras h sea continua y no tenga otro cero, su signo no puede cambiar.

Para h(x)=x²−2x=x(x−2) en [−1,3]:

La tabla se convierte directamente en una suma de tres integrales, cada una con una altura no negativa.

05 · Integral por tramos

Cambiar la resta donde cambia el orden

Si f está arriba en [a,c] y g está arriba en [c,b], el área es:

El punto c aparece como límite superior de un tramo e inferior del siguiente. No se pierde ni se duplica área: un punto aislado tiene anchura cero.

Algoritmo conceptual

1. Formar h=f−g.
2. Encontrar sus ceros en el intervalo.
3. Ordenar límites y ceros.
4. Determinar el signo de h en cada tramo.
5. Integrar la diferencia en el orden que produzca una altura positiva.
6. Sumar todas las áreas parciales.

06 · Intersecciones especiales

Cruzar no es lo mismo que tocar

Dos curvas pueden intersectarse sin intercambiar posiciones. Por ejemplo, f(x)=x² y g(x)=0 se encuentran en x=0, pero x²≥0 a ambos lados.

Una raíz de multiplicidad par suele corresponder a una tangencia; una de multiplicidad impar suele producir un cruce. La tabla de signos confirma qué ocurre.

07 · Fronteras implícitas

Cuando las intersecciones definen el intervalo

A veces el enunciado no proporciona a y b, sino que pide «la región encerrada por dos curvas». En ese caso, las intersecciones consecutivas actúan como fronteras laterales.

El procedimiento requiere comprobar que la región realmente sea cerrada. Una sola intersección entre dos curvas extendidas indefinidamente normalmente no encierra una superficie finita. También pueden existir varias regiones cerradas; hay que identificar cuál solicita el problema.

Lista de comprobación

• ¿Cuántas intersecciones reales existen?
• ¿Cuáles pertenecen al dominio considerado?
• ¿Qué pares de intersecciones delimitan regiones cerradas?
• ¿Cambia el orden dentro de alguna de esas regiones?

08 · Más razones para dividir

Una partición no depende solo de los cruces

También debemos separar el intervalo cuando una función cambia de fórmula o presenta una discontinuidad. Una integral impropia puede requerir herramientas que exceden este tema, y una discontinuidad infinita no debe atravesarse como si fuera un punto ordinario.

Los puntos candidatos para una partición completa son:

• intersecciones entre las curvas;
• extremos de definiciones por partes;
• puntos fuera del dominio;
• fronteras adicionales indicadas en el problema.

Después de reunirlos, se ordenan y se estudia cada intervalo abierto resultante.

09 · Ejemplo desarrollado

Dos cambios de orden en un intervalo

Calculemos el área entre f(x)=x² y g(x)=2x desde x=−1 hasta x=3.

1. Intersecciones

x²=2x produce x=0 y x=2. Ambas raíces están dentro del intervalo.

2. Orden por tramos

La parábola está arriba en [−1,0], la recta en [0,2] y la parábola nuevamente en [2,3].

3. Integral

Cada tramo vale 4/3, de modo que:

El área total es 4 unidades cuadradas.

10 · Estrategia reutilizable

Un flujo de trabajo seguro

Al finalizar, verificá que todas las áreas parciales sean no negativas, que los tramos cubran el intervalo sin huecos ni superposiciones y que las unidades sean cuadradas cuando ambos ejes representan longitudes.

Organizar antes de calcular

Una tabla con columnas para tramo, punto de prueba, curva superior, curva inferior e integral reduce errores. En problemas largos, esta organización también facilita traducir el procedimiento a código.

11 · Exploración

Laboratorio: detectar cruces y cambiar el orden

Seleccioná dos curvas y ajustá el intervalo. El laboratorio aproxima las intersecciones, colorea cada región según qué función está arriba y suma las magnitudes sin cancelarlas.

El relleno dorado indica tramos donde f está arriba; el violeta, tramos donde g está arriba. Las marcas coral señalan intersecciones aproximadas.

Preguntas para explorar

1. Quitá una intersección del intervalo moviendo un límite. ¿Cuántos tramos quedan?
2. En el modelo polinómico, identificá sus tres cruces y observá la alternancia del orden.
3. En el modelo seno-coseno, compará la integral firmada con el área geométrica.
4. Buscá un intervalo pequeño alrededor de una intersección. ¿Qué ocurre con el área?

12 · Implementación computacional

Representar la partición en JavaScript

Cuando conocemos los puntos de corte, podemos determinar el orden evaluando el punto medio de cada tramo:

function describirTramos(f, g, puntos) {
  const tramos = [];
  for (let i = 0; i < puntos.length - 1; i += 1) {
    const desde = puntos[i];
    const hasta = puntos[i + 1];
    const medio = (desde + hasta) / 2;
    tramos.push({
      desde,
      hasta,
      superior: f(medio) >= g(medio) ? "f" : "g"
    });
  }
  return tramos;
}

const f = x => x ** 2;
const g = x => 2 * x;
const tramos = describirTramos(f, g, [-1, 0, 2, 3]);
tramos.forEach((tramo, indice) => {
  console.log(`Tramo ${indice + 1}: ${tramo.desde} a ${tramo.hasta}, arriba ${tramo.superior}`);
});

Calcular el área usando antiderivadas

function areaConCortes(F, G, puntos) {
  let area = 0;
  for (let i = 0; i < puntos.length - 1; i += 1) {
    const a = puntos[i];
    const b = puntos[i + 1];
    const diferencia = (F(b) - F(a)) - (G(b) - G(a));
    area += Math.abs(diferencia);
  }
  return area;
}

const F = x => x ** 3 / 3;
const G = x => x ** 2;
console.log("Área:", areaConCortes(F, G, [-1, 0, 2, 3]).toFixed(4));

Detectar intervalos candidatos a cruces

function detectarCruces(f, g, inicio, fin, paso) {
  const candidatos = [];
  let xAnterior = inicio;
  let dAnterior = f(inicio) - g(inicio);

  for (let x = inicio + paso; x <= fin; x += paso) {
    const diferencia = f(x) - g(x);
    if (Math.abs(diferencia) < 1e-8 || diferencia * dAnterior < 0) {
      candidatos.push([xAnterior, x]);
    }
    xAnterior = x;
    dAnterior = diferencia;
  }
  return candidatos;
}

const candidatos = detectarCruces(x => x ** 2, x => 2 * x, -1, 3, 0.1);
const formatear = valor => (Math.abs(valor) < 1e-10 ? 0 : valor).toFixed(1);
candidatos.forEach(tramo => {
  console.log(`Posible cruce entre ${formatear(tramo[0])} y ${formatear(tramo[1])}`);
});

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: encontrar y filtrar intersecciones

Encontrá las intersecciones de f(x)=x²−1 y g(x)=2x+2. Indicá cuáles pertenecen a [−1,4].

Ejercicio 2: detectar una tangencia

Compará f(x)=x² con g(x)=2x−1. Encontrá la intersección y determiná si cambia el orden.

Ejercicio 3: región encerrada

Calculá el área encerrada por f(x)=4−x² y g(x)=0.

Ejercicio 4: varios tramos

Calculá el área entre f(x)=x³−x y el eje horizontal en [−2,2].

const F = x => x ** 4 / 4 - x ** 2 / 2;
const puntos = [-2, -1, 0, 1, 2];
let area = 0;

for (let i = 0; i < puntos.length - 1; i += 1) {
  const integral = F(puntos[i + 1]) - F(puntos[i]);
  area += Math.abs(integral);
}

console.log("Área total:", area);

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos cómo elegir entre integrar respecto de x o respecto de y. Compararemos tiras verticales y horizontales para describir una región con la menor cantidad de tramos posible.