Plano tangente y recta normal

01 · Geometría local

Una superficie suave se parece a un plano

Al ampliar una curva diferenciable cerca de un punto, su gráfica se confunde progresivamente con la recta tangente. Para una superficie z=f(x,y) ocurre lo mismo, pero ahora la aproximación lineal tiene dos direcciones independientes y su gráfica es un plano.

El plano tangente:

• Pasa por el punto de la superficie.
• Comparte sus pendientes instantáneas en las direcciones x e y.
• Aproxima alturas cercanas con un error menor que la distancia horizontal recorrida.
• Describe la orientación local sin reproducir toda la curvatura.
• Permite construir una dirección perpendicular: la recta normal.

02 · Fórmula fundamental

Plano tangente a una gráfica

Sea z=f(x,y) una función diferenciable en (a,b) y sea P=(a,b,f(a,b)) el punto correspondiente de la superficie. Su plano tangente es:

También puede escribirse como una función de x e y:

Los coeficientes de x−a y y−b son las pendientes de los cortes coordenados. El término constante asegura que el plano pase por P.

03 · De la diferencial al plano

Por qué aparece esta ecuación

La diferenciabilidad en (a,b) afirma que para incrementos Δx=x−a y Δy=y−b:

donde R/√(Δx²+Δy²)→0. Al omitir el residuo obtenemos exactamente la ecuación del plano tangente.

Dos vectores tangentes

La gráfica puede parametrizarse mediante r(x,y)=(x,y,f(x,y)). Sus cambios coordenados producen:

Estos vectores son independientes y generan el plano tangente. Cualquier vector del plano con origen en P es una combinación:

La tercera componente de esta igualdad vuelve a dar la fórmula fundamental.

04 · Ejemplo completo

Plano tangente a un paraboloide

Calculemos el plano de f(x,y)=x²+2y² en (1,−1).

1. 1
   Altura del punto.

   f(1,−1)=1+2=3, por lo que P=(1,−1,3).

2. 2
   Derivadas parciales.

   fx=2x y fy=4y.

3. 3
   Pendientes en el punto.

   fx(1,−1)=2 y fy(1,−1)=−4.

4. 4
   Sustitución en la fórmula.

   z−3=2(x−1)−4(y+1).

5. 5
   Forma simplificada.

   z=2x−4y−3.

Comprobación: al sustituir x=1, y=−1, obtenemos z=3. Además, los coeficientes 2 y −4 coinciden con las pendientes parciales.

05 · Dirección perpendicular

Vector normal y recta normal

Llevemos la ecuación del plano a la forma implícita:

Un vector normal es el vector formado por sus coeficientes:

También puede usarse el opuesto (−fx,−fy,1); ambos describen la misma dirección. La recta normal que pasa por P es:

En coordenadas, con la primera elección:

Ejemplo anterior

Para el paraboloide en P=(1,−1,3), un vector normal es n=(2,−4,−1) y la recta:

06 · Verificación vectorial

Por qué la normal es perpendicular

Los dos vectores tangentes coordenados son rx=(1,0,fx) y ry=(0,1,fy). Tomemos n=(−fx,−fy,1). Entonces:

Ser ortogonal a dos direcciones independientes del plano implica ser ortogonal a todo el plano. De hecho, el producto vectorial confirma:

La normal no es única como vector: cualquier múltiplo no nulo sirve. Normalizarla produce el vector unitario:

Un vector unitario es útil para medir distancias, iluminación, orientación y desplazamientos con una longitud controlada.

07 · Superficies implícitas

La fórmula unificada con F(x,y,z)=0

Muchas superficies no se presentan como una gráfica explícita. Si una superficie está definida por F(x,y,z)=0 y ∇F(P)≠0, su gradiente es normal a la superficie en P:

El plano tangente se escribe:

Y la recta normal:

Relación con una gráfica

Si z=f(x,y), definimos F(x,y,z)=f(x,y)−z. Entonces ∇F=(fx,fy,−1), exactamente el vector normal obtenido antes.

08 · Ejemplo implícito

Plano tangente a una esfera

La esfera de radio 3 centrada en el origen está dada por:

Tomemos P=(1,2,2), que pertenece a la esfera porque 1+4+4=9. Su gradiente es:

Podemos simplificar el vector normal a (1,2,2). El plano tangente es:

Al simplificar:

La recta normal puede escribirse ℓ(t)=(1,2,2)+t(1,2,2). En una esfera centrada en el origen, la dirección normal es radial: la recta pasa por el centro.

09 · Todas las curvas comparten el plano

Direcciones tangentes sobre la superficie

Sea una curva γ(t)=(x(t),y(t),z(t)) contenida en F=0 y con γ(0)=P. Como F(γ(t))=0, al derivar se obtiene:

Por lo tanto, la velocidad de cualquier curva suave que atraviese P sobre la superficie es perpendicular a la normal y pertenece al plano tangente.

Esto proporciona una descripción intrínseca: el plano tangente reúne todas las velocidades posibles de curvas sobre la superficie que pasan por el punto. No depende de elegir específicamente los cortes x o y.

Cortes coordenados

En una gráfica, fijar y produce una curva cuya tangente tiene pendiente fx; fijar x produce otra con pendiente fy. Sus tangentes generan el plano completo.

10 · Cuándo falla la construcción

Parciales existentes no siempre significan plano tangente

Para que la fórmula represente realmente la superficie a primer orden, f debe ser diferenciable. Insertar parciales existentes en una ecuación no demuestra que esa ecuación sea un plano tangente.

El cono en su vértice

La superficie z=√(x²+y²) tiene un vértice en el origen. Los cortes verticales son formas de V y no poseen una única recta tangente allí. En consecuencia, tampoco existe un plano tangente en el vértice.

Gradiente implícito nulo

La misma superficie puede describirse mediante F=x²+y²−z²=0. En el origen, ∇F=(0,0,0), por lo que la fórmula implícita produciría 0=0, que no define ningún plano.

Un gradiente nulo no siempre prueba que la superficie carezca de plano; indica que este criterio no decide y que la ecuación puede ser singular o estar expresada de manera degenerada.

11 · Estrategia de resolución

Elegir la fórmula correcta

1. 1
   Confirmá que el punto pertenece a la superficie.

   Evaluá la función o la ecuación antes de derivar.

2. 2
   Identificá la representación.

   Gráfica explícita, nivel implícito o parametrización.

3. 3
   Calculá una normal no nula.

   Usá parciales, gradiente o producto vectorial según corresponda.

4. 4
   Conservá la forma punto-normal.

   Facilita comprobar signos y pertenencia.

5. 5
   Construí la recta con el mismo vector.

   ℓ(t)=P+tn; cambiar n por un múltiplo no cambia la recta.

6. 6
   Verificá regularidad.

   La fórmula debe apoyarse en diferenciabilidad o en una condición regular adecuada.

12 · Interpretación y aplicaciones

Más que una construcción geométrica

Aproximación

El plano permite estimar alturas próximas con operaciones lineales.

Orientación

La normal indica hacia dónde “mira” localmente una superficie.

Iluminación 3D

Los motores gráficos comparan normales con direcciones de luz para sombrear.

Colisiones

Una normal local determina reflexión, rebote y separación de objetos.

Topografía

Las parciales del plano expresan pendientes locales del terreno.

Restricciones

El gradiente normal aparece al optimizar sobre superficies de nivel.

Error geométrico

Si f tiene segundas derivadas continuas, la separación vertical entre superficie y plano suele ser de orden cuadrático:

Al reducir a la mitad la escala horizontal, el error suele reducirse aproximadamente a la cuarta parte. La curvatura, organizada por el Hessiano, gobierna este primer término de error.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: superficie, plano y normal

Elegí una superficie y mové el punto de tangencia. La malla violeta representa la superficie, el parche dorado es el plano tangente y la línea clara muestra la dirección normal.

La vista usa una proyección oblicua. La superficie y el plano se dibujan en una ventana centrada en el punto; la escala controla el tamaño de esa ventana.

Preguntas para explorar

1. Reducí la escala y observá cómo disminuye el error entre superficie y plano.
2. En el paraboloide, llevá el punto al origen: ¿qué orientación adquiere el plano?
3. En la silla, compará puntos sobre los ejes y sobre la diagonal.
4. En xy, observá cómo cada coordenada controla la pendiente respecto de la otra.
5. En la gaussiana, compará la cima con sus laderas.

14 · Implementación

Calcular planos y normales con JavaScript

Plano tangente a una gráfica

function datosTangentes(funcion, parciales, a, b) {
  const z0 = funcion(a, b);
  const [fx, fy] = parciales(a, b);
  return {
    punto: [a, b, z0],
    normal: [-fx, -fy, 1],
    plano: (x, y) => z0 + fx * (x - a) + fy * (y - b)
  };
}

const f = (x, y) => x ** 2 + 2 * y ** 2;
const derivadas = (x, y) => [2 * x, 4 * y];
const datos = datosTangentes(f, derivadas, 1, -1);
console.log(datos.punto);       // [1, -1, 3]
console.log(datos.normal);      // [-2, 4, 1]
console.log(datos.plano(1, -1)); // 3

Plano a una superficie implícita

function planoImplicito(punto, gradiente) {
  const norma = Math.hypot(...gradiente);
  if (norma === 0) throw new Error("El punto no es regular");

  return entrada => gradiente.reduce(
    (suma, componente, i) => suma + componente * (entrada[i] - punto[i]),
    0
  );
}

const P = [1, 2, 2];
const normalEsfera = [2, 4, 4];
const evaluarPlano = planoImplicito(P, normalEsfera);
console.log(evaluarPlano(P));          // 0: contiene a P
console.log(evaluarPlano([9, 0, 0])); // 0: otro punto del plano

Normalizar un vector

function normalizar(vector) {
  const longitud = Math.hypot(...vector);
  if (longitud === 0) throw new Error("No se puede normalizar el vector cero");
  return vector.map(componente => componente / longitud);
}

const normal = normalizar([-2, 4, 1]);
const longitud = Math.hypot(...normal);
console.log(normal);
console.log(longitud); // aproximadamente 1

En una malla digital, las derivadas pueden aproximarse con diferencias finitas. Para sombreado estable suele normalizarse el vector y cuidarse la orientación coherente entre puntos vecinos.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: gráfica explícita

Encontrá el plano tangente a z=x eʸ en el punto correspondiente a (1,0).

Ejercicio 2: recta normal

Escribí una recta normal para la superficie del ejercicio anterior.

Ejercicio 3: superficie implícita

Hallá el plano tangente a x²+2y²+3z²=6 en (1,1,1).

Ejercicio 4: comprobación

Demostrá que v=(1,2,−1) pertenece al plano tangente cuyo vector normal es n=(3,−1,1).

Ejercicio 5: aproximación

Usá el plano tangente a z=x²+2y² en (1,−1) para aproximar f(1,02;−0,99).

Ejercicio 6: punto singular

¿Puede aplicarse directamente la fórmula implícita a F=x²+y²−z²=0 en el origen?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema ampliaremos la noción de pendiente: calcularemos derivadas direccionales a lo largo de cualquier vector del plano.