Fuerza hidrostática

01 · Punto de partida

La presión aumenta con la profundidad

En un líquido en reposo y de densidad constante, la presión manométrica a profundidad h bajo la superficie es:

Una pequeña tira de área dA recibe aproximadamente una fuerza normal:

Como la presión no es uniforme sobre una placa vertical, la fuerza total requiere una integral.

02 · Presión frente a fuerza

Son magnitudes diferentes

Multiplicar una presión por una longitud no produce fuerza. Debe multiplicarse por un área, que en una tira horizontal es w(y)dy.

03 · Modelo de una tira

Una tira horizontal tiene presión casi constante

Sea y una coordenada vertical y w(y) el ancho de la placa. Si h(y) es la profundidad bajo la superficie:

La fuerza total es:

04 · Coordenada y profundidad

No son necesariamente la misma expresión

Una elección conveniente es medir y hacia abajo desde la superficie; entonces h(y)=y. Pero si el origen está en el fondo de un tanque cuya superficie está a altura H, la profundidad es:

Siempre debe escribirse una relación explícita entre la coordenada geométrica y la profundidad física.

05 · Propiedades del líquido

El peso específico conecta profundidad y presión

Para agua dulce, usando ρ≈1000 kg/m³ y g≈9,8 m/s²:

En unidades imperiales suele usarse δ=62,4 lbf/ft³. No se deben mezclar pies con metros ni densidad de masa con peso específico.

La presión manométrica ignora la atmosférica. Esto es correcto cuando la atmósfera actúa en ambos lados y se cancela. Si el otro lado está al vacío o a otra presión, debe incluirse la diferencia correspondiente.

06 · Método general

De la placa a la integral

1. 1
   Dibujar superficie y placa

   Marcar dimensiones, orientación y parte realmente sumergida.

2. 2
   Elegir una coordenada vertical

   Definir origen, sentido positivo y límites.

3. 3
   Escribir la profundidad

   Calcular h(y) desde la superficie libre.

4. 4
   Encontrar el ancho

   Expresar w(y) mediante geometría, semejanza o una ecuación.

5. 5
   Construir dF

   Multiplicar δh(y)w(y)dy.

6. 6
   Integrar y comprobar

   Verificar unidades, positividad y profundidad del centro de presión.

07 · Ejemplo desarrollado

Compuerta rectangular con borde superior en la superficie

Una compuerta vertical mide 3 m de ancho y 2 m de alto. Su borde superior coincide con la superficie del agua.

Medimos profundidad y hacia abajo. Entonces h(y)=y, w(y)=3 y 0≤y≤2:

La presión es cero en la superficie y alcanza 19600 Pa en el borde inferior.

08 · Placa completamente sumergida

La presión ya es positiva en el borde superior

Una placa rectangular de 2 m de ancho y 1,5 m de alto tiene su borde superior a 1 m de profundidad. Usamos directamente la profundidad h, entre 1 y 2,5 m:

También se obtiene como δ·A·h̄: el área es 3 m² y la profundidad del centroide es 1,75 m.

09 · Ancho variable

Compuerta triangular con vértice en la superficie

Una placa triangular tiene altura 3 m, vértice superior en la superficie y base inferior de 4 m. Por semejanza:

La profundidad aumenta linealmente y el ancho también, por lo que el aporte crece cuadráticamente.

10 · Placas curvas en el plano

El ancho puede provenir de una ecuación

Para una placa circular de radio R cuyo centro está a profundidad c>R, una tira a profundidad h tiene ancho:

La fuerza es δ∫c−Rc+Rh,w(h)dh. Por simetría equivale a:

En general, para una placa plana de área A cuyo centroide está a profundidad h̄, F=δAh̄. La integral sigue siendo necesaria para localizar la resultante.

11 · Punto de aplicación

La resultante actúa en el centro de presión

El momento de una tira respecto de la superficie es h,dF. La profundidad de la fuerza resultante es:

Para el rectángulo del primer ejemplo, hcp=2H/3=4/3 m. Está por debajo del centroide, situado a 1 m, porque la zona inferior recibe mayor presión.

Para el triángulo que se ensancha hacia abajo, hcp=3H/4=2,25 m.

12 · Otras orientaciones

Una placa horizontal tiene presión uniforme

Si una placa horizontal de área A se encuentra enteramente a profundidad h, todos sus puntos reciben la misma presión:

Para placas inclinadas, la presión sigue dependiendo de la profundidad vertical, pero el área elemental debe medirse sobre la propia placa. Es conveniente parametrizar la distancia a lo largo de ella y expresar la profundidad en función de ese parámetro.

13 · Exploración

Laboratorio: forma, inmersión y centro de presión

Elegí una placa, su altura, la profundidad del borde superior y la cantidad de tiras. El ancho máximo es fijo para cada forma.

El panel superior muestra el ancho de la placa. El inferior representa la fuerza por unidad de altura y su aproximación mediante tiras.

Preguntas para explorar

1. ¿Cómo cambia la fuerza al hundir toda la placa sin cambiar su forma?
2. ¿Por qué el centro de presión está debajo del centroide?
3. Compará los dos triángulos: ¿cuál recibe mayor fuerza?
4. ¿Qué perfiles producen una suma de puntos medios exacta?

14 · Implementación computacional

Integrar fuerza y momento hidrostático

function fuerzaHidrostatica(ancho, inicio, fin,
  pesoEspecifico = 9800, particiones = 20000) {
  const dh = (fin - inicio) / particiones;
  let fuerza = 0;
  let momento = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const h = inicio + (i + 0.5) * dh;
    const dF = pesoEspecifico * h * ancho(h) * dh;
    fuerza += dF;
    momento += h * dF;
  }
  return { fuerza, centroPresion: momento / fuerza };
}

const placaRectangular = () => 3;
console.log(fuerzaHidrostatica(placaRectangular, 0, 2));
// fuerza: 58800 N, centroPresion: 1.333... m

Placa triangular

function fuerzaHidrostatica(ancho, inicio, fin,
  pesoEspecifico = 9800, particiones = 20000) {
  const dh = (fin - inicio) / particiones;
  let fuerza = 0;
  let momento = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const h = inicio + (i + 0.5) * dh;
    const dF = pesoEspecifico * h * ancho(h) * dh;
    fuerza += dF;
    momento += h * dF;
  }
  return { fuerza, centroPresion: momento / fuerza };
}

const altura = 3;
const base = 4;
const anchoTriangulo = h => base * h / altura;
const resultado = fuerzaHidrostatica(anchoTriangulo, 0, altura);

console.log((resultado.fuerza / 1000).toFixed(3), "kN");
console.log(resultado.centroPresion.toFixed(3), "m");

Perfil de ancho medido

function fuerzaDesdeTiras(tiras, delta = 9800) {
  return tiras.reduce((total, tira) => {
    const area = tira.ancho * tira.espesor;
    return total + delta * tira.profundidad * area;
  }, 0);
}

const tiras = [
  { profundidad: 0.5, ancho: 3, espesor: 1 },
  { profundidad: 1.5, ancho: 3, espesor: 1 }
];
const fuerza = fuerzaDesdeTiras(tiras);
console.log((fuerza / 1000).toFixed(3), "kN");

15 · Controles del resultado

Promedio, unidades y cotas

Para una placa plana, la fuerza total también satisface:

donde h̄ es la profundidad del centroide. Además, si toda la placa se encuentra entre profundidades hmin y hmax:

Las unidades son (N/m³)(m)(m²)=N. El centro de presión debe quedar dentro de la placa y, para una placa vertical, normalmente por debajo del centroide.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: placa horizontal

Una placa horizontal de 2 m² está a 3 m de profundidad en agua.

Ejercicio 2: rectángulo vertical

Una placa de 2 m de ancho se extiende desde la superficie hasta 3 m de profundidad.

Ejercicio 3: centro de presión

¿A qué profundidad actúa la resultante del rectángulo anterior?

Ejercicio 4: placa sumergida

Un cuadrado de lado 1 m tiene su borde superior a 2 m de profundidad.

Ejercicio 5: aceite

Un aceite de densidad 800 kg/m³ actúa sobre una placa de área 3 m² cuyo centroide está a 2 m.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos masa y densidad variable en barras y distribuciones continuas.