01 · El desafío
¿Qué capacidad debe tener un tanque de lluvia?
Una cubierta conduce parte de la lluvia hacia un tanque. La intensidad cambia durante la tormenta, una fracción del agua se pierde y el depósito tiene capacidad limitada. Queremos calcular cuánto volumen se capta, cuánto se almacena y cuánto se desborda.
02 · Variables
Datos, incógnitas y supuestos
| Símbolo | Significado | Unidad |
|---|---|---|
A | Área horizontal de la cubierta | m² |
I(t) | Intensidad instantánea de lluvia | mm/h |
C | Coeficiente de captación, entre 0 y 1 | sin unidad |
T | Duración de la tormenta | h |
K | Capacidad útil del tanque | L |
Supondremos el tanque vacío al comenzar, sin consumo durante la lluvia y una misma eficiencia C durante todo el evento.
03 · Modelado
De la intensidad al caudal captado
Como un milímetro de lluvia sobre un metro cuadrado equivale a un litro, el caudal de entrada es:
Adoptamos una tormenta idealizada que crece hasta un máximo y luego disminuye suavemente:
Este perfil no representa todas las tormentas, pero es positivo, tiene un pico controlable y permite comparar una solución exacta con una aproximación numérica.
04 · Control dimensional
Las unidades también verifican el modelo
La equivalencia funciona porque 1 mm = 0,001 m y 1 m³ = 1000 L. Al integrar el caudal respecto del tiempo obtenemos litros:
05 · Solución analítica
Volumen total captado
Una primitiva es −ImáxT/π · cos(πt/T). Al evaluar los límites:
La profundidad total de lluvia del modelo es H=2ImáxT/π. El volumen captado también puede escribirse como V=CAH.
06 · Evolución temporal
¿Cuánta agua llegó hasta un instante?
La función acumulada permite saber cuándo se llena el tanque:
El agua almacenada es S(t)=min(V(t),K). Si no hay salida durante la tormenta, el desborde acumulado es D(t)=max(0,V(t)−K).
07 · Caso base
Una vivienda y una tormenta intensa
Consideremos A=120 m², C=0,85, Imáx=50 mm/h y T=3 h.
1. Profundidad: H=2·50·3/π≈95,49 mm.
2. Volumen captado: V=0,85·120·95,49≈9740,3 L.
3. Con un tanque de 5000 L se almacenan 5000 L y se desbordan aproximadamente 4740,3 L.
08 · Verificación numérica
La regla del trapecio comprueba el resultado
Dividimos [0,T] en n intervalos de ancho Δt=T/n y aproximamos:
Al aumentar n, el resultado debe acercarse a la fórmula exacta. La diferencia relativa sirve como control del algoritmo.
09 · Exploración
Laboratorio de dimensionamiento
Tormenta, captación y tanque
I(t)=50 sen(πt/3) mm/h
El tanque se llena durante la tormenta.
10 · Implementación
Separar el modelo del método numérico
// Parámetros del caso base
const area = 120; // m²
const eficiencia = 0.85; // proporción captada
const pico = 50; // mm/h
const duracion = 3; // h
function intensidad(t, pico, duracion) {
return pico * Math.sin(Math.PI * t / duracion);
}
function integrarTrapecios(f, a, b, n) {
const h = (b - a) / n;
let suma = (f(a) + f(b)) / 2;
for (let i = 1; i < n; i++) {
suma += f(a + i * h);
}
return suma * h;
}
const caudal = t =>
eficiencia * area * intensidad(t, pico, duracion);
const volumen = integrarTrapecios(caudal, 0, duracion, 120);
const volumenExacto =
2 * eficiencia * area * pico * duracion / Math.PI;
const errorRelativo =
Math.abs(volumen - volumenExacto) / volumenExacto * 100;
console.log(`Volumen aproximado: ${volumen.toFixed(2)} L`);
console.log(`Volumen exacto: ${volumenExacto.toFixed(2)} L`);
console.log(`Error relativo: ${errorRelativo.toFixed(4)} %`);Esta separación permite cambiar el perfil de lluvia sin reescribir el integrador, o reemplazar trapecios por otro método sin modificar el modelo físico.
11 · Interpretación
Calcular no es lo mismo que decidir
Un tanque capaz de contener toda la tormenta evita desborde en este escenario, pero quizá sea demasiado costoso. El diseño final también depende de la frecuencia de las lluvias, el consumo esperado, el espacio disponible y el nivel de riesgo aceptable.
| Objetivo | Criterio matemático |
|---|---|
| Evitar todo desborde del evento | K≥V(T) |
Captar al menos una fracción p | K≥p·V(T) |
| Estudiar varios escenarios | Recalcular con diferentes Imáx y T |
12 · Sensibilidad
Qué variables tienen mayor impacto
En la fórmula V=2CAImáxT/π, el volumen es proporcional a cada parámetro. Aumentar el área, la eficiencia, el pico o la duración un 10 % aumenta el volumen un 10 % si los demás permanecen constantes.
La capacidad K no modifica el agua captada: solo reparte ese volumen entre almacenamiento y desborde.
13 · Alcance
Todo modelo simplifica la realidad
La tormenta real no es una senoide
Puede reemplazarse el perfil ideal por mediciones y aplicar la misma integración numérica.
La eficiencia no siempre es constante
Depende de materiales, suciedad, viento y pérdidas iniciales.
Puede haber consumo durante la lluvia
En ese caso se integra el balance qentrada(t)−qsalida(t).
No estudiamos probabilidades
Un diseño profesional requiere series históricas y eventos con distintos períodos de retorno.
El tanque podría no comenzar vacío
Se incorpora un volumen inicial S(0) al balance.
14 · Nuevos desafíos
Cómo ampliar el proyecto
- 1Usar datos reales
Importar una serie temporal de intensidad y tiempos irregulares.
- 2Agregar consumo
Simular riego o uso doméstico mientras ingresa agua.
- 3Comparar diseños
Evaluar costo, porcentaje captado y volumen desperdiciado.
- 4Detectar eventos
Separar tormentas y resumir cada una mediante integrales.
15 · Tu proyecto
Lista de verificación
- Formulá una pregunta concreta que la integral permita responder.
- Definí variables, unidades, intervalo y supuestos.
- Construí la tasa cuya acumulación interesa.
- Calculá el resultado analítica o numéricamente.
- Verificá unidades, signo, cotas y convergencia.
- Visualizá la tasa y la cantidad acumulada.
- Interpretá el resultado como una decisión.
- Explicá las limitaciones del modelo.
16 · Cierre del recorrido
La integral como herramienta de programación
En este proyecto la integral conectó una tasa variable con una cantidad acumulada. El mismo patrón aparece en distancia, trabajo, masa, energía, probabilidad y procesamiento de señales.