Diferenciabilidad y diferencial total

01 · Una pregunta más exigente

Las parciales no cuentan toda la historia

Las derivadas parciales describen qué ocurre cuando modificamos una coordenada y congelamos las demás. Sin embargo, un desplazamiento real puede cambiar x e y al mismo tiempo. Necesitamos saber si existe una sola regla lineal que aproxime correctamente todos los desplazamientos pequeños.

Para un punto p=(a,b) y un incremento h=(Δx,Δy), buscamos una aproximación de la forma:

La expresión lineal de la derecha combina ambos efectos. Que las parciales existan permite escribirla como candidata; que f sea diferenciable garantiza que esa candidata funciona uniformemente al acercarnos desde cualquier dirección o trayectoria.

02 · Cambio real y cambio predicho

Separar el incremento de su aproximación

El cambio exacto producido por h=(Δx,Δy) es:

La parte lineal que predicen las parciales se denomina diferencial total:

La diferencia entre ambas cantidades es el residuo o error:

No se exige que el error sea cero. Se exige que sea pequeño en comparación con el tamaño del desplazamiento. Esa comparación relativa es la que distingue una verdadera aproximación lineal de una coincidencia parcial.

03 · Definición rigurosa

Un error menor que la distancia recorrida

Una función f:ℝ²→ℝ es diferenciable en p=(a,b) si existe una transformación lineal L:ℝ²→ℝ tal que:

Equivalentemente:

La notación o(‖h‖) indica que el residuo dividido por ‖h‖ tiende a cero. En coordenadas, si existen las parciales y f es diferenciable, la única transformación lineal posible es:

Usaremos la norma euclídea ‖h‖=√(Δx²+Δy²). En dimensión finita, elegir otra norma habitual no cambia el concepto de diferenciabilidad.

Qué significa el cociente

El numerador mide cuánto falla el modelo lineal; el denominador mide cuánto nos desplazamos. El límite exige que el error represente una fracción cada vez menor del paso, sin importar cómo tienda h a cero.

04 · Verificación desde la definición

Un ejemplo donde el residuo se puede controlar

Consideremos f(x,y)=x²+xy en p=(1,2). Sus parciales son:

En el punto, fx(1,2)=4 y fy(1,2)=1. Para h=(u,v):

La parte lineal es L(u,v)=4u+v y el residuo es R(u,v)=u²+uv. Usando |u|≤‖h‖ y |v|≤‖h‖:

La cota no depende de la dirección. Por eso demuestra diferenciabilidad y no solamente buen comportamiento sobre algunos caminos.

05 · Criterio suficiente

La herramienta práctica más usada

Comprobar la definición en cada punto sería costoso. Un teorema proporciona un criterio mucho más cómodo:

Si las primeras parciales son continuas en una región abierta, se escribe f∈C¹ y f es diferenciable en cada punto de esa región. Esto cubre polinomios, exponenciales, funciones trigonométricas y combinaciones obtenidas mediante las reglas usuales, siempre dentro de sus dominios.

Suficiente no significa necesario

La continuidad de las parciales garantiza diferenciabilidad, pero una función puede ser diferenciable aunque alguna parcial no sea continua en el punto. Por eso el teorema permite concluir “sí”; que sus hipótesis fallen no permite concluir “no”. En ese caso hay que volver a la definición u obtener otra estimación.

1. 1
   Verificá que el punto sea interior al dominio.

   La definición estándar utiliza desplazamientos pequeños en todas las direcciones.

2. 2
   Calculá las parciales.

   Tratando temporalmente las otras variables como constantes.

3. 3
   Estudiá su continuidad.

   Usá reglas de continuidad y registrá denominadores, raíces o logaritmos.

4. 4
   Aplicá el criterio o analizá el residuo.

   Si las parciales son continuas, el teorema termina la prueba; si no, la definición decide.

5. 5
   Escribí la transformación lineal.

   Indicá el punto base y las variables de incremento.

06 · Relaciones lógicas

Qué implica qué

Conviene distinguir afirmaciones que a veces se confunden:

Las flechas avanzan en una sola dirección. Para refutar una recíproca alcanza un contraejemplo; para demostrar diferenciabilidad hace falta un argumento que cubra todos los desplazamientos pequeños.

07 · Parciales sin diferenciabilidad

Un contraejemplo que además es continuo

Definamos:

La función es continua en el origen porque:

Sobre los ejes se obtienen fx(0,0)=1 y fy(0,0)=0. Si fuera diferenciable, su parte lineal tendría que ser L(x,y)=x.

Pero sobre el camino y=x:

El cociente del residuo no tiende a cero. La función es continua y posee ambas parciales en el origen, pero no es diferenciable allí.

08 · Todas las direcciones tampoco bastan

La dependencia debe ser lineal en la dirección

Para la función anterior, la derivada en la dirección v=(a,b) existe en el origen:

Aunque existe para todo vector no nulo, su dependencia respecto de v no es lineal. Por ejemplo, los valores sobre (1,0) y (0,1) son 1 y 0, pero sobre (1,1) resulta 1/2 en lugar de 1.

Si f fuera diferenciable, todas las derivadas direccionales estarían dadas por la misma aplicación lineal:

La existencia aislada de derivadas sobre rectas no controla aproximaciones simultáneas ni trayectorias cuya dirección cambia al aproximarse. El tema 18 desarrollará su cálculo e interpretación.

09 · El diferencial total

La mejor respuesta lineal local

Cuando f es diferenciable en p=(a,b), su diferencial es la transformación lineal:

También se escribe:

Los símbolos dx y dy representan incrementos independientes de entrada. El símbolo df es el cambio que predice el modelo lineal, mientras que Δf es el cambio verdadero. Son cercanos para incrementos pequeños, pero no idénticos en general.

Ejemplo numérico

Sea f(x,y)=x²eʸ y el punto (1,0). Como fx=2xeʸ y fy=x²eʸ:

Si dx=0,02 y dy=−0,01, predecimos df=0,03. El cambio exacto es (1,02)²e^(−0,01)−1≈0,03005: la diferencia corresponde a términos no lineales.

10 · Linealización

Convertir una función complicada en una fórmula simple

La linealización de f alrededor de (a,b) es la función afín:

La parte L−f(a,b) es lineal en el desplazamiento; sumar f(a,b) traslada el modelo hasta la altura correcta. Geométricamente, su gráfica es el plano tangente, que estudiaremos en el tema siguiente.

Aproximar mentalmente

Para f(x,y)=√(x²+y²) cerca de (3,4), tenemos f(3,4)=5, fx=3/5 y fy=4/5. Entonces:

Para (3,02; 3,99), la estimación es 5+(3/5)(0,02)+(4/5)(−0,01)=5,004.

11 · Propagación de errores

Estimar cómo afectan las incertidumbres de entrada

Si x e y se miden con errores pequeños dx y dy, el diferencial aproxima el error de salida:

Cuando solo conocemos cotas |dx|≤εx y |dy|≤εy, la desigualdad triangular da una estimación conservadora:

Área de un rectángulo

Para A=xy, el diferencial es dA=y dx+x dy. Si x=20 cm, y=10 cm y cada medición tiene error máximo 0,1 cm:

El error relativo estimado es 3/200=1,5%. El término exacto adicional dx·dy es de segundo orden y vale como máximo 0,01 cm².

12 · Más de dos entradas

La misma idea escala a ℝⁿ

Para f:ℝⁿ→ℝ diferenciable en p, el diferencial reúne todas las contribuciones de primer orden:

La fila de coeficientes es la derivada total de f; al organizarla como vector obtenemos el gradiente. Si la salida también tiene varias componentes, la aplicación lineal se representa mediante una matriz jacobiana, tema que se desarrollará más adelante.

Unidades

Cada producto (∂f/∂xi)dxi tiene las mismas unidades que f. Esto ofrece una comprobación rápida: no tiene sentido sumar términos con unidades incompatibles.

Unicidad

La derivada total, si existe, es única. No pueden existir dos modelos lineales distintos cuyos errores sean ambos despreciables frente a ‖h‖. Esta unicidad permite hablar de la diferencial.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: cambio exacto frente al diferencial

Elegí una función, un punto y una dirección. El gráfico compara el cambio exacto Δf(t) con la predicción lineal df(t) al desplazarnos una distancia firmada t.

La línea violeta representa el incremento exacto; la línea dorada, el diferencial. El marcador muestra el paso seleccionado. En una función diferenciable ambas tienen la misma pendiente en t=0.

Preguntas para explorar

1. Reducí el paso diez veces y observá qué sucede con |R|/|t|.
2. Cambiá la dirección: la aproximación debe mejorar en todas ellas para una función diferenciable.
3. Probá la distancia lejos del origen y luego exactamente en el origen.
4. Seleccioná el contraejemplo en (0,0) y compará los ángulos 0°, 45° y 90°.
5. Mové el punto del contraejemplo fuera del origen: allí la fórmula racional vuelve a ser suave.

14 · Implementación

Linealizaciones con JavaScript

Evaluar el diferencial

function diferencial(parciales, incremento) {
  if (parciales.length !== incremento.length) {
    throw new RangeError("Las dimensiones deben coincidir");
  }
  return parciales.reduce(
    (suma, parcial, i) => suma + parcial * incremento[i],
    0
  );
}

const gradiente = [2, 1];
const cambioEntrada = [0.02, -0.01];
console.log(diferencial(gradiente, cambioEntrada)); // 0.03

Construir una linealización

function crearLinealizacion(funcion, punto, gradiente) {
  const valorBase = funcion(...punto);
  return (...entrada) => {
    const incremento = entrada.map((valor, i) => valor - punto[i]);
    return valorBase + diferencial(gradiente, incremento);
  };
}

const f = (x, y) => x ** 2 * Math.exp(y);
const aproximacion = crearLinealizacion(f, [1, 0], [2, 1]);
console.log(aproximacion(1.02, -0.01)); // 1.03
console.log(f(1.02, -0.01));           // valor exacto cercano

Medir el residuo relativo

function residuoRelativo(funcion, punto, gradiente, incremento) {
  const norma = Math.hypot(...incremento);
  if (norma === 0) return 0;
  const destino = punto.map((valor, i) => valor + incremento[i]);
  const cambioExacto = funcion(...destino) - funcion(...punto);
  const cambioLineal = diferencial(gradiente, incremento);
  return Math.abs(cambioExacto - cambioLineal) / norma;
}

const g = (x, y) => x ** 2 + x * y;
for (const escala of [1, 0.1, 0.01, 0.001]) {
  console.log(escala, residuoRelativo(g, [1, 2], [4, 1], [escala, escala]));
}

En una prueba numérica, observar que el cociente disminuye sobre algunas secuencias aporta evidencia, pero no reemplaza una demostración para todas las formas de aproximación.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: diferencial total

Para f(x,y)=x²y+eʸ, encontrá df en (1,0) y evaluá la predicción para dx=0,03, dy=−0,02.

Ejercicio 2: justificar diferenciabilidad

¿Por qué f(x,y)=cos(xy)/(1+x²+y²) es diferenciable en todo ℝ²?

Ejercicio 3: estimación lineal

Usá una linealización para aproximar √(4,02²+2,99²) alrededor de (4,3).

Ejercicio 4: residuo

Verificá desde la definición que f(x,y)=xy es diferenciable en el origen.

Ejercicio 5: lógica

Una función posee parciales en p, pero una de ellas no es continua allí. ¿Se puede concluir que no es diferenciable?

Ejercicio 6: propagación de error

El volumen de un cilindro es V=πr²h. Estimá el error máximo si r=5±0,02 cm y h=10±0,05 cm.

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema convertiremos esta aproximación algebraica en geometría: construiremos el plano tangente y la recta normal a una superficie.