Gradiente y conjuntos de nivel

01 · Dos ideas que se encuentran

Valores constantes y cambio máximo

Una curva de nivel de f(x,y) conecta puntos que comparten el mismo valor. Al movernos exactamente sobre ella, f permanece constante. El gradiente, en cambio, indica la dirección donde f aumenta más rápidamente.

Estas descripciones sugieren una relación geométrica: una dirección sin cambio y una dirección de máximo cambio deberían ser perpendiculares. En puntos regulares, eso es exactamente lo que ocurre.

• ¿Cómo obtener una normal a una curva definida implícitamente?
• ¿Qué dirección es tangente al nivel en un punto?
• ¿Hacia qué lado del contorno crecen los valores?
• ¿Qué significa que las curvas estén muy juntas?
• ¿Qué cambia cuando el gradiente se anula?
• ¿Cómo se generaliza la idea a superficies en ℝ³?

02 · Definición geométrica

Curvas y superficies de nivel

Para una función f:ℝ²→ℝ y una constante c, el conjunto de nivel es:

Cuando este conjunto tiene forma regular, es una curva en el plano. Para F:ℝ³→ℝ:

es típicamente una superficie. La palabra “típicamente” importa: el conjunto puede ser vacío, un punto aislado, varias componentes separadas o presentar singularidades.

Distintos valores de c no pueden compartir un punto: una función asigna un solo valor a cada entrada. Por eso las curvas de nivel de una misma función no se cruzan, aunque pueden acercarse o cambiar de topología.

03 · Demostración de ortogonalidad

Derivar una función constante sobre una curva

Sea r(t)=(x(t),y(t)) una parametrización de la curva de nivel f(x,y)=c. Como todos sus puntos tienen el mismo valor:

Derivando respecto de t mediante la regla de la cadena:

El vector r′(t) es tangente a la curva. Que su producto escalar con el gradiente sea cero demuestra:

La conclusión vale para cualquier vector tangente posible en p. En ℝ² la tangente es una recta; en ℝ³, todos los vectores tangentes forman un plano y el gradiente es normal a ese plano.

04 · Fórmulas en el plano

Normal, tangente y recta tangente

Para la curva implícita f(x,y)=c y un punto regular p=(a,b), un vector normal es:

Rotarlo 90° produce un vector tangente:

La recta tangente puede escribirse en forma paramétrica ℓ(t)=p+tT o mediante la forma punto-normal:

Pendiente cuando fᵧ≠0

Si localmente podemos despejar y como función de x, la pendiente de la curva es:

La forma vectorial sigue funcionando también para tangentes verticales, donde la fórmula de pendiente no está definida.

05 · Ejemplo fundamental

Niveles circulares

Sea f(x,y)=x²+y². Sus niveles positivos cumplen:

Son circunferencias de radio √c. El gradiente es:

En p=(3,4), el nivel es c=25 y:

Este vector es radial, como debe ocurrir para ser perpendicular a la circunferencia. Un vector tangente es T=(−8,6). La recta tangente:

Al simplificar, 3x+4y=25. El radio hacia p y la tangente son perpendiculares, recuperando una propiedad clásica de la geometría.

06 · Ecuaciones implícitas

Usar cualquier constante de nivel

Una curva escrita como G(x,y)=0 ya es un conjunto de nivel. Su gradiente proporciona una normal siempre que no sea cero.

Elipse

Para G(x,y)=x²/4+y²−1, en p=(√2,1/√2) tenemos:

La recta tangente queda:

La representación puede reescalarse

Multiplicar G por una constante no nula multiplica el gradiente, pero conserva su dirección y la misma recta tangente. La normal no es un vector único: cualquier múltiplo no nulo representa la misma orientación.

07 · Leer la distancia entre contornos

Curvas juntas significan cambio rápido

Consideremos dos niveles cercanos, c y c+Δc. Si avanzamos una distancia pequeña Δs en la dirección unitaria del gradiente:

Por tanto:

Para un mismo intervalo vertical Δc:

• Un gradiente grande produce contornos cercanos: la función cambia rápidamente.
• Un gradiente pequeño produce contornos separados: la función cambia lentamente.

Mapas topográficos

En un mapa donde cada curva representa una altura fija, cruzar curvas muy juntas implica una pendiente pronunciada. El gradiente apunta aproximadamente por el camino de ascenso más directo y perpendicular a las curvas.

08 · Qué lado aumenta

Orientar un mapa de contornos

El gradiente no solo es perpendicular: su flecha apunta hacia los niveles de mayor valor. Su opuesto apunta hacia valores menores.

Si u forma un ángulo θ con el gradiente:

• Al cruzar el contorno en la dirección del gradiente, f aumenta lo más rápido posible.
• Al moverse tangencialmente, θ=90° y el cambio de primer orden es cero.
• Al cruzarlo contra el gradiente, f disminuye con tasa máxima.
• En una dirección oblicua se combina avance transversal y desplazamiento tangencial.

Seguir un nivel

En ℝ², el campo T(x,y)=(−fy,fx) es tangente a los niveles regulares. Integrar este campo permite trazar curvas que mantienen aproximadamente constante el valor de f.

09 · Regularidad y singularidades

Qué ocurre cuando ∇f=0

Un punto p del nivel f=c es regular si ∇f(p)≠0. Allí el conjunto se comporta localmente como una curva suave en ℝ² o una superficie suave en ℝ³.

Cuando ∇f(p)=0, el teorema de regularidad no puede proporcionar una normal única. Pueden ocurrir situaciones distintas:

Gradiente cero no equivale automáticamente a “sin tangente”; significa que este criterio no decide y que debe analizarse el conjunto directamente o buscarse una representación regular equivalente.

10 · Superficies de nivel en ℝ³

El gradiente como normal al plano tangente

Para F(x,y,z)=c y un punto regular P=(a,b,d), el plano tangente tiene normal ∇F(P):

Esfera

Si F=x²+y²+z², sus niveles positivos son esferas. Como ∇F=(2x,2y,2z), la normal es radial.

Intersección de dos superficies

Si una curva es intersección de F=c₁ y G=c₂, su vector tangente debe ser perpendicular a ambos gradientes. Cuando estos no son paralelos:

El producto vectorial produce una dirección tangente común a ambas superficies.

11 · Método de resolución

Analizar un nivel paso a paso

1. 1
   Identificá la función y la constante.

   Escribí el conjunto como f=c o F=c.

2. 2
   Comprobá que el punto pertenezca.

   Evaluá la función y verificá que produzca la constante indicada.

3. 3
   Calculá el gradiente.

   Derivá respecto de cada coordenada antes de sustituir.

4. 4
   Verificá que no sea cero.

   Esto garantiza una normal y una geometría local regular.

5. 5
   Construí la tangente o el plano.

   Usá la ecuación punto-normal o un vector perpendicular.

6. 6
   Interpretá orientación y magnitud.

   El gradiente apunta hacia niveles mayores y su norma mide rapidez local.

Comprobaciones útiles

• El producto entre gradiente y vector tangente debe ser cero.
• La ecuación tangente debe contener el punto.
• Las unidades de la norma deben interpretarse respecto de la distancia del dominio.

12 · Datos discretos

Gradientes y contornos desde una grilla

En imágenes, mapas digitales y simulaciones, f suele conocerse solo en nodos de una grilla. El gradiente puede aproximarse con diferencias centradas en el interior:

Los contornos se extraen localizando dónde una celda atraviesa el valor c. Algoritmos como marching squares interpolan puntos sobre sus bordes y conectan pequeños segmentos.

Ruido

Derivar amplifica variaciones de alta frecuencia. Por eso, datos experimentales suelen suavizarse antes de estimar normales. Demasiado suavizado, sin embargo, borra detalles y reduce artificialmente gradientes.

Bordes

En el borde de una grilla faltan muestras a uno de los lados. Se usan diferencias laterales, datos extendidos o condiciones de frontera según el problema.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: gradiente normal al contorno

Mové el punto y modificá la separación entre niveles. El contorno dorado pasa por el punto, la flecha blanca representa el gradiente y la celeste es una dirección tangente.

Los contornos blancos corresponden a valores separados por Δc. El contorno dorado contiene el punto rojo. Las flechas se escalan para mostrar dirección, no magnitud.

Preguntas para explorar

1. En el paraboloide, mové el punto alrededor del origen y observá la normal radial.
2. Compará la elipse con el círculo: el gradiente no apunta generalmente desde el centro al punto.
3. Acercate al origen de la silla y observá qué ocurre con la normal.
4. Reducí Δc y verificá que aparecen más contornos en la misma ventana.
5. En la gaussiana, compará el centro estacionario con una ladera.

14 · Implementación

Normales y tangentes con JavaScript

Construir una base normal-tangente

function normalYTangente(gradiente) {
  const [fx, fy] = gradiente;
  const norma = Math.hypot(fx, fy);
  if (norma === 0) return null;
  return {
    normal: [fx / norma, fy / norma],
    tangente: [-fy / norma, fx / norma]
  };
}

const base = normalYTangente([6, 8]);
console.log(base.normal);   // [0.6, 0.8]
console.log(base.tangente); // [-0.8, 0.6]

Recta tangente implícita

function crearRectaTangente(punto, gradiente) {
  const [a, b] = punto;
  const [fx, fy] = gradiente;
  if (Math.hypot(fx, fy) === 0) throw new Error("Punto no regular");
  return (x, y) => fx * (x - a) + fy * (y - b);
}

const recta = crearRectaTangente([3, 4], [6, 8]);
console.log(recta(3, 4)); // 0: contiene el punto
console.log(recta(7, 1)); // 0: otro punto de la tangente

Comprobar ortogonalidad numérica

function productoEscalar(a, b) {
  return a.reduce((suma, valor, i) => suma + valor * b[i], 0);
}

function sonPerpendiculares(a, b, tolerancia = 1e-10) {
  const escala = Math.max(1, Math.hypot(...a) * Math.hypot(...b));
  return Math.abs(productoEscalar(a, b)) <= tolerancia * escala;
}

console.log(sonPerpendiculares([6, 8], [-8, 6])); // true

En datos aproximados no debe compararse el producto escalar exactamente con cero. Una tolerancia relativa a las normas evita rechazar vectores que son perpendiculares dentro del error numérico.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: tangente a un nivel

Encontrá la recta tangente a x²+2y²=6 en (2,1).

Ejercicio 2: vector tangente

Construí dos vectores tangentes unitarios al nivel anterior en (2,1).

Ejercicio 3: leer contornos

Dos mapas usan el mismo intervalo de alturas. En A las curvas están a 20 m y en B a 5 m. ¿Dónde es mayor aproximadamente la norma del gradiente?

Ejercicio 4: plano tangente

Hallá el plano tangente a x²+y²+z²=14 en (1,2,3).

Ejercicio 5: punto singular

Describí el nivel cero de f(x,y)=x²−y² y explicá qué falla en el origen.

Ejercicio 6: intersección

Encontrá una dirección tangente a la intersección de x²+y²+z²=3 y x+y+z=3 en (1,1,1).

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formalizaremos la regla de la cadena a lo largo de una trayectoria, la herramienta usada para demostrar esta ortogonalidad.