Área entre dos curvas

01 · Punto de partida

La frontera inferior ya no es el eje

En los temas anteriores medimos regiones entre una curva y el eje horizontal. Ahora consideraremos una región cuyo borde superior es y=f(x) y cuyo borde inferior es y=g(x). Ninguna de las curvas necesita coincidir con el eje.

Para cada posición x, la distancia vertical entre ambas gráficas es:

Si f(x)≥g(x) en todo [a,b], el área es:

02 · Describir la región

Cuatro fronteras, dos de ellas curvas

Cuando el intervalo está dado y f permanece arriba de g, la región puede describirse como:

Describir las fronteras antes de integrar obliga a decidir qué curva ocupa cada posición y evita aplicar una fórmula sin identificar la región.

03 · Construcción elemental

La altura de una tira vertical

En una posición fija x, la tira comienza en g(x) y termina en f(x). Su altura es la diferencia:

Si la tira tiene anchura dx, el aporte elemental de área es:

La diferencia puede ser positiva aunque ambas funciones sean negativas

Si f(x)=−1 y g(x)=−4, la altura es −1−(−4)=3. La posición respecto del eje horizontal no determina el área entre curvas; lo que importa es su separación vertical.

04 · Verificación esencial

Cómo saber cuál función está arriba

Los nombres f y g no indican un orden. Tampoco basta con observar un solo punto si las curvas podrían cruzarse. Para verificar que f es superior en un intervalo podemos:

1. estudiar el signo de f(x)−g(x);
2. resolver f(x)=g(x) y localizar posibles intersecciones;
3. analizar la diferencia en cada tramo delimitado por esas intersecciones;
4. usar una gráfica o muestras como comprobación, no como única justificación.

En este tema trabajaremos con intervalos donde el orden se mantiene. Cuando las curvas intercambian posiciones, habrá que partir la región; ese procedimiento se desarrollará en el tema siguiente.

05 · Reducir el problema

La diferencia es una nueva función

Definir h(x)=f(x)−g(x) transforma el área entre dos curvas en un área bajo una función no negativa:

Esta perspectiva permite reutilizar todo lo aprendido sobre áreas bajo una curva. Además, ayuda a comprobar:

• si h(x)=0, las curvas se encuentran;
• si h(x)>0, existe separación vertical;
• si h(x)<0, el orden supuesto es incorrecto en ese punto;
• el máximo de h es la mayor separación vertical.

06 · Análisis dimensional

Restar requiere unidades compatibles

Las funciones superior e inferior deben expresar la misma clase de magnitud y utilizar unidades compatibles. No tiene sentido calcular directamente f(x)−g(x) si una altura está en metros y la otra en centímetros sin convertirlas.

Si ambas alturas están en metros y x también se mide en metros:

Primero se resta para obtener una longitud; después se multiplica por la anchura para producir área.

El eje puede representar otra magnitud

Si x es tiempo y las funciones representan tasas, la integral de su diferencia es una diferencia acumulada, no una superficie física. La geometría del gráfico sigue siendo útil, pero las unidades finales determinan el significado aplicado.

07 · Dos formas equivalentes

Integrar la diferencia o restar integrales

La linealidad de la integral garantiza:

Ambas formas producen el mismo número si f es la curva superior. Sin embargo, la primera comunica mejor la geometría: cada tira tiene altura f(x)−g(x).

Restar dos integrales completas puede ser útil cuando ya conocemos sus valores. Pero hablar de «área bajo f menos área bajo g» requiere cuidado si alguna curva baja del eje. La fórmula funciona por linealidad; la explicación más robusta sigue siendo la diferencia vertical.

08 · Comprobar el resultado

Cotas para la separación entre curvas

Si la distancia vertical satisface m≤f(x)−g(x)≤M en [a,b], entonces:

Por ejemplo, si dos curvas se separan entre 1,5 y 3 unidades a lo largo de un intervalo de anchura 4, el área debe estar entre 6 y 12 unidades cuadradas.

Tres comprobaciones rápidas

• El resultado de un área debe ser no negativo.
• Si las curvas coinciden en todo el intervalo, el área debe ser cero.
• Si se traslada ambas curvas la misma distancia vertical, su separación y el área no cambian.

09 · Ejemplo desarrollado

Una recta sobre una parábola

Calculemos el área entre f(x)=x+3 y g(x)=x² en el intervalo [0,2].

1. Comprobar el orden

La diferencia es h(x)=−x²+x+3. Sus ceros son (1±√13)/2, aproximadamente −1,30 y 2,30. Como ninguno está dentro de [0,2] y h(0)=3>0, la recta permanece arriba.

2. Construir una tira

3. Integrar

El área es aproximadamente 5,33 unidades cuadradas.

4. Comprobar con cotas

La separación vale 3 en x=0, alcanza un máximo de 3,25 cerca de x=0,5 y termina en 1. El área debe estar entre 1·2=2 y 3,25·2=6,5; el resultado es coherente.

10 · Comprensión estructural

El área depende de la separación, no de la altura absoluta

Si sumamos la misma función k(x) a ambas fronteras, la diferencia no cambia:

Por lo tanto, las regiones comprendidas entre f y g, y entre f+k y g+k, tienen la misma altura en cada posición y la misma área. Pueden estar en lugares distintos del plano, incluso completamente debajo del eje.

Escalar la separación

Si multiplicamos la diferencia vertical por un factor positivo c, el área también se multiplica por c. Esta propiedad permite anticipar cómo afectan al resultado los cambios de escala vertical.

11 · Exploración

Laboratorio: medir la separación vertical

Elegí un par de curvas y modificá el intervalo. La región sombreada muestra el espacio comprendido entre ambas; los resultados comparan la separación en los extremos con el área acumulada.

La curva amarilla es la frontera superior, la coral es la inferior y el relleno violeta representa la región entre ambas.

Preguntas para explorar

1. En el modelo de rectas, ¿por qué el área aumenta aunque la separación vaya disminuyendo?
2. En el modelo con parábola, buscá intervalos de igual anchura y compará sus áreas.
3. En el modelo ondulado, ¿basta comparar las separaciones de los extremos para conocer el área?
4. Acercá ambos límites. ¿Qué sucede simultáneamente con la anchura y el área?

12 · Implementación computacional

Modelar dos fronteras en JavaScript

Si conocemos antiderivadas de ambas funciones, podemos evaluar directamente la diferencia:

function areaEntreCurvas(F, G, inicio, fin) {
  if (fin <= inicio) throw new Error("Intervalo inválido");
  return (F(fin) - F(inicio)) - (G(fin) - G(inicio));
}

// f(x)=x+3 y g(x)=x²
const F = x => x ** 2 / 2 + 3 * x;
const G = x => x ** 3 / 3;
const area = areaEntreCurvas(F, G, 0, 2);

console.log("Área:", area.toFixed(4), "unidades cuadradas");

Comprobar el orden mediante muestras

function verificarOrden(superior, inferior, inicio, fin, muestras = 1000) {
  let separacionMinima = Infinity;

  for (let i = 0; i <= muestras; i += 1) {
    const x = inicio + (fin - inicio) * i / muestras;
    const separacion = superior(x) - inferior(x);
    if (separacion < separacionMinima) separacionMinima = separacion;
    if (separacion < 0) {
      return { valido: false, x, separacion };
    }
  }

  return { valido: true, separacionMinima };
}

const f = x => x + 3;
const g = x => x ** 2;
console.log(verificarOrden(f, g, 0, 2));

Construir tiras para una visualización

function construirTiras(superior, inferior, inicio, fin, cantidad) {
  const ancho = (fin - inicio) / cantidad;
  const tiras = [];

  for (let i = 0; i < cantidad; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * ancho;
    const arriba = superior(x);
    const abajo = inferior(x);
    tiras.push({ x, ancho, arriba, abajo, altura: arriba - abajo });
  }
  return tiras;
}

const tiras = construirTiras(x => x + 3, x => x ** 2, 0, 2, 4);
tiras.forEach((tira, indice) => {
  console.log(`Tira ${indice + 1}: altura ${tira.altura.toFixed(3)}`);
});

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: construir la tira

En [0,3], la curva superior es f(x)=5−x y la inferior es g(x)=1+x/2. Escribí la altura y el aporte elemental.

Ejercicio 2: área entre rectas paralelas

Calculá el área entre f(x)=2x+5 y g(x)=2x+1 desde x=−2 hasta x=3.

Ejercicio 3: curvas bajo el eje

Calculá el área entre f(x)=−x y g(x)=−x−2 en [0,4].

Ejercicio 4: resolver con código

Calculá el área entre f(x)=4 y g(x)=x² en [−2,2].

const superior = x => 4;
const inferior = x => x ** 2;
const antiderivadaDiferencia = x => 4 * x - x ** 3 / 3;
const inicio = -2;
const fin = 2;
const area = antiderivadaDiferencia(fin)
  - antiderivadaDiferencia(inicio);

console.log("Separación en x=0:", superior(0) - inferior(0));
console.log("Área exacta:", area.toFixed(4), "unidades cuadradas");

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos intersecciones y regiones por tramos. Aprenderemos a encontrar las fronteras de una región y a reorganizar la integral cuando las curvas cambian de orden.