Derivadas direccionales

01 · Más allá de los ejes

La pendiente depende de hacia dónde avanzamos

Las derivadas parciales miden cambios en las direcciones de los ejes: fx avanza horizontalmente y fy verticalmente en el dominio. Pero en una aplicación podemos desplazarnos hacia el nordeste, seguir una trayectoria diagonal o consultar el cambio asociado a cualquier vector.

La derivada direccional responde preguntas como:

• ¿Con qué rapidez cambia la altura del terreno si camino en cierto rumbo?
• ¿Cómo varía la temperatura al moverme hacia una ubicación determinada?
• ¿Qué sensibilidad tiene un modelo si varias entradas cambian en una proporción fija?
• ¿La función aumenta, disminuye o permanece estable en esa dirección?
• ¿Cómo aproximar el cambio después de recorrer una distancia pequeña?

02 · Definición por límite

Avanzar sobre una recta

Sea p=(a,b) y sea u=(u₁,u₂) un vector unitario, es decir, ‖u‖=1. La derivada direccional de f en p hacia u se define como:

En coordenadas:

Definamos la función de una variable g(t)=f(p+tu). Entonces:

El signo tiene una lectura inmediata: un valor positivo indica crecimiento al avanzar hacia u; uno negativo, descenso; cero indica que el cambio de primer orden se anula en esa dirección.

Límite bilateral

Usamos t→0 con ambos signos cuando el punto es interior al dominio. El signo positivo avanza hacia u y el negativo explora la recta en el sentido opuesto. En fronteras pueden estudiarse derivadas laterales, pero deben indicarse explícitamente.

03 · La escala del vector

Por qué la dirección debe ser unitaria

Un vector describe dirección y magnitud. Si queremos una razón de cambio por unidad de distancia, debemos eliminar su longitud. Para un vector no nulo v=(v₁,v₂):

Por ejemplo, v=(3,4) tiene longitud 5 y su versión unitaria es u=(3/5,4/5).

Algunos textos admiten Dvf para vectores no unitarios. Esa convención es válida, pero mide cambio respecto del parámetro t. En este tema normalizaremos siempre que se solicite una dirección.

04 · Cálculo para funciones diferenciables

Combinar las pendientes parciales

Si f es diferenciable en p, su diferencial aproxima el cambio producido por tu:

Al dividir por t y tomar límite obtenemos la fórmula práctica:

Es el producto escalar entre el vector de parciales (fx,fy) y u. En el próximo tema estudiaremos este vector con el nombre de gradiente y extraeremos toda su información geométrica.

Las parciales son casos particulares

En las direcciones opuestas, la linealidad produce D(−1,0)f=−fx y D(0,−1)f=−fy.

05 · Ejemplo completo

Derivar hacia un vector dado

Sea f(x,y)=x²y+3y. Calculemos la derivada en p=(1,2) hacia v=(3,4).

1. 1
   Normalizar la dirección.

   ‖v‖=5, de modo que u=(3/5,4/5).

2. 2
   Calcular las parciales.

   fx=2xy y fy=x²+3.

3. 3
   Evaluar en el punto.

   fx(1,2)=4 y fy(1,2)=4.

4. 4
   Combinar con la dirección.

   Duf=4(3/5)+4(4/5)=28/5.

5. 5
   Interpretar.

   La función crece instantáneamente 5,6 unidades de salida por cada unidad de distancia recorrida hacia (3,4).

Comprobación desde el límite

Si g(t)=f(1+3t/5,2+4t/5), entonces al expandir y derivar se obtiene g′(0)=28/5, el mismo resultado.

06 · Dirección determinada por puntos

Desde A hacia B

Cuando el enunciado pide la razón de cambio “desde A hacia B”, el vector correcto nace en A y termina en B:

Luego se normaliza u=v/‖v‖ y la derivada se evalúa en A.

Ejemplo

Para medir el cambio de T(x,y)=100−x²−2y² en A=(1,1) hacia B=(4,5):

La temperatura disminuye inicialmente 4,4 unidades por cada unidad de distancia hacia B.

07 · Interpretación geométrica

La pendiente de un corte vertical

Sobre la gráfica z=f(x,y), la recta del dominio p+tu determina una curva espacial:

Su vector tangente en t=0 es:

Como u es unitario, la tercera componente es la elevación vertical por unidad de avance horizontal. La curva se obtiene al cortar la superficie con el plano vertical que contiene la dirección u.

Ángulo de inclinación

Si α es el ángulo de la recta tangente del corte respecto del plano horizontal, entonces:

Una derivada grande en valor absoluto representa una pendiente pronunciada; el signo distingue ascenso de descenso.

08 · Direcciones mediante ángulos

Recorrer todas las orientaciones del plano

Todo vector unitario de ℝ² puede escribirse como:

Para una función diferenciable:

Esta expresión permite estudiar cómo cambia la pendiente al rotar la dirección. Si θ aumenta 180°, el vector cambia de sentido y la derivada cambia de signo.

09 · Hipótesis y límites

Cuándo puede usarse la fórmula de las parciales

Si f es diferenciable, la fórmula Duf=fxu₁+fyu₂ vale para toda dirección. Un criterio suficiente habitual es que las primeras parciales existan en un entorno y sean continuas en el punto.

Si no sabemos que f es diferenciable, la derivada direccional todavía puede calcularse desde su definición. Pero no está justificado combinar automáticamente las parciales.

Todas las direcciones pueden existir y aun así fallar la diferenciabilidad

Consideremos la función continua:

Para cualquier vector v=(a,b)≠0:

Existen todas las derivadas direccionales, pero no dependen linealmente de v. Por ejemplo, los valores para (1,0) y (0,1) son 1 y 0, mientras que para (1,1) resulta 1/2, no 1. La función no es diferenciable en el origen.

10 · Comparar direcciones

Una primera mirada al crecimiento máximo

En un punto diferenciable, escribamos g=(fx,fy). La desigualdad de Cauchy–Schwarz afirma que para ‖u‖=1:

Esto muestra que ninguna derivada direccional puede superar en valor absoluto a √(fx²+fy²). La igualdad ocurre cuando u es paralela o antiparalela a g.

• En la orientación de g aparece el crecimiento más rápido.
• En la orientación opuesta aparece el descenso más rápido.
• En direcciones perpendiculares a g, la derivada direccional es cero.

Este vector g es el gradiente. El tema siguiente desarrollará su construcción, significado y relación con curvas de nivel.

11 · Predicción local

De la razón instantánea al cambio aproximado

Si recorremos una pequeña distancia s en la dirección unitaria u:

La derivada proporciona una tasa; multiplicarla por la distancia produce una estimación del cambio. Las unidades lo confirman:

Ejemplo

Si la derivada direccional de una temperatura es −2,4 °C/km y avanzamos 0,15 km en esa dirección, el cambio estimado es:

La aproximación mejora al acortar el recorrido, siempre que la función sea diferenciable y sus derivadas no cambien demasiado en la zona.

12 · Aproximación numérica

Estimar la pendiente a partir de evaluaciones

Si no disponemos de una fórmula para las parciales, podemos muestrear directamente sobre la recta. La diferencia hacia adelante es:

La diferencia centrada suele ser más precisa para funciones suaves:

Su error de truncamiento típico es de orden h², frente al orden h del esquema hacia adelante.

Elegir h

Un paso grande mezcla curvatura con pendiente local. Uno extremadamente pequeño resta números casi iguales y amplifica redondeo. Conviene probar una secuencia decreciente y buscar una zona de estabilidad.

Conservar la normalización

Los puntos de muestra deben ser p±hu con u unitario. Si se usa un vector v sin normalizar, h deja de representar la distancia espacial.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: girar la dirección

El panel de contornos muestra el punto y la dirección elegida. El corte lateral representa g(t)=f(p+tu) junto con su recta tangente en t=0.

El color del mapa representa valores bajos y altos de la función. La flecha parte del punto base; en el corte, la curva violeta es la función restringida y la línea dorada es su tangente.

Preguntas para explorar

1. Girando el ángulo, buscá una dirección donde la derivada sea aproximadamente cero.
2. Sumá 180° al ángulo y comprobá que el signo se invierte.
3. En el plano, observá que la curva y su tangente coinciden para todo t.
4. En el paraboloide, mové el punto al origen: ¿qué ocurre en todas las direcciones?
5. Variá h y observá el equilibrio entre truncamiento y redondeo.

14 · Implementación

Derivadas direccionales con JavaScript

Normalizar y combinar parciales

function normalizar(vector) {
  const longitud = Math.hypot(...vector);
  if (longitud === 0) throw new RangeError("La dirección no puede ser cero");
  return vector.map(componente => componente / longitud);
}

function derivadaDireccional(parciales, direccion) {
  const u = normalizar(direccion);
  return parciales.reduce((suma, parcial, i) => suma + parcial * u[i], 0);
}

console.log(derivadaDireccional([4, 4], [3, 4])); // 5.6

Aproximación centrada

function derivadaDireccionalNumerica(funcion, punto, direccion, h = 1e-4) {
  if (!(h > 0)) throw new RangeError("h debe ser positivo");
  const longitud = Math.hypot(...direccion);
  if (longitud === 0) throw new RangeError("La dirección no puede ser cero");
  const u = direccion.map(componente => componente / longitud);
  const adelante = punto.map((valor, i) => valor + h * u[i]);
  const atras = punto.map((valor, i) => valor - h * u[i]);
  return (funcion(...adelante) - funcion(...atras)) / (2 * h);
}

const f = (x, y) => x ** 2 * y + 3 * y;
console.log(derivadaDireccionalNumerica(f, [1, 2], [3, 4]));

Explorar muchos ángulos

function muestrearDirecciones(parciales, cantidad = 8) {
  return Array.from({ length: cantidad }, (_, i) => {
    const angulo = 2 * Math.PI * i / cantidad;
    const u = [Math.cos(angulo), Math.sin(angulo)];
    return {
      grados: 360 * i / cantidad,
      derivada: parciales[0] * u[0] + parciales[1] * u[1]
    };
  });
}

console.log(muestrearDirecciones([4, 4], 4));

La búsqueda angular es útil para visualizar, pero el producto escalar permite encontrar exactamente las direcciones extremas sin barrer una grilla; ese análisis será central en el próximo tema.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: dirección unitaria

Calculá la derivada de f(x,y)=x²+xy en (1,2) hacia v=(−2,1).

Ejercicio 2: desde un punto hacia otro

Para g(x,y)=e^(x−y), encontrá la razón de cambio en A=(0,0) hacia B=(3,4).

Ejercicio 3: dirección angular

Si fx(p)=3 y fy(p)=−2, calculá la derivada en la dirección de 60°.

Ejercicio 4: interpretar el signo

Una concentración tiene derivada direccional −0,8 mg/L por metro. ¿Qué cambio se estima después de avanzar 0,25 m?

Ejercicio 5: ortogonalidad

Encontrá dos direcciones unitarias donde la derivada sea cero si las parciales en p son (3,4).

Ejercicio 6: definición directa

Para f(x,y)=|x|, calculá desde la definición la derivada en el origen hacia u=(0,1) y hacia u=(1,0).

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema reuniremos todas estas tasas en el vector gradiente y veremos por qué señala la dirección de máximo crecimiento.