Trabajo con resortes

01 · Punto de partida

Cuanto más se deforma un resorte, mayor fuerza ejerce

Dentro de su régimen elástico, un resorte ideal obedece la ley de Hooke. Si x es la deformación medida desde la longitud natural:

La constante k>0 mide la rigidez. El signo negativo indica que la fuerza del resorte siempre apunta hacia la posición natural x=0.

02 · Elegir la coordenada

La deformación se mide desde la longitud natural

Adoptamos la convención:

• x=0: resorte sin deformar;
• x>0: elongación;
• x<0: compresión.

Si un resorte de longitud natural L₀ tiene longitud actual L, entonces x=L−L₀. La coordenada no es la longitud total.

03 · Dos fuerzas relacionadas

Fuerza del resorte y fuerza externa tienen signos opuestos

Si deformamos el resorte lentamente, sin aceleración apreciable, la fuerza externa equilibra la fuerza restauradora:

Antes de responder hay que identificar quién realiza el trabajo. Los valores tienen igual magnitud y signos opuestos en un proceso lento ideal.

04 · Trabajo externo

El área bajo F=kx es un trapecio

Para mover lentamente el extremo desde x=a hasta x=b:

Si se parte de la longitud natural, a=0:

Gráficamente, es el área triangular bajo la recta F=kx. Usar la fuerza final kx durante todo el recorrido duplicaría el resultado.

05 · Energía potencial elástica

La deformación almacena energía

Elegimos cero de energía en la longitud natural. La energía potencial del resorte es:

Como depende de x², una compresión y una elongación de igual magnitud almacenan la misma energía.

Al soltar el resorte, esa energía puede transformarse en energía cinética, calor u otras formas según el sistema.

06 · Unidades y rigidez

La constante elástica se mide en fuerza por longitud

Una deformación dada en centímetros debe convertirse a metros si k está en N/m. Como la energía depende de x², olvidar la conversión introduce un factor de diez mil.

07 · Método general

Del enunciado al trabajo

1. 1
   Identificar la longitud natural

   Es la referencia desde la cual se mide toda deformación.

2. 2
   Convertir posiciones a deformaciones

   Calcular a=Linicial−L₀ y b=Lfinal−L₀.

3. 3
   Determinar k

   Usar el dato directo o la relación k=F/x dentro del régimen lineal.

4. 4
   Elegir el agente

   Distinguir trabajo externo de trabajo realizado por el resorte.

5. 5
   Integrar con límites orientados

   Aplicar ∫kx dx o ∫−kx dx.

6. 6
   Interpretar signo y unidades

   Relacionar el resultado con el cambio de energía almacenada.

08 · Ejemplo desarrollado

Estirar desde la longitud natural

Un resorte tiene k=200 N/m. ¿Cuánto trabajo externo se requiere para estirarlo 15 cm lentamente?

Convertimos 15 cm=0,15 m e integramos:

La fuerza final es 30 N, pero la fuerza media durante el estiramiento es 15 N. Así, 15 N·0,15 m=2,25 J.

09 · Deformación inicial no nula

No siempre se parte de x=0

Para k=80 N/m, calculamos el trabajo externo al pasar de una elongación de 10 cm a otra de 25 cm:

No se debe usar únicamente el desplazamiento 0,15 m como si el resorte comenzara sin deformación. La fuerza inicial ya es distinta de cero.

10 · Compresión y liberación

Los límites y el agente determinan el signo

Comprimir desde x=0 hasta x=−0,08 m un resorte de k=500 N/m requiere trabajo externo positivo:

La fuerza externa y el desplazamiento son ambos negativos, por eso su producto es positivo. Si el resorte regresa a x=0, realiza +1,60 J de trabajo ideal sobre el entorno.

11 · Obtener la constante elástica

Un dato de fuerza y deformación determina k

Si una fuerza de 18 N mantiene un resorte elongado 6 cm:

Con mediciones múltiples, k es la pendiente de la gráfica fuerza externa–deformación. Una regresión lineal suele ser más resistente al ruido que usar una sola muestra.

12 · Varios resortes

Una constante equivalente conserva la misma forma

Para resortes ideales:

Una vez obtenido keq, el trabajo ideal sigue siendo ½keq(b²−a²).

13 · Exploración

Laboratorio: deformación, trabajo y energía

Modificá la rigidez y las deformaciones inicial y final. La gráfica superior muestra la fuerza externa; la inferior, la energía almacenada.

El área orientada bajo F igual a kx coincide con el cambio de la parábola U igual a un medio kx al cuadrado.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué ocurre con la energía si duplicás la deformación final?
2. ¿Cómo cambia el trabajo al duplicar k?
3. ¿Por qué comprimir y estirar la misma distancia almacenan igual energía?
4. ¿Cuándo realiza trabajo positivo el propio resorte?

14 · Implementación computacional

Calcular trabajo y energía de un resorte

function energiaElastica(k, deformacion) {
  if (k < 0) throw new Error("k debe ser no negativa");
  return 0.5 * k * deformacion ** 2;
}

function trabajoExterno(k, inicial, final) {
  return energiaElastica(k, final) - energiaElastica(k, inicial);
}

console.log(trabajoExterno(200, 0, 0.15).toFixed(3));
// 2.250 J

Integrar numéricamente la fuerza

function integrarFuerza(k, inicial, final, n = 10000) {
  const dx = (final - inicial) / n;
  let trabajo = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const x = inicial + (i + 0.5) * dx;
    trabajo += k * x * dx;
  }
  return trabajo;
}

console.log(integrarFuerza(500, 0, -0.08));
// 1.6 J

Estimar k desde mediciones

function estimarK(muestras) {
  // Ajuste F = kx que pasa por el origen.
  let sumaXF = 0;
  let sumaX2 = 0;
  for (const { x, fuerza } of muestras) {
    sumaXF += x * fuerza;
    sumaX2 += x ** 2;
  }
  if (sumaX2 === 0) throw new Error("Faltan deformaciones no nulas");
  return sumaXF / sumaX2;
}

const datos = [
  { x: 0.02, fuerza: 6.1 },
  { x: 0.04, fuerza: 11.9 },
  { x: 0.06, fuerza: 18.2 }
];
console.log(estimarK(datos).toFixed(1), "N/m");

15 · Límites del modelo

La ley de Hooke solo vale en el régimen elástico

Un resorte real puede dejar de ser lineal, deformarse permanentemente o presentar histéresis. Si la curva medida es F(x) y no una recta, el trabajo sigue siendo:

En presencia de histéresis, la fuerza al cargar y descargar sigue curvas distintas. El área encerrada por el ciclo representa energía disipada, por lo que no existe una única función potencial que describa todo el proceso.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: elongación

Un resorte de k=120 N/m se estira 20 cm desde su longitud natural.

Ejercicio 2: hallar k

Se necesitan 15 N para mantener un resorte estirado 5 cm.

Ejercicio 3: entre dos elongaciones

Para k=100 N/m, calculá el trabajo externo de 10 cm a 30 cm.

Ejercicio 4: trabajo del resorte

Un resorte de k=250 N/m vuelve desde x=0,12 m hasta x=0. ¿Qué trabajo realiza?

Ejercicio 5: dos resortes en paralelo

Resortes de 100 N/m y 150 N/m se conectan en paralelo y se deforman 8 cm.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos el trabajo variable al bombeo de líquidos, sumando el peso de láminas elevadas distintas distancias.