Trabajo realizado por una fuerza variable

01 · Punto de partida

El trabajo mide energía transferida durante un desplazamiento

Si una fuerza constante F actúa en la misma dirección que un desplazamiento d, el trabajo es W=Fd. Cuando la fuerza cambia con la posición, no podemos multiplicar por un único valor.

Dividimos el recorrido en intervalos pequeños. En cada uno, la fuerza es casi constante y aporta aproximadamente:

El límite de la suma produce:

02 · De la suma a la integral

Cada tramo aporta fuerza por desplazamiento

En una partición a=x₀<x₁<⋯<xₙ=b, elegimos xᵢ* en cada intervalo. La suma de trabajo es:

Al refinar la partición, los rectángulos siguen la curva y la suma converge a la integral definida.

03 · Análisis dimensional

Newton por metro produce joules

En el Sistema Internacional:

Antes de integrar hay que convertir todas las magnitudes a un sistema compatible. Un intervalo expresado en centímetros con una fuerza en newtons no produce joules hasta convertir centímetros a metros.

04 · Orientación y signo

Una fuerza puede favorecer u oponerse al movimiento

• Si F(x)>0 y el movimiento avanza hacia valores crecientes de x, el trabajo es positivo.
• Si F(x)<0, la fuerza se opone y el trabajo es negativo.
• Si F(x)=0, no hay aporte instantáneo de trabajo.

Cuando la fuerza cambia de signo en x=c:

Los aportes pueden cancelarse. El trabajo neto no mide por sí solo cuánto trabajo positivo y negativo ocurrió durante el recorrido.

05 · Neto frente a magnitud acumulada

No confundir cancelación con ausencia de esfuerzo

Según el contexto pueden interesar tres cantidades:

06 · Fuerza inclinada

Solo contribuye la componente paralela al movimiento

Si una fuerza de magnitud F(x) forma un ángulo θ(x) con la dirección del desplazamiento:

A 0° la contribución es máxima y positiva; a 90° es cero; a más de 90° es negativa.

07 · Método general

Del enunciado a la integral de trabajo

1. 1
   Elegir una coordenada

   Definir origen, sentido positivo e intervalo recorrido.

2. 2
   Modelar la fuerza

   Expresar la componente paralela como función de la posición.

3. 3
   Localizar cambios

   Encontrar ceros, discontinuidades o fórmulas definidas por tramos.

4. 4
   Integrar

   Calcular ∫F∥(x)dx con límites orientados.

5. 5
   Interpretar el signo

   Indicar si la fuerza entrega o extrae energía neta.

6. 6
   Comprobar unidades

   Expresar el resultado en joules u otra unidad coherente de trabajo.

08 · Ejemplo desarrollado

Una fuerza que crece con la posición

Una fuerza horizontal F(x)=3x²+2 N desplaza un objeto desde x=0 hasta x=2 m.

La fuerza es siempre positiva y crece desde 2 N hasta 14 N. El área bajo su gráfica es positiva, por lo que entrega 12 J al objeto.

La fuerza media equivalente en ese intervalo es Fmedia=W/(2−0)=6 N.

09 · Cambio de signo

Trabajo positivo y negativo en el mismo recorrido

Sea F(x)=10−2x N para 0≤x≤8 m. La fuerza cambia de signo en x=5.

El trabajo neto es 25−9=16 J, mientras que la magnitud acumulada es 25+9=34 J. Son respuestas a preguntas diferentes.

10 · Dirección constante

Arrastrar con una cuerda inclinada

Una fuerza de 50 N forma un ángulo constante de 30° con el piso y desplaza una caja 6 m horizontalmente.

La componente vertical no realiza trabajo porque no hay desplazamiento vertical.

11 · Fuerzas medidas

Los datos discretos también permiten aproximar trabajo

Si se conocen fuerzas Fᵢ en posiciones xᵢ, la regla del trapecio usa:

La separación entre posiciones puede ser irregular. Las muestras deben ordenarse, expresarse en unidades compatibles y corresponder a la componente de fuerza en la dirección del desplazamiento.

12 · Conexiones físicas

El trabajo vincula fuerza, energía y potencia

El teorema trabajo–energía establece que el trabajo neto de todas las fuerzas es el cambio en energía cinética:

Si se conoce la potencia P(t), la energía transferida entre tiempos t₀ y t₁ es:

En movimiento rectilíneo, P=F∥v. Al usar dx=vdt, ambas formulaciones son coherentes.

13 · Exploración

Laboratorio: acumular trabajo con signo

Elegí una fuerza, la cantidad de intervalos y el ángulo con el movimiento. El gráfico inferior muestra cómo se acumula el trabajo a lo largo del recorrido.

El panel superior representa la componente de fuerza paralela y los rectángulos de la suma. El inferior muestra el trabajo acumulado desde x igual a cero.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué ocurre con el trabajo cuando el ángulo llega a 90°?
2. ¿Por qué un ángulo mayor que 90° invierte el signo?
3. En el perfil de frenado, ¿cómo pueden cancelarse aportes sin que todos sean cero?
4. ¿Qué perfiles producen una suma de puntos medios exacta?

14 · Implementación computacional

Integrar una fuerza dependiente de la posición

function trabajo(fuerza, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let acumulado = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    const F = fuerza(x);
    if (!Number.isFinite(F)) throw new Error("Fuerza no válida");
    acumulado += F * dx;
  }
  return acumulado;
}

const fuerza = x => 3 * x ** 2 + 2;
console.log(trabajo(fuerza, 0, 2).toFixed(6));
// 12.000000 J

Separar aportes positivos y negativos

function balanceDeTrabajo(fuerza, inicio, fin, n = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / n;
  let positivo = 0;
  let negativo = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const aporte = fuerza(inicio + (i + 0.5) * dx) * dx;
    if (aporte >= 0) positivo += aporte;
    else negativo += aporte;
  }
  return {
    positivo,
    negativo,
    neto: positivo + negativo,
    magnitud: positivo - negativo
  };
}

console.log(balanceDeTrabajo(x => 10 - 2 * x, 0, 8));

Trabajo desde mediciones

function trabajoDesdeMuestras(muestras) {
  let total = 0;
  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const a = muestras[i - 1];
    const b = muestras[i];
    if (b.x <= a.x) throw new Error("Las posiciones deben crecer");
    total += (a.fuerza + b.fuerza) / 2 * (b.x - a.x);
  }
  return total;
}

const datos = [
  { x: 0, fuerza: 2 },
  { x: 1, fuerza: 5 },
  { x: 2.5, fuerza: 4 },
  { x: 4, fuerza: 1 }
];
console.log(trabajoDesdeMuestras(datos));

15 · Formulación vectorial

El producto escalar generaliza la idea

Para una trayectoria r(t) y una fuerza vectorial F(r(t)):

En una dimensión, el producto escalar se reduce a la fuerza con signo multiplicada por dx. Esta formulación también explica por qué una fuerza perpendicular a la velocidad instantánea no realiza trabajo.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: fuerza constante

Una fuerza horizontal de 8 N desplaza un objeto 5 m.

Ejercicio 2: fuerza lineal

F(x)=4+x N actúa desde x=0 hasta x=3 m.

Ejercicio 3: frenado

Una fuerza constante de −12 N actúa mientras un objeto avanza 4 m.

Ejercicio 4: fuerza perpendicular

Una fuerza de 100 N se mantiene perpendicular a un desplazamiento de 10 m.

Ejercicio 5: muestras

Se miden fuerzas de 2, 6 y 4 N en las posiciones 0, 1 y 3 m. Aproximá el trabajo con trapecios.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos estas ideas al trabajo con resortes, donde la fuerza varía según la ley de Hooke.