Derivadas parciales de orden superior

01 · Punto de partida

Derivar una función que ya es una derivada

Las primeras parciales fx y fy son funciones. Si poseen derivadas, podemos volver a derivarlas para medir cómo cambian las propias pendientes.

En dos variables aparecen cuatro parciales de segundo orden:

Estas cantidades responden preguntas diferentes:

• ¿Cómo cambia la pendiente en x cuando avanzamos en x?
• ¿Cómo cambia la pendiente en x cuando modificamos y?
• ¿Las variables interactúan en el cambio local?
• ¿La superficie se curva hacia arriba, hacia abajo o como una silla?
• ¿Qué información necesita una aproximación cuadrática?
• ¿Cómo aproximamos segundas derivadas a partir de muestras?

02 · Notación y orden

Leer los subíndices sin ambigüedad

En este curso leeremos los subíndices de izquierda a derecha:

Primero derivamos respecto de x y luego respecto de y. De manera análoga:

Algunos textos interpretan los subíndices según el orden de los diferenciales del denominador, por lo que conviene verificar la convención. Las expresiones con paréntesis eliminan la duda.

03 · Cálculo básico

Derivar las primeras parciales

Sea:

Primero obtenemos:

Luego derivamos otra vez:

Las mixtas coinciden en este ejemplo porque f es un polinomio: todas sus derivadas son continuas.

Organización recomendada

Escribí primero las dos parciales de primer orden y derivá cada una en ambas variables. Esto ayuda a no confundir qué función se está derivando.

04 · Derivadas puras

Curvatura sobre los cortes coordenados

fxx(a,b) es la segunda derivada de la curva x↦f(x,b). Describe cómo cambia su pendiente respecto de x. Del mismo modo, fyy mide curvatura sobre el corte con x fijo.

El signo puede ser diferente según la dirección. Para f=x²−y², tenemos fxx=2 y fyy=−2. La superficie se curva hacia arriba en x y hacia abajo en y: es una silla.

Valor cero

Una segunda parcial cero no garantiza un corte lineal en todo un entorno. Puede anularse solo en el punto y existir curvatura de orden superior, como ocurre con x⁴ en x=0.

05 · Derivadas mixtas

Cómo una variable modifica la sensibilidad respecto de otra

fxy mide cómo cambia fx al variar y. Si es positiva, aumentar y incrementa localmente la pendiente respecto de x; si es negativa, la reduce.

Ejemplo de interacción

Para f(x,y)=x²+3xy+2y²:

El término cruzado 3xy produce la interacción. Aumentar y eleva la pendiente en x a razón de 3 por unidad, y aumentar x eleva la pendiente en y con la misma razón.

Sin interacción de segundo orden

Si f(x,y)=g(x)+h(y), entonces fxy=fyx=0. Los efectos se separan aditivamente, al menos en la descripción de segundo orden.

06 · Teorema de Clairaut

Cuándo puede intercambiarse el orden

Una versión habitual del teorema afirma:

En la práctica, si f posee segundas parciales continuas en una región —se escribe f∈C²— las mixtas coinciden en toda esa región.

Qué aporta

• Reduce la cantidad de cálculos independientes.
• Hace simétrica la matriz de segundas derivadas.
• Permite comprobar resultados: mixtas distintas en una función suave suelen indicar un error.
• Justifica intercambios usados en aproximaciones y optimización.

Las hipótesis importan

Que ambas derivadas mixtas existan en un punto no basta siempre para que coincidan. La regularidad en un entorno evita comportamientos patológicos concentrados en el punto.

07 · Cuando el orden importa

Mixtas existentes pero diferentes

Consideremos:

Para calcular fx(0,y), derivamos respecto de x en puntos del eje y:

Por lo tanto:

De manera análoga, fy(x,0)=x, de modo que:

Ambas mixtas existen, pero no coinciden. No contradice a Clairaut porque las segundas derivadas no tienen la continuidad requerida alrededor del origen.

08 · Tercer orden y más

Secuencias de variables

Podemos continuar derivando:

Una derivada de orden k registra una secuencia de k derivaciones. Si f posee derivadas continuas hasta ese orden, cualquier permutación con la misma cantidad de x e y produce el mismo resultado. Por ejemplo:

Notación multiíndice

Para α=(α₁,α₂), definimos |α|=α₁+α₂ y:

Esta notación evita listar órdenes equivalentes cuando hay suficiente suavidad y se generaliza a muchas variables.

Ejemplo

Si f=e^(x+y), toda derivada parcial de cualquier orden vuelve a ser e^(x+y).

09 · Matriz hessiana

Organizar todas las segundas derivadas

La matriz hessiana de una función de dos variables es:

Si f es de clase C², las mixtas coinciden y el Hessiano es simétrico.

Ejemplo cuadrático

Para f=x²+3xy+2y²:

Como la función es cuadrática, el Hessiano es constante. En funciones generales cambia de punto a punto y describe la curvatura local.

Más variables

Para f:ℝⁿ→ℝ, el Hessiano es una matriz n×n cuya entrada (i,j) es la derivada respecto de la coordenada i y luego j según la convención elegida.

10 · Aproximación cuadrática

La información de segundo orden

Cerca de p=(a,b), una función suficientemente suave se aproxima mediante:

Si h=(u,v), el término cuadrático es:

El factor 2 del término mixto aparece porque las entradas simétricas fxy y fyx contribuyen al producto matricial.

Lectura geométrica

• Si la forma cuadrática es positiva en toda dirección no nula, la superficie tiene forma local de cuenco.
• Si es negativa, tiene forma de cúpula.
• Si toma ambos signos, aparece una silla.

Estos criterios se formalizarán al clasificar puntos críticos mediante el Hessiano.

11 · Interpretación y unidades

Razones de cambio de razones de cambio

Si f mide costo, x unidades producidas e y horas:

• fx: costo por unidad producida.
• fxx: cambio del costo marginal por unidad².
• fxy: cambio del costo marginal respecto de x por cada hora adicional.

Las unidades de fxy son unidades de f divididas por las unidades de x y de y. El orden algebraico puede coincidir bajo Clairaut, pero la interpretación puede formularse desde cualquiera de las dos sensibilidades.

Interacciones en modelos

Una mixta positiva indica complementariedad local: aumentar una variable refuerza el efecto marginal de la otra. Una mixta negativa indica que lo debilita. Una mixta cero indica ausencia de interacción de segundo orden en ese punto.

12 · Diferencias finitas de segundo orden

Aproximar curvaturas desde muestras

Las segundas derivadas puras se aproximan con tres evaluaciones alineadas:

La mixta centrada utiliza las cuatro esquinas de un pequeño cuadrado:

Sensibilidad al ruido

Las segundas diferencias restan valores cercanos y dividen por h². Amplifican ruido y redondeo más que las primeras derivadas. Elegir h requiere equilibrar truncamiento y precisión numérica.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: visualizar la curvatura local

Elegí una función y un punto. El mapa representa el término cuadrático determinado por el Hessiano: tonos distintos indican signo y las curvas muestran niveles de curvatura. El paso h controla la aproximación numérica.

El mapa usa desplazamientos locales u y v entre −1 y 1. El color representa q(u,v)=fₓₓu²+2fₓᵧuv+fᵧᵧv², sin el factor un medio.

Preguntas para explorar

1. Compará el modelo cuadrático con la silla y observá el cambio de signo.
2. En la función cúbica, mové el punto: el Hessiano deja de ser constante.
3. En las ondas, buscá puntos donde las derivadas puras cambien de signo.
4. En la gaussiana, compará el centro con puntos alejados.
5. Reducí h y observá cuándo el error deja de mejorar por redondeo.

14 · Implementación

Aproximar el Hessiano con JavaScript

function hessianoNumerico(funcion, x, y, h = 1e-4) {
  if (!(h > 0) || ![x, y, h].every(Number.isFinite)) {
    throw new RangeError("El punto y el paso deben ser válidos");
  }

  const centro = funcion(x, y);
  const fxx = (funcion(x + h, y) - 2 * centro + funcion(x - h, y)) / h ** 2;
  const fyy = (funcion(x, y + h) - 2 * centro + funcion(x, y - h)) / h ** 2;
  const fxy = (
    funcion(x + h, y + h) - funcion(x + h, y - h)
    - funcion(x - h, y + h) + funcion(x - h, y - h)
  ) / (4 * h ** 2);

  return [[fxx, fxy], [fxy, fyy]];
}

const f = (x, y) => x ** 2 + x * y + 2 * y ** 2;
console.log(hessianoNumerico(f, 0.5, -0.5));
// Aproximadamente [[2, 1], [1, 4]]

Comparar con un Hessiano analítico

function errorMaximoMatriz(a, b) {
  let maximo = 0;
  for (let fila = 0; fila < a.length; fila += 1) {
    for (let columna = 0; columna < a[fila].length; columna += 1) {
      maximo = Math.max(maximo, Math.abs(a[fila][columna] - b[fila][columna]));
    }
  }
  return maximo;
}

const exacto = [[2, 1], [1, 4]];
const aproximado = hessianoNumerico(f, 1, 2, 1e-3);
console.log(errorMaximoMatriz(exacto, aproximado));

Evaluar la forma cuadrática

function formaCuadratica(hessiano, desplazamiento) {
  const [[a, b], [c, d]] = hessiano;
  const [u, v] = desplazamiento;
  return a * u ** 2 + (b + c) * u * v + d * v ** 2;
}

const H = [[2, 1], [1, 4]];
console.log(formaCuadratica(H, [1, 0])); // 2
console.log(formaCuadratica(H, [0, 1])); // 4
console.log(formaCuadratica(H, [1, 1])); // 8

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: segundas derivadas

Para f(x,y)=x⁴+2x²y³−y⁵, calculá las cuatro parciales de segundo orden.

Ejercicio 2: exponencial

Encontrá el Hessiano de g(x,y)=e^(x+2y).

Ejercicio 3: interpretación

En un modelo de costo C(q,t), explicá qué significan Cqq>0 y Cqt<0.

Ejercicio 4: forma cuadrática

Para el Hessiano H=[[4,−1],[−1,2]], escribí hᵀHh con h=(u,v) y evaluá en (1,2).

Ejercicio 5: Clairaut

Una función tiene derivadas mixtas continuas en un disco y se calculó fxy=2x cos(y)+3. ¿Qué puede afirmarse sobre fyx?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos diferenciabilidad y diferencial total: veremos cuándo las parciales se combinan en una aproximación lineal válida para cambios simultáneos.