Vector gradiente

01 · Un vector que resume pendientes

De muchas tasas a un único objeto

En el tema anterior vimos que, para una función diferenciable, la derivada hacia u=(u₁,u₂) se calcula combinando las parciales:

Los dos coeficientes no cambian mientras rotamos u. Por eso resulta natural agruparlos en un vector. Ese vector es el gradiente y concentra toda la información de primer orden de una función escalar.

Conocerlo permite responder de inmediato:

• ¿Hacia dónde aumenta más rápidamente la función?
• ¿Cuál es la máxima razón de crecimiento posible?
• ¿En qué sentido se produce el descenso más pronunciado?
• ¿Qué derivada corresponde a cualquier dirección dada?
• ¿El modelo tiene cambio de primer orden en el punto?
• ¿Qué entradas aportan mayor sensibilidad local?

02 · Definición

Construir el gradiente

Para una función escalar f:ℝ²→ℝ, el gradiente en p=(a,b) es:

El símbolo ∇ se lee “nabla”. En tres variables:

Y en n variables:

El gradiente tiene tantas componentes como dimensiones tiene la entrada, no la salida. Solo se aplica directamente a funciones con salida escalar; para salidas vectoriales, las derivadas se organizan en una matriz jacobiana.

Vector fila o columna

Según el contexto, ∇f puede escribirse como vector columna, mientras que la derivada total Df aparece como fila. Contienen las mismas parciales; la orientación matricial permite que Df(p)h sea un producto compatible.

03 · Cálculo directo

Derivar cada coordenada

Sea:

Al derivar respecto de x, y se trata como constante:

Al derivar respecto de y, x se trata como constante:

Por tanto:

En (1,0):

1. 1
   Calculá una parcial por cada entrada.

   Mantené fijas las demás variables en cada derivación.

2. 2
   Conservá el orden de coordenadas.

   La primera componente corresponde a x, la segunda a y, y así sucesivamente.

3. 3
   Evaluá después de derivar.

   Obtené primero las funciones parciales y luego sustituí el punto.

4. 4
   Revisá el dominio.

   Las fórmulas solo tienen sentido donde la función y las derivadas requeridas están definidas.

04 · Todas las direcciones

El gradiente como codificador de pendientes

Si f es diferenciable y u es unitario:

Si θ es el ángulo entre el gradiente no nulo y u, la fórmula del producto escalar da:

Esta expresión resume la geometría completa:

05 · Ascenso más pronunciado

Por qué ∇f señala el máximo crecimiento

La desigualdad de Cauchy–Schwarz establece:

Como u es unitario, ninguna derivada direccional puede superar la norma del gradiente. La igualdad positiva ocurre cuando u apunta en la misma dirección:

El gradiente sin normalizar combina dos datos:

• Su dirección señala el ascenso local más rápido.
• Su longitud es la tasa máxima de crecimiento por unidad de distancia.

Ejemplo

Si ∇f(p)=(3,4), la dirección de máximo crecimiento es (3/5,4/5) y la tasa máxima es 5.

06 · Descenso más pronunciado

El gradiente negativo

La dirección opuesta al gradiente produce el menor valor posible de la derivada direccional:

Esta observación da origen al algoritmo de descenso por gradiente. Para reducir una función, se actualiza el punto mediante:

El parámetro positivo η es la tasa de aprendizaje o tamaño de paso. La dirección promete descenso instantáneo, pero un paso demasiado grande puede atravesar el valle, aumentar la función o volver inestable el proceso.

07 · Puntos estacionarios

Qué significa ∇f=0

Si el gradiente se anula y f es diferenciable, todas las derivadas direccionales son cero:

El punto se denomina estacionario o crítico interior. No existe crecimiento ni descenso de primer orden, pero esto no determina por sí solo la forma de la superficie.

También puede existir un punto estacionario plano sin extremo, como f(x,y)=x³ en el origen. Para clasificarlo se necesita información de orden superior o un análisis directo.

08 · Relación con la superficie

Plano tangente y vector normal

Para la gráfica z=f(x,y), el plano tangente en (a,b,f(a,b)) es:

Un vector normal a esa superficie es:

El gradiente vive en el dominio —el plano xy— y señala la dirección horizontal de mayor incremento de altura. El vector normal vive en el espacio xyz y es perpendicular al plano tangente. Son objetos relacionados, pero no deben confundirse.

Superficies de nivel

Para una superficie implícita F(x,y,z)=c, el gradiente tridimensional ∇F es normal en puntos regulares. En el próximo tema demostraremos la relación general entre gradientes y conjuntos de nivel.

09 · Lectura por componentes

Sensibilidad local y unidades

Cada componente del gradiente mide sensibilidad respecto de una entrada, manteniendo las demás fijas. Si C(q,t) es un costo:

Cq puede medirse en pesos por unidad producida, mientras que Ct puede medirse en pesos por hora. Aunque se escriban juntas, las componentes pueden tener escalas y unidades de entrada diferentes.

La norma depende de la parametrización

Comparar magnitudes de componentes solo es directo cuando las coordenadas usan escalas compatibles. Cambiar de metros a centímetros multiplica la derivada correspondiente por un factor. En aprendizaje automático suele normalizarse la entrada para evitar que la escala numérica domine la dirección.

10 · Ejemplo aplicado

Campo de temperatura

Supongamos que la temperatura sobre una placa es:

Su gradiente es:

En p=(2,1):

La dirección unitaria de máximo aumento es:

La temperatura aumenta inicialmente a razón de 2√5 unidades por unidad de distancia. El descenso más rápido ocurre hacia (1/√5,2/√5) con tasa −2√5.

Una dirección concreta

Hacia el oeste, u=(−1,0), la tasa es (−2,−4)·(−1,0)=2. Es ascendente, pero no tan rápida como la dirección del gradiente.

11 · Gradiente numérico

Aproximar cada componente

Cuando f se evalúa mediante una simulación o una caja negra, podemos aproximar las parciales con diferencias centradas:

En n variables, este método requiere dos evaluaciones por componente: alrededor de 2n evaluaciones para un gradiente completo.

Verificación direccional

Una comprobación útil compara el producto ∇f·u con una diferencia centrada tomada directamente en u. Si no concuerdan para pasos razonables, puede haber un error en las parciales o problemas de precisión.

Elección del paso

Reducir h disminuye el error de truncamiento hasta que el redondeo comienza a dominar. Si las coordenadas tienen escalas muy diferentes, puede ser necesario usar un paso adaptado a cada una.

12 · Escalar a muchos parámetros

Del cálculo manual a la diferenciación automática

Para f:ℝⁿ→ℝ, calcular el gradiente significa obtener n derivadas. Con miles o millones de parámetros, las diferencias finitas se vuelven costosas y sensibles al paso.

La diferenciación automática aplica sistemáticamente la regla de la cadena al programa que calcula f. En problemas con una salida escalar y muchas entradas, el modo reverso puede obtener todo el gradiente con un costo comparable a unas pocas evaluaciones de la función. Este principio sustenta la retropropagación en redes neuronales.

Gradiente y diferencial

En cualquier dimensión:

El gradiente es la representación vectorial de la aplicación lineal derivada bajo el producto escalar euclídeo. Si cambia la noción de distancia o geometría del espacio, también puede cambiar el vector que representa esa misma aplicación.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: girar alrededor del gradiente

El mapa muestra el punto, el gradiente y una dirección unitaria elegida. El gráfico lateral representa la derivada direccional para todos los ángulos; su máximo coincide con la orientación del gradiente.

La flecha blanca es el gradiente y la dorada es la dirección elegida. El gráfico angular muestra Duf entre 0° y 360°.

Preguntas para explorar

1. Girando u, buscá el máximo del gráfico y compará ambas flechas.
2. Sumá 180° a la dirección máxima para obtener el descenso más rápido.
3. Buscá dos direcciones donde la derivada sea cero.
4. En el paraboloide, llevá el punto al origen y observá el perfil angular.
5. En la gaussiana, compará el centro con un punto de la ladera.

14 · Implementación

Gradientes con JavaScript

Operaciones básicas

function productoEscalar(a, b) {
  if (a.length !== b.length) throw new RangeError("Dimensiones incompatibles");
  return a.reduce((suma, valor, i) => suma + valor * b[i], 0);
}

function direccionMaximoCrecimiento(gradiente) {
  const norma = Math.hypot(...gradiente);
  if (norma === 0) return null;
  return gradiente.map(componente => componente / norma);
}

const gradiente = [3, 4];
console.log(direccionMaximoCrecimiento(gradiente)); // [0.6, 0.8]
console.log(Math.hypot(...gradiente));              // 5

Diferencias centradas en n variables

function gradienteNumerico(funcion, punto, h = 1e-4) {
  if (!(h > 0)) throw new RangeError("h debe ser positivo");
  return punto.map((_, i) => {
    const adelante = [...punto];
    const atras = [...punto];
    adelante[i] += h;
    atras[i] -= h;
    return (funcion(...adelante) - funcion(...atras)) / (2 * h);
  });
}

const f = (x, y) => x ** 2 + x * y + y ** 2;
console.log(gradienteNumerico(f, [1, 2])); // aproximadamente [4, 5]

Un paso de descenso

function pasoDescenso(punto, gradiente, tasa) {
  if (!(tasa > 0)) throw new RangeError("La tasa debe ser positiva");
  return punto.map((valor, i) => valor - tasa * gradiente[i]);
}

const punto = [2, -1];
const gradienteEnPunto = [4, -2]; // gradiente de x²+y²
const siguiente = pasoDescenso(punto, gradienteEnPunto, 0.1);
console.log(siguiente); // [1.6, -0.8]
console.log(siguiente[0] ** 2 + siguiente[1] ** 2); // menor que 5

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: calcular el gradiente

Encontrá ∇f para f(x,y)=x³y+e^(x−y) y evaluá en (1,0).

Ejercicio 2: máximo crecimiento

Si ∇f(p)=(−2,5), encontrá la dirección y la tasa de máximo crecimiento.

Ejercicio 3: descenso máximo

Para el gradiente anterior, indicá la dirección de descenso más rápido y su derivada direccional.

Ejercicio 4: ángulo

Si ‖∇f(p)‖=10, ¿cuál es la derivada en una dirección que forma 60° con el gradiente?

Ejercicio 5: punto estacionario

¿Que ∇f(p)=0 permite afirmar que p es un mínimo?

Ejercicio 6: sensibilidad

Para V(r,h)=πr²h, calculá el gradiente en (r,h)=(2,5) e interpretá sus componentes.

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos por qué el gradiente es perpendicular a los conjuntos de nivel y cómo leer esta relación en mapas y superficies.