Trabajo de bombeo de líquidos

01 · Punto de partida

No todo el líquido recorre la misma distancia

Para vaciar un tanque por una salida superior, una lámina cercana al fondo debe elevarse más que otra situada cerca de la superficie. Además, si el tanque cambia de anchura, las láminas tienen pesos diferentes.

Una lámina horizontal de área A(y) y espesor dy tiene volumen aproximado A(y)dy. Si el peso específico del líquido es δ:

Por tanto:

02 · Construir una lámina

Área, espesor, peso y distancia

Las láminas horizontales son naturales porque todos sus puntos se encuentran aproximadamente a la misma altura y recorren la misma distancia vertical.

03 · Masa y peso

Densidad de masa no es peso específico

Si ρ es la densidad de masa y g la aceleración gravitatoria:

Si se usa ρ en kg/m³, hay que multiplicar por g. Si ya se proporciona δ en N/m³, no se vuelve a multiplicar.

04 · Sistema de coordenadas

Una elección clara evita errores en la distancia

Es habitual colocar y=0 en el fondo y medir hacia arriba. Si la salida está a altura H+s, donde H es la altura del tanque y s la altura adicional del conducto:

Si el líquido ocupa desde y=a hasta y=b, esos son los límites de integración. Los límites describen el líquido real, no necesariamente todo el recipiente.

05 · Área transversal

La geometría del tanque determina A(y)

En conos y pirámides, la semejanza de triángulos convierte la altura y en radio o lado de la sección.

06 · Método general

Del recipiente a la integral de trabajo

1. 1
   Dibujar un eje vertical

   Definir el origen, la altura del tanque, el nivel del líquido y la salida.

2. 2
   Modelar el área A(y)

   Obtener la sección horizontal mediante geometría o semejanza.

3. 3
   Construir el peso

   Multiplicar A(y)dy por el peso específico δ.

4. 4
   Calcular D(y)

   Restar la altura de la lámina a la altura de descarga.

5. 5
   Elegir los límites

   Recorrer únicamente la parte ocupada por líquido.

6. 6
   Integrar y verificar

   Comprobar positividad, unidades y una cota razonable.

07 · Ejemplo desarrollado

Tanque cilíndrico vertical lleno

Un tanque de radio 2 m y altura 5 m está lleno de agua. Calculamos el trabajo para bombearla hasta el borde superior.

Con y=0 en el fondo:

El resultado es aproximadamente 1,539×10⁶ J. Las capas inferiores dominan porque recorren mayor distancia.

08 · Conducto sobre el tanque

Una salida más alta aumenta todas las distancias

Si el agua del ejemplo anterior debe elevarse 1 m por encima del borde, la salida está a y=6:

La diferencia es el trabajo adicional para elevar todo el peso del agua un metro más.

09 · Área variable

Tanque cónico invertido

Un cono invertido de altura 6 m y radio superior 3 m está lleno de agua y se bombea hasta el borde.

Por semejanza, r(y)/y=3/6, de modo que r(y)=y/2:

Aunque las láminas inferiores recorren más distancia, también son mucho más pequeñas que las superiores.

10 · Nivel parcial

Los límites pertenecen al líquido

Si un tanque de altura H contiene líquido solo hasta y=h<H, el trabajo hasta una salida a altura H+s es:

Si el líquido ocupa una franja entre y=a y y=b, se integra desde a hasta b. Usar los límites completos del tanque contaría líquido inexistente.

11 · Centro de masa como comprobación

Peso total por elevación del centro de masa

En un campo gravitatorio uniforme, el trabajo ideal también puede expresarse como:

Esta identidad es una consecuencia de la integral y sirve para comprobar resultados. En un cilindro vertical lleno, el centro de masa está a media altura; en un cono invertido lleno está a 3H/4 desde el vértice.

12 · Perfiles medidos

La sección puede provenir de datos

Si el área transversal se conoce solo en alturas discretas, puede interpolarse o aplicarse una regla numérica a:

La regla del trapecio integra los valores de q. Esto permite modelar depósitos irregulares a partir de escaneos, tablas de calibración o mediciones de campo.

13 · Exploración

Laboratorio: geometría, nivel y salida

Compará recipientes de 4 m de altura llenos con agua. Ajustá el nivel, la salida adicional y la cantidad de láminas.

El panel superior muestra el área horizontal según la altura. El inferior representa el trabajo por metro de altura de cada lámina.

Preguntas para explorar

1. ¿Por qué aumentar un metro la salida agrega el peso total por un metro?
2. ¿Cómo cambia el volumen del cono al duplicar el nivel?
3. ¿Qué geometrías dan una suma de puntos medios exacta?
4. ¿Dónde se encuentran las láminas que más trabajo aportan?

14 · Implementación computacional

Integrar el trabajo de bombeo

function trabajoBombeo(area, nivelInferior, nivelSuperior,
  alturaSalida, pesoEspecifico = 9800, particiones = 20000) {
  const dy = (nivelSuperior - nivelInferior) / particiones;
  let trabajo = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const y = nivelInferior + (i + 0.5) * dy;
    const A = area(y);
    const distancia = alturaSalida - y;
    if (A < 0 || distancia < 0) throw new Error("Geometría inválida");
    trabajo += pesoEspecifico * A * distancia * dy;
  }
  return trabajo;
}

const areaCilindro = () => 4 * Math.PI;
console.log(trabajoBombeo(areaCilindro, 0, 5, 5).toFixed(0));
// 1539380 J ≈ 490000π

Tanque cónico

function trabajoBombeo(area, nivelInferior, nivelSuperior,
  alturaSalida, pesoEspecifico = 9800, particiones = 20000) {
  const dy = (nivelSuperior - nivelInferior) / particiones;
  let trabajo = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const y = nivelInferior + (i + 0.5) * dy;
    trabajo += pesoEspecifico * area(y) * (alturaSalida - y) * dy;
  }
  return trabajo;
}

const altura = 6;
const radioSuperior = 3;
const areaCono = y => {
  const radio = radioSuperior * y / altura;
  return Math.PI * radio ** 2;
};

const trabajo = trabajoBombeo(areaCono, 0, altura, altura);
console.log((trabajo / 1000).toFixed(3), "kJ");

Área medida en una tabla

function trabajoDesdeSecciones(muestras, salida, delta = 9800) {
  let trabajo = 0;
  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const a = muestras[i - 1];
    const b = muestras[i];
    const qa = delta * a.area * (salida - a.y);
    const qb = delta * b.area * (salida - b.y);
    trabajo += (qa + qb) / 2 * (b.y - a.y);
  }
  return trabajo;
}

const secciones = [
  { y: 0, area: 4 },
  { y: 1, area: 4.5 },
  { y: 2.5, area: 5 },
  { y: 4, area: 5.5 }
];
const trabajoMedido = trabajoDesdeSecciones(secciones, 5);
console.log((trabajoMedido / 1000).toFixed(3), "kJ");

15 · Controles del resultado

Unidades, cotas y centro de masa

El integrando tiene dimensiones:

Si todo el líquido se eleva entre una distancia mínima Dmin y una máxima Dmax:

El método del centro de masa debe producir un valor dentro de esas cotas y coincidente con la integral.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: prisma rectangular

Un tanque de base 4 m por 3 m y altura 2 m está lleno de agua. Se bombea hasta el borde.

Ejercicio 2: salida elevada

En el tanque anterior, la salida está 1 m sobre el borde.

Ejercicio 3: medio tanque

El mismo tanque contiene agua solo hasta 1 m y se bombea al borde, a y=2.

Ejercicio 4: planteo cónico

Un cono invertido de altura 4 m y radio superior 2 m está lleno. Planteá el trabajo hasta el borde.

Ejercicio 5: otro líquido

Un aceite tiene densidad 800 kg/m³. ¿Qué peso específico debe usarse con g=9,8 m/s²?

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la fuerza hidrostática, acumulando la presión variable sobre una placa sumergida.