Integrales en datos y señales

01 · Punto de partida

Integrar una señal significa acumular sus aportes

Una señal x(t) puede representar caudal, corriente, velocidad, potencia o una lectura de sensor. Su integral con signo es Q=∫x(t)dt; la interpretación y las unidades dependen de la magnitud medida.

02 · Tres acumulaciones

Signo, magnitud y energía

03 · Valor medio

La constante con igual acumulación

Una señal periódica sinusoidal completa tiene media cero, aunque no sea nula.

04 · Valor eficaz

RMS evita la cancelación

Para x(t)=A sen(ωt) sobre períodos completos, xRMS=A/√2. Una señal constante C tiene RMS |C|.

05 · Energía y potencia

La integral depende del modelo físico

Si P(t) es potencia, E=∫P(t)dt. Para una tensión v(t) sobre una resistencia R, P=v²/R y E=1/R∫v²dt. El cuadrado aislado no siempre tiene unidades de energía: necesita el factor físico apropiado.

06 · Datos discretos

Trapecios entre muestras

La fórmula admite tiempos irregulares. Para energía se aplica a los valores xᵢ², no se eleva al cuadrado la integral.

07 · Resolución temporal

Una integral numérica no recupera información ausente

Si el muestreo es demasiado lento, picos y oscilaciones pueden desaparecer o parecer de menor frecuencia. Aumentar subdivisiones entre las mismas muestras solo interpola; no crea mediciones nuevas.

08 · Línea base

Un offset altera media, integral y RMS

Si el sensor entrega xmedida=xreal+c, la acumulación agrega cT. Para analizar variaciones suele restarse una línea base estimada; para energía física solo debe hacerse si el modelo lo justifica.

09 · Método general

De muestras a una métrica confiable

1. 1
   Definir la pregunta

   Neto, magnitud, energía, media o RMS.

2. 2
   Revisar unidades

   Identificar qué produce integrar respecto del tiempo.

3. 3
   Ordenar y limpiar

   Tiempos crecientes, faltantes y valores inválidos.

4. 4
   Transformar

   Usar x, |x| o x² según la métrica.

5. 5
   Integrar

   Aplicar trapecios con cada intervalo real.

6. 6
   Validar

   Comparar resolución, cotas y unidades.

10 · Ejemplos

Señal sinusoidal y potencia medida

Para x(t)=3 sen(2πt) en un segundo: media 0, energía cuadrática 9/2 y RMS 3/√2.

Si una potencia crece linealmente de 100 W a 300 W durante 4 s, la energía es el área del trapecio: E=(100+300)/2·4=800 J.

11 · Intervalos de análisis

La ventana modifica el resultado

Media y RMS deben indicar su intervalo. En señales periódicas, una cantidad entera de períodos evita sesgos de fase. En eventos transitorios, la ventana debe incluir el evento completo y una línea base suficiente.

12 · Exploración

Laboratorio: muestreo y energía

13 · Implementación

Integrar muestras irregulares

// Mediciones tomadas en instantes no equidistantes
const datos = [
  { t: 0,    x: 0 },
  { t: 0.2,  x: 1 },
  { t: 0.55, x: -0.5 },
  { t: 1,    x: 0.75 },
  { t: 1.4,  x: 0 }
];

function integrarMuestras(muestras, transformar = x => x) {
  if (!Array.isArray(muestras) || muestras.length < 2) {
    throw new Error("Se necesitan al menos dos muestras");
  }

  let total = 0;
  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const a = muestras[i - 1], b = muestras[i];
    if (![a.t, a.x, b.t, b.x].every(Number.isFinite)) {
      throw new Error("Todos los tiempos y valores deben ser numéricos");
    }
    const dt = b.t - a.t;
    if (dt <= 0) throw new Error("Los tiempos deben crecer");
    total += (transformar(a.x) + transformar(b.x)) / 2 * dt;
  }
  return total;
}

const energia = integrarMuestras(datos, x => x ** 2);
const duracion = datos.at(-1).t - datos[0].t;
const rms = Math.sqrt(energia / duracion);

console.log(`Energía cuadrática: ${energia.toFixed(4)}`);
console.log(`Duración: ${duracion.toFixed(2)} s`);
console.log(`RMS: ${rms.toFixed(4)}`);

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica

Ejercicios

16 · Síntesis

Ideas para recordar

El próximo tema integraremos modelado, cálculo y visualización en un proyecto completo.