Regla de la cadena a lo largo de una trayectoria

01 · Variables que se mueven

Evaluar una función sobre una trayectoria

Una función f(x,y) describe un campo escalar: temperatura, altura, presión o costo para cada par de entradas. Si las coordenadas dependen del tiempo, x=x(t) e y=y(t), entonces el valor observado también se convierte en una función del tiempo:

La tasa F′(t) debe combinar dos tipos de información:

• Cómo cambia f respecto de cada coordenada.
• Con qué velocidad cambia cada coordenada.
• Si los aportes parciales se refuerzan o se cancelan.
• Qué parte del movimiento cruza los niveles del campo.
• Cómo influyen la dirección y la rapidez de la trayectoria.

02 · Regla de la cadena

Sumar las contribuciones de cada coordenada

Si f es diferenciable y x(t), y(t) son derivables, entonces:

Cada término tiene la estructura:

Las parciales se evalúan en la posición actual de la trayectoria, no en un punto fijo independiente. Por eso el resultado suele variar con t.

Notación abreviada

Si escribimos z=f(x,y), con x e y dependientes de t:

Los símbolos ayudan a recordar la estructura, aunque la justificación proviene de la composición de funciones, no de una cancelación literal de fracciones.

03 · Forma vectorial

Gradiente por velocidad

Sea la trayectoria r(t)=(x(t),y(t)). Su vector velocidad es:

El gradiente del campo en la posición actual es:

La regla completa se expresa mediante un producto escalar:

Esta fórmula separa claramente el campo de la trayectoria. Cambiar f modifica las sensibilidades; cambiar r modifica el movimiento. Ambos son necesarios para determinar la tasa observada.

04 · Por qué funciona

Aplicar la aproximación lineal al desplazamiento

Durante un intervalo pequeño Δt, la trayectoria cambia aproximadamente:

Como f es diferenciable, su cambio se aproxima mediante el diferencial:

Sustituyendo el desplazamiento de la trayectoria:

Dividir por Δt y tomar el límite produce la regla de la cadena. La diferenciabilidad garantiza que la aproximación lineal funciona para el desplazamiento que genera la curva.

05 · Ejemplo completo

Temperatura sobre una trayectoria parabólica

Sea el campo:

y la trayectoria r(t)=(t,t²). Busquemos la tasa de cambio en t=1.

1. 1
   Gradiente del campo.

   ∇T=(2x+3y,3x−2y).

2. 2
   Posición actual.

   r(1)=(1,1).

3. 3
   Gradiente en la posición.

   ∇T(1,1)=(5,1).

4. 4
   Velocidad.

   r′(t)=(1,2t), así que r′(1)=(1,2).

5. 5
   Producto escalar.

   dT/dt=(5,1)·(1,2)=7.

Comprobación directa: T(r(t))=t²+3t³−t⁴. Su derivada es 2t+9t²−4t³, que en t=1 también vale 7.

06 · Descomponer la tasa

Aportes que se suman o se cancelan

La fórmula coordenada permite auditar el resultado:

Cada producto puede ser positivo, negativo o cero. En el ejemplo anterior:

Ambas coordenadas contribuyen al aumento. Sin embargo, una variable puede desplazarse hacia valores crecientes y otra hacia valores decrecientes; el cambio neto resulta de su suma.

Cancelación

Si fxx′=−fyy′, entonces df/dt=0 en ese instante. Esto no implica que el objeto esté quieto ni que f sea constante en una región: el movimiento puede ser tangente a un nivel.

07 · Dirección frente a rapidez

Conectar con la derivada direccional

Si r′(t)≠0, podemos separar la velocidad en rapidez y dirección tangente unitaria:

donde T=r′/‖r′‖. Entonces:

La derivada direccional mide cambio por unidad de distancia. Multiplicarla por la rapidez —distancia por unidad de tiempo— produce cambio por unidad de tiempo.

08 · Lectura angular

Cómo la orientación controla la tasa

Si θ es el ángulo entre el gradiente y la velocidad:

• θ=0°: el movimiento sigue el gradiente y produce el máximo aumento para esa rapidez.
• θ=90°: la velocidad es tangente al nivel y la tasa instantánea es cero.
• θ=180°: el movimiento sigue el gradiente negativo y produce el descenso más rápido.
• En ángulos intermedios solo la componente de velocidad paralela al gradiente cambia f.

Proyección de la velocidad

El producto escalar puede verse como la norma del gradiente multiplicada por la componente de velocidad en su dirección. La parte tangencial al nivel no contribuye al cambio instantáneo del campo.

09 · Trayectorias sobre niveles

Recuperar la ortogonalidad

Si una trayectoria permanece sobre el nivel f(r(t))=c, entonces el lado izquierdo es constante:

Por la regla de la cadena:

Así obtenemos nuevamente que el gradiente es perpendicular a la velocidad tangente del nivel. La regla también permite diseñar un movimiento sobre contornos en ℝ²:

Este vector rotado es perpendicular al gradiente y, mientras el gradiente no se anule, conduce localmente a lo largo del conjunto de nivel.

10 · Trayectorias en ℝ³

La fórmula no cambia de idea

Para f(x,y,z) y r(t)=(x(t),y(t),z(t)):

Ejemplo

Sea f(x,y,z)=x²+y²+z² y r(t)=(cos t,sen t,t). Entonces:

Evaluando sobre la trayectoria:

También se verifica componiendo: f(r(t))=cos²t+sen²t+t²=1+t².

11 · La misma ruta a otra velocidad

La tasa depende de la parametrización

Dos trayectorias pueden recorrer la misma curva geométrica con velocidades distintas. Si r(t)=q(φ(t)), entonces:

y, por tanto:

Acelerar la parametrización multiplica la tasa temporal. Invertir el sentido cambia su signo. La derivada por distancia, en cambio, depende de la orientación geométrica y no de cuán rápido se recorra.

Instante de reposo

Si r′(t₀)=0, la regla da df/dt=0 aunque el gradiente sea grande. La entrada está instantáneamente en reposo; esto no significa que el campo sea plano.

12 · Comprobación numérica

Derivar la composición sin separar componentes

Podemos aproximar directamente la tasa temporal con una diferencia centrada:

Este valor puede compararse con ∇f(r(t))·r′(t). La comparación verifica simultáneamente el gradiente, la velocidad y la implementación de la regla de la cadena.

Errores posibles

• Un h grande mezcla la curvatura temporal con la tasa instantánea.
• Un h demasiado pequeño sufre cancelación y redondeo.
• Una trayectoria evaluada fuera del dominio produce valores inválidos.
• Ruido en posiciones medidas se amplifica al estimar velocidades.

Datos muestreados

Si solo conocemos posiciones en instantes discretos, primero estimamos r′ o derivamos directamente los valores compuestos. El segundo enfoque suele ser más simple si el único objetivo es conocer el cambio de f.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: moverse dentro de un campo

Elegí un campo, una trayectoria y un instante. El mapa muestra la curva, la posición, el gradiente blanco y la velocidad dorada. Los resultados separan las contribuciones coordenadas.

El fondo representa el valor del campo. La línea celeste es la trayectoria completa entre t=−2 y t=2; las flechas se escalan para mostrar orientación.

Preguntas para explorar

1. En el paraboloide y la circunferencia centrada, comprobá que la tasa es cero.
2. Con la recta, buscá un instante donde los aportes x e y se cancelen.
3. Compará la misma trayectoria sobre el plano y sobre la gaussiana.
4. En la espiral, observá cómo cambian simultáneamente velocidad y gradiente.
5. Reducí h y localizá la zona donde el error numérico es menor.

14 · Implementación

Regla de la cadena con JavaScript

Producto entre gradiente y velocidad

function tasaSobreTrayectoria(gradiente, velocidad) {
  if (gradiente.length !== velocidad.length) {
    throw new RangeError("Las dimensiones deben coincidir");
  }
  return gradiente.reduce(
    (suma, componente, i) => suma + componente * velocidad[i],
    0
  );
}

console.log(tasaSobreTrayectoria([5, 1], [1, 2])); // 7

Evaluar campo y trayectoria

function cambioTemporal(gradiente, trayectoria, velocidad, t) {
  const posicion = trayectoria(t);
  const sensibilidad = gradiente(...posicion);
  const movimiento = velocidad(t);
  return sensibilidad.reduce(
    (suma, parcial, i) => suma + parcial * movimiento[i],
    0
  );
}

const gradiente = (x, y) => [2 * x + 3 * y, 3 * x - 2 * y];
const trayectoria = t => [t, t ** 2];
const velocidad = t => [1, 2 * t];
console.log(cambioTemporal(gradiente, trayectoria, velocidad, 1)); // 7

Verificación por diferencias centradas

function tasaNumerica(funcion, trayectoria, t, h = 1e-4) {
  if (!(h > 0)) throw new RangeError("h debe ser positivo");
  const adelante = funcion(...trayectoria(t + h));
  const atras = funcion(...trayectoria(t - h));
  return (adelante - atras) / (2 * h);
}

const campo = (x, y) => x ** 2 + 3 * x * y - y ** 2;
const curva = t => [t, t ** 2];
console.log(tasaNumerica(campo, curva, 1)); // aproximadamente 7

Separar campo, trayectoria y velocidad en funciones distintas facilita probar cada componente y reutilizar la misma regla con diferentes modelos.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: regla coordenada

Sea f(x,y)=x eʸ, x(t)=t² e y(t)=sen t. Calculá df/dt.

Ejercicio 2: instante concreto

Para el ejercicio anterior, evaluá la tasa en t=0.

Ejercicio 3: trayectoria circular

Demostrá que f(x,y)=x²+y² permanece constante sobre r(t)=(3cos t,3sen t).

Ejercicio 4: tres variables

Sea f(x,y,z)=xyz y r(t)=(t,t²,eᵗ). Encontrá la tasa en t=1.

Ejercicio 5: dirección y rapidez

Un móvil avanza a 6 m/s y la derivada del campo en su dirección tangente es −0,4 unidades/m. ¿Qué tasa temporal observa?

Ejercicio 6: cancelación

En cierto instante, ∇f=(2,−3) y r′=(6,4). Interpretá la tasa.

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema generalizaremos la idea a la regla de la cadena multivariable, con varias variables intermedias y diagramas de dependencia.