Masa y densidad variable

01 · Punto de partida

La densidad lineal es una tasa de masa

Una barra puede ser más gruesa, contener materiales distintos o tener una composición que cambia. La densidad lineal λ(x) indica cuánta masa hay por unidad de longitud cerca de la posición x.

Un segmento pequeño de longitud dx tiene masa aproximada:

La masa entre x=a y x=b es:

02 · De segmentos a masa

Una barra se aproxima mediante piezas uniformes

Dividimos [a,b] en segmentos. En el segmento i, la densidad cambia poco:

La suma Σλ(xᵢ*)Δxᵢ converge a la integral cuando la longitud máxima de los segmentos tiende a cero.

03 · Unidades

La integral debe terminar en unidades de masa

Si λ está en kg/m y x en centímetros, hay que convertir antes de integrar. Una mezcla de unidades puede introducir factores de 100 o 1000.

04 · Masa acumulada

La integral con límite variable describe cuánto se reunió

La masa desde el extremo izquierdo hasta una posición x es:

Por el Teorema Fundamental, M′(x)=λ(x). Si la densidad es no negativa, M nunca disminuye.

05 · Densidad media

Una barra uniforme equivalente

La densidad constante que produce la misma masa en una longitud b−a es:

La densidad media resume la cantidad total, pero no conserva cómo está distribuida. Dos barras con igual masa y longitud pueden tener perfiles muy diferentes.

06 · Método general

Del modelo a la masa

1. 1
   Definir la coordenada

   Fijar origen, intervalo y unidad de longitud.

2. 2
   Identificar el tipo de densidad

   Confirmar que λ sea masa por longitud.

3. 3
   Revisar el dominio

   Comprobar que λ(x)≥0 donde representa materia.

4. 4
   Separar cambios

   Dividir si la densidad está definida por tramos.

5. 5
   Integrar

   Calcular ∫λ(x)dx.

6. 6
   Validar

   Revisar unidades, signo y cotas.

07 · Ejemplo desarrollado

Densidad que aumenta linealmente

Una barra ocupa 0≤x≤4 m y tiene λ(x)=2+x kg/m.

Su densidad media es 16/4=4 kg/m. La mitad derecha contiene más masa que la izquierda.

08 · Determinar un parámetro

La masa total puede calibrar el modelo

Si λ(x)=c(1+x) kg/m en 0≤x≤2 y la masa total es 12 kg:

La integral convierte una medición global en una condición para el parámetro desconocido.

09 · Materiales por tramos

Los cambios de composición se suman

Si la densidad cambia en x=c:

Los saltos son admisibles: un punto aislado no aporta masa por sí mismo. Lo importante es usar la fórmula correcta en cada intervalo.

10 · De densidad volumétrica a lineal

El área transversal también puede variar

Si un objeto delgado tiene densidad volumétrica ρ(x) en kg/m³ y área transversal A(x) en m²:

Una barra del mismo material puede tener densidad lineal variable simplemente porque cambia su grosor.

11 · Densidades medidas

La regla del trapecio aproxima masa desde muestras

Para mediciones (xᵢ,λᵢ) ordenadas:

Los puntos pueden tener separación irregular. Conviene registrar la unidad y la incertidumbre de cada medición.

12 · Generalización

La misma idea funciona en áreas y volúmenes

En todos los casos, masa es densidad multiplicada por el elemento geométrico correspondiente e integrada sobre el objeto.

13 · Exploración

Laboratorio: densidad y masa acumulada

Elegí un perfil, una escala y la cantidad de segmentos. El panel inferior muestra cómo crece la masa desde el extremo izquierdo.

El gráfico superior representa la densidad y los rectángulos de la suma. El inferior muestra la masa acumulada.

14 · Implementación computacional

Integrar una densidad lineal

function masa(densidad, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    const lambda = densidad(x);
    if (!Number.isFinite(lambda) || lambda < 0) {
      throw new Error("La densidad debe ser finita y no negativa");
    }
    total += lambda * dx;
  }
  return total;
}

console.log(masa(x => 2 + x, 0, 4)); // 16 kg

Masa acumulada en posiciones dadas

function masa(densidad, inicio, fin, particiones = 10000) {
  const dx = (fin - inicio) / particiones;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < particiones; i += 1) {
    total += densidad(inicio + (i + 0.5) * dx) * dx;
  }
  return total;
}

function masasAcumuladas(densidad, posiciones) {
  const origen = posiciones[0];
  return posiciones.map(x => ({ x, masa: masa(densidad, origen, x) }));
}

console.log(masasAcumuladas(x => 1 + x, [0, 1, 2, 3]));

Integrar muestras irregulares

function masaDesdeMuestras(muestras) {
  let total = 0;
  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const a = muestras[i - 1];
    const b = muestras[i];
    if (b.x <= a.x) throw new Error("Las posiciones deben crecer");
    total += (a.densidad + b.densidad) / 2 * (b.x - a.x);
  }
  return total;
}

const muestras = [
  { x: 0, densidad: 1 },
  { x: 0.8, densidad: 1.4 },
  { x: 2, densidad: 2 },
  { x: 3.5, densidad: 2.5 }
];
console.log(masaDesdeMuestras(muestras).toFixed(4), "kg");

15 · Controles

Positividad y cotas

Si λmin≤λ(x)≤λmax en una longitud L:

La masa debe ser no negativa y M(b) debe coincidir con la integral total. Las unidades finales deben ser de masa.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica guiada

Ejercicios

1. Barra uniforme

λ=3 kg/m en una barra de 5 m.

2. Densidad lineal

λ(x)=1+2x en 0≤x≤3.

3. Densidad media

Para la barra anterior, calculá λmedia.

4. Área variable

ρ=500 kg/m³ y A(x)=0,01(1+x) m² para 0≤x≤2.

5. Parámetro

λ(x)=c x en [0,4] y masa 24 kg.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema usaremos estas distribuciones para calcular momentos y centros de masa.