Área de una superficie de revolución

01 · Punto de partida

Ahora gira una curva, no una región completa

Cuando una curva plana gira alrededor de una recta, cada uno de sus puntos recorre una circunferencia. El conjunto de esas circunferencias forma una superficie: por ejemplo, un cono lateral, un cilindro o una esfera.

Si un pequeño arco de longitud ds se encuentra a distancia ρ del eje, genera aproximadamente una banda de área:

Al acumular todas las bandas:

02 · Área frente a volumen

La superficie es una envolvente bidimensional

Usar una fórmula de discos o capas cilíndricas calcularía material interior, no el área de la “piel” exterior.

03 · Origen geométrico

Un segmento inclinado genera un tronco de cono

Aproximemos la curva con pequeños segmentos. Si un segmento de longitud Δs tiene radios extremos ρ₀ y ρ₁, al girar produce un tronco de cono cuya área lateral es:

Como los radios son casi iguales en una banda muy pequeña, su promedio se aproxima por ρ:

El límite de la suma de estas bandas troncocónicas produce 2π∫ρ ds.

04 · Curvas y=f(x)

La longitud inclinada introduce una raíz

Para una curva diferenciable y=f(x), la longitud elemental es:

Si gira alrededor de un eje horizontal y=k, el radio es ρ(x)=|f(x)−k|. Por tanto:

Si el eje es el eje x y f≥0, se simplifica a S=2π∫f(x)√[1+f′(x)²]dx.

05 · Otros ejes y variables

El radio siempre es la distancia al eje

El factor de longitud de arco depende de cómo se describe la curva; el radio depende del eje alrededor del cual gira.

06 · Método general

De la curva a la integral

1. 1
   Identificar el arco

   Determinar exactamente qué curva y qué intervalo generan la superficie.

2. 2
   Ubicar el eje de giro

   Representar la recta y comprobar si la curva la toca o la cruza.

3. 3
   Calcular el radio

   Escribir la distancia perpendicular desde la curva hasta el eje.

4. 4
   Construir ds

   Usar la derivada adecuada para la variable elegida.

5. 5
   Integrar 2πρ ds

   Separar por tramos si cambia la expresión de la distancia.

6. 6
   Interpretar el resultado

   Comprobar unidades cuadradas y decidir si deben agregarse tapas.

07 · Ejemplo desarrollado

La recta y=x genera un cono

El segmento de y=x, entre x=0 y x=1, gira alrededor del eje x.

1. Radio y longitud elemental

ρ(x)=x y f′(x)=1, así que ds=√2 dx.

2. Integrar

El cono tiene radio 1 y generatriz √2. La fórmula geométrica πrℓ también da π√2.

08 · Ejemplo clásico

Una semicircunferencia genera una esfera

La curva y=√(1−x²), para −1≤x≤1, gira alrededor del eje x.

Su derivada es y′=−x/√(1−x²). Entonces:

El radio cancela ese denominador:

Se recupera el área de una esfera unitaria. Aunque la derivada no es finita en los extremos, el integrando simplificado tiene límite finito; la integral se interpreta de manera impropia.

09 · Eje desplazado

Mover el eje cambia el radio, no la longitud del arco

El segmento y=x, para 0≤x≤1, gira ahora alrededor de y=2. La longitud elemental sigue siendo √2 dx, pero el radio es 2−x.

La superficie es un tronco de cono con radios 2 y 1 y generatriz √2. Su fórmula geométrica π(R+r)ℓ confirma el resultado.

10 · Giro alrededor del eje y

El radio puede ser x aunque la curva sea y=f(x)

La curva y=x², para 0≤x≤1, gira alrededor del eje y. El radio es ρ=x y ds=√(1+4x²)dx:

Este ejemplo separa con claridad los dos ingredientes: la derivada determina ds y la coordenada horizontal determina el radio.

11 · Curvas paramétricas

La fórmula se expresa naturalmente con la rapidez

Para x=x(t), y=y(t), con α≤t≤β:

Alrededor de un eje horizontal y=k:

Para un eje vertical x=c, se reemplaza el radio por |x(t)−c|.

12 · Área lateral y área total

Las tapas se agregan solo si el problema las pide

La integral 2π∫ρ ds calcula exclusivamente la superficie barrida por la curva generatriz. No incluye automáticamente discos en los extremos.

13 · Exploración

Laboratorio: aproximar con troncos de cono

Elegí una curva, la cantidad de bandas y la distancia del eje por debajo del eje x. La poligonal genera troncos de cono cuya suma aproxima el área.

El panel superior muestra la curva y su eje de giro. El inferior muestra el aporte de cada banda troncocónica.

Preguntas para explorar

1. ¿Por qué la recta produce el valor exacto con cualquier cantidad de bandas?
2. ¿Cómo cambia el área al alejar el eje sin modificar la curva?
3. ¿Qué curva necesita más bandas para estabilizar la aproximación?
4. ¿Cómo se relaciona la longitud poligonal con el área resultante?

14 · Implementación computacional

Integrar radio por longitud de arco

function areaSuperficie(curva, derivada, ejeY, inicio, fin,
  particiones = 20000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let area = 0;

  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    const radio = Math.abs(curva(x) - ejeY);
    const dsPorDx = Math.hypot(1, derivada(x));
    area += 2 * Math.PI * radio * dsPorDx * dx;
  }
  return area;
}

const curva = x => x;
const derivada = () => 1;
console.log(areaSuperficie(curva, derivada, 0, 0, 1).toFixed(6));
// 4.442883 ≈ π√2

Aproximar a partir de puntos medidos

function areaDesdePuntos(puntos, ejeY = 0) {
  let area = 0;
  for (let i = 1; i < puntos.length; i += 1) {
    const a = puntos[i - 1];
    const b = puntos[i];
    const radioA = Math.abs(a.y - ejeY);
    const radioB = Math.abs(b.y - ejeY);
    const generatriz = Math.hypot(b.x - a.x, b.y - a.y);
    area += Math.PI * (radioA + radioB) * generatriz;
  }
  return area;
}

const puntos = Array.from({ length: 9 }, (_, i) => {
  const x = i / 8;
  return { x, y: x };
});
console.log(areaDesdePuntos(puntos).toFixed(6));

Curvas paramétricas

function areaParametrica(x, y, dx, dy, ejeY, inicio, fin, n = 20000) {
  const dt = (fin - inicio) / n;
  let area = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const t = inicio + (i + 0.5) * dt;
    const radio = Math.abs(y(t) - ejeY);
    const rapidez = Math.hypot(dx(t), dy(t));
    area += 2 * Math.PI * radio * rapidez * dt;
  }
  return area;
}

// Segmento y=t, x=t que gira alrededor del eje x
const area = areaParametrica(
  t => t,
  t => t,
  () => 1,
  () => 1,
  0, 0, 1
);
console.log(area.toFixed(6));

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: cilindro lateral

La recta y=2, para 0≤x≤5, gira alrededor del eje x.

Ejercicio 2: cono

El segmento y=2x, para 0≤x≤1, gira alrededor del eje x.

Ejercicio 3: eje desplazado

La recta y=1, para 0≤x≤3, gira alrededor de y=−2.

Ejercicio 4: alrededor del eje y

La recta y=x, para 0≤x≤2, gira alrededor del eje y.

Ejercicio 5: área total

En el ejemplo del cono y=x, 0≤x≤1, calculá el área total incluyendo la base.

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos integrales al trabajo realizado por una fuerza variable, acumulando fuerza a lo largo de un desplazamiento.