Momentos y centro de masa

01 · Punto de partida

La misma masa puede equilibrarse en lugares distintos

Dos barras con igual longitud y masa total no necesariamente se equilibran en el mismo punto. Importa dónde se concentra el material.

Una masa pequeña dm situada en x produce respecto del origen el momento:

Para una barra con densidad lineal λ(x), dm=λ(x)dx.

02 · Barra unidimensional

Masa, momento y centro

Si λ≥0 y la masa es positiva, x̄ debe quedar entre a y b.

03 · Condición de balance

El momento neto alrededor de x̄ es cero

Los momentos con brazo negativo a la izquierda compensan los positivos a la derecha. Esta identidad se obtiene sustituyendo x̄=M/m.

04 · Unidades

El momento combina masa y distancia

No debe confundirse el momento de masa con un torque de fuerza, aunque ambos expresen una cantidad ponderada por una distancia.

05 · Método general

Del perfil de densidad al equilibrio

1. 1
   Definir el eje

   Fijar origen, intervalo y unidades.

2. 2
   Modelar λ(x)

   Comprobar que sea no negativa.

3. 3
   Calcular masa

   Evaluar m=∫λ.

4. 4
   Calcular momento

   Evaluar M=∫xλ.

5. 5
   Dividir

   Obtener x̄=M/m.

6. 6
   Validar

   Comprobar ubicación, simetría y balance.

06 · Ejemplo desarrollado

Barra más densa hacia la derecha

Sea λ(x)=1+x kg/m en 0≤x≤2.

El centro queda a la derecha del punto medio porque allí se concentra más masa.

07 · Simetría

Una simetría puede evitar la integración del momento

Si la distribución es simétrica respecto de x=c, entonces x̄=c. En [−L,L], una densidad par cumple x̄=0 porque xλ(x) es impar.

08 · Masas discretas y continuas

Las fórmulas tienen la misma estructura

La integral es el límite de un promedio ponderado de muchas masas pequeñas.

09 · Cambio de origen

El centro físico no depende de las coordenadas

El momento respecto de x=c es Mc=∫(x−c)dm=M−cm. Si trasladamos la coordenada mediante u=x−c, entonces ū=x̄−c.

Los valores numéricos cambian con el origen, pero el punto físico de equilibrio es el mismo.

10 · Láminas planas

En dos dimensiones se necesitan dos momentos

Para densidad superficial σ(x,y):

El momento respecto del eje x usa la distancia y; el momento respecto del eje y usa x.

11 · Centroide de una región

Con densidad uniforme, la constante se cancela

Para la región entre y=f(x) e y=g(x), f≥g:

El centroide describe la geometría de la región y coincide con el centro de masa de una lámina uniforme.

12 · Ejemplo de lámina

Región triangular bajo una recta

La región bajo y=2−x, sobre el eje x, para 0≤x≤2, tiene área 2.

Coincide con la intersección de las medianas del triángulo.

13 · Exploración

Laboratorio: equilibrar una barra

Cambiá el perfil, la escala y la cantidad de segmentos. La gráfica inferior muestra los aportes de momento respecto del centro calculado.

Arriba se muestra la densidad y el centro; abajo, el momento firmado de cada segmento.

14 · Implementación

Calcular masa, momento y centro

function centroDeMasa(densidad, inicio, fin, n = 20000) {
  const dx = (fin - inicio) / n;
  let masa = 0;
  let momento = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const x = inicio + (i + 0.5) * dx;
    const dm = densidad(x) * dx;
    masa += dm;
    momento += x * dm;
  }
  if (masa <= 0) throw new Error("La masa debe ser positiva");
  return { masa, momento, centro: momento / masa };
}

console.log(centroDeMasa(x => 1 + x, 0, 2));

Masas puntuales

function centroDiscreto(puntos) {
  if (!Array.isArray(puntos) || puntos.length === 0) {
    throw new Error("Se necesita al menos una masa puntual");
  }
  const masa = puntos.reduce((s, p) => s + p.masa, 0);
  const momento = puntos.reduce((s, p) => s + p.x * p.masa, 0);
  if (masa <= 0) throw new Error("La masa total debe ser positiva");
  return { masa, momento, centro: momento / masa };
}

const puntos = [
  { x: 0, masa: 2 },
  { x: 4, masa: 6 }
];

console.log(centroDiscreto(puntos));

15 · Controles

El centro debe ser físicamente posible

• Debe quedar dentro del intervalo si la densidad es no negativa.
• Debe respetar cualquier simetría del perfil.
• Debe desplazarse hacia la zona donde aumenta la densidad.
• El momento alrededor del centro debe ser cero.
• Multiplicar toda la densidad por una constante cambia masa y momento, pero no x̄.

16 · Comprensión

Confusiones frecuentes

17 · Práctica

Ejercicios

1. Barra uniforme

Una barra uniforme ocupa [0,6].

2. Densidad λ=x

En [0,3].

3. Escala

¿Cambiar λ por 5λ mueve el centro?

4. Dos puntos

2 kg en x=0 y 6 kg en x=4.

5. Rectángulo uniforme

0≤x≤4, 0≤y≤2.

18 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos integrales a datos y señales.