Reglas de derivación parcial

01 · Punto de partida

Las reglas conocidas, con una decisión adicional

Una vez elegida la variable respecto de la cual derivamos, las reglas son las mismas que en cálculo de una variable. La diferencia está en reconocer qué símbolos varían y cuáles permanecen constantes.

Para una expresión f(x,y) conviene plantear dos lecturas:

• Al calcular fx, ¿qué términos dependen de x?
• Al calcular fy, ¿qué términos dependen de y?
• ¿La expresión es suma, producto, cociente o composición?
• ¿Qué regla debe aplicarse primero según la estructura externa?
• ¿Dónde está definida la función y dónde lo están sus derivadas?
• ¿Cómo podemos comprobar el resultado numéricamente?

02 · Linealidad

Constantes, sumas y restas

Si u y v son derivables parcialmente y c es una constante:

La derivada se distribuye término a término. Además, cualquier expresión que no dependa de la variable elegida actúa como constante.

Ejemplo

Sea f(x,y)=4x³−2x²y+7y⁴−5. Entonces:

Al derivar respecto de x, 7y⁴−5 es constante. Respecto de y, 4x³−5 es constante.

Parámetros

En f(x,y)=ax²+bxy+cy², las letras a, b y c son constantes si representan parámetros fijos:

03 · Potencias

Exponentes y monomios

Para una potencia directa de x:

Si aparece un monomio xᵐyⁿ:

Exponentes reales

La regla vale donde la potencia define una función real diferenciable. Por ejemplo, ∂√x/∂x=1/(2√x) para x>0. El dominio de la derivada puede ser menor que el de la función.

Potencia de una expresión

En (x²+y²)⁵ no basta bajar el exponente: hay una composición. Usaremos regla de la cadena:

04 · Regla del producto

Derivar un factor por vez

Si f=u·v, entonces:

La misma estructura vale respecto de y. Los factores pueden depender de ambas variables.

Ejemplo

Sea f(x,y)=x²e^(xy). Respecto de x, ambos factores cambian:

Respecto de y, el factor x² es constante:

Tres factores

Para uvw, derivamos cada factor y conservamos los otros:

05 · Regla del cociente

Numerador y denominador

Si f=u/v y v≠0:

El orden del numerador importa: derivada de arriba por abajo menos arriba por derivada de abajo.

Ejemplo

Sea f(x,y)=(x+y)/(1+x²+y²). Definimos u=x+y y v=1+x²+y²:

El denominador original nunca se anula, por lo que la función y estas parciales están definidas en todo ℝ².

Alternativa con exponentes negativos

También podemos escribir u·v⁻¹ y combinar producto con cadena. Ambas rutas deben dar el mismo resultado; elegimos la que reduzca errores algebraicos.

06 · Regla de la cadena

Derivar la función exterior y luego la interior

Si f(x,y)=H(u(x,y)), entonces:

La derivada exterior se evalúa en la expresión interior y se multiplica por la parcial de esa expresión.

Ejemplo radial

Para f(x,y)=sen(x²+y²), tomamos u=x²+y²:

Varias capas

En e^(sen(xy)) hay tres niveles: exponencial, seno y producto. Respecto de x:

Conviene recorrer las capas desde afuera hacia adentro y escribir cada factor antes de simplificar.

07 · Funciones elementales

Exponenciales, logaritmos y trigonometría

Para la parcial respecto de y se reemplaza ux por uy. La estructura exterior permanece igual.

Ejemplo logarítmico

Si f=ln(1+x²y²):

08 · Reconocer dependencias

La misma letra puede ser variable o parámetro

La frase “mantener las demás variables constantes” depende del modelo. Si z=f(x,y;a), el símbolo a puede ser un parámetro fijo mientras x e y varían. Entonces:

Pero si a depende de x, habría que incluir su derivada. La notación debe reflejar las dependencias reales.

Dependencia explícita e indirecta

En f(x,y)=H(xy), H no muestra x explícitamente, pero su argumento sí depende de x. La regla de la cadena transmite esa dependencia.

Árbol de expresión

Para √(1+x²e^y) podemos identificar:

La derivación automática usa precisamente un grafo de operaciones y propaga sensibilidades a través de él.

09 · Reglas combinadas

Desarmar antes de derivar

Consideremos:

La operación exterior es un producto. Definimos u=e^(xy) y v=ln(1+x²+y²).

Respecto de x:

Respecto de y:

Factorizar al final

Podemos extraer e^(xy), pero hacerlo después de aplicar correctamente las reglas reduce el riesgo de omitir términos:

La simplificación es una etapa posterior; no debe ocultar la estructura de derivación.

10 · Dominio de la derivada

Derivar no elimina restricciones

El dominio de una fórmula derivada debe analizarse junto con el dominio original.

Ejemplo con raíz

f(x,y)=√(x−y²) está definida cuando x≥y². En el interior x>y²:

Estas fórmulas no están definidas sobre la frontera, aunque f sí lo está allí. Puede haber derivadas laterales especiales, pero no se obtienen sustituyendo sin más.

Ejemplo con logaritmo

ln(x²−y) exige x²−y>0. Sus parciales 2x/(x²−y) y −1/(x²−y) se interpretan en esa misma región.

11 · Método de trabajo

Derivar expresiones complejas sin perder términos

1. 1
   Elegí la variable.

   Marcá qué símbolo cambia y tratá los demás como constantes independientes.

2. 2
   Identificá la operación exterior.

   Decidí si la expresión principal es suma, producto, cociente o composición.

3. 3
   Nombrá subexpresiones.

   Usá u, v u otros nombres para reducir la carga visual.

4. 4
   Aplicá la regla estructural.

   Escribí todos los términos antes de simplificar.

5. 5
   Derivá hacia adentro.

   Incluí cada factor de la regla de la cadena.

6. 6
   Simplificá y factorizá.

   Agrupá factores comunes sin alterar el dominio.

7. 7
   Verificá.

   Comprobá unidades, casos simples y una diferencia finita en algún punto.

12 · Comprobaciones

Detectar errores antes de confiar en la fórmula

Varias pruebas sencillas encuentran muchos errores simbólicos:

• Variables ausentes: si f no depende de y, debe cumplirse fy=0.
• Simetría: si f es simétrica al intercambiar x e y, las fórmulas parciales deberían transformarse entre sí.
• Unidades: la parcial divide unidades de salida por las de la variable elegida.
• Puntos simples: evaluar en cero o uno puede revelar signos y factores omitidos.
• Diferencias finitas: comparar numéricamente en varios pasos h.

Ejemplo de simetría

Para f(x,y)=ln(1+x²+y²):

Intercambiar x e y en la primera produce la segunda, como exige la simetría de f.

Un comprobador no es una prueba

Una diferencia finita puede coincidir por casualidad en un punto. La derivación simbólica justifica la fórmula; la verificación numérica aporta una defensa adicional contra errores.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: reglas exactas y error numérico

Elegí una expresión que combine reglas, mové el punto y modificá h. El gráfico muestra el error de las diferencias centradas al variar el paso; el marcador señala la configuración actual.

El eje horizontal usa log₁₀(h). Las curvas muestran el error absoluto de las aproximaciones respecto de x e y. Un paso demasiado pequeño puede volver a aumentar el error por redondeo.

Preguntas para explorar

1. En el producto, llevá x a cero y observá qué términos desaparecen.
2. En el cociente, compará las dos parciales sobre la diagonal x=y.
3. En e^(xy), fijá y=0: ¿qué ocurre con fx?
4. En el seno radial, intercambiá x e y y observá la simetría.
5. Reducí h hasta el extremo y comprobá si el error sigue disminuyendo.

14 · Implementación

Codificar valor y parciales analíticas

Una forma práctica de mantener juntas la función y sus derivadas es devolverlas desde el mismo modelo:

function modeloExponencial(x, y) {
  const valor = Math.exp(x * y);
  return {
    valor,
    dfDx: y * valor,
    dfDy: x * valor
  };
}

console.log(modeloExponencial(1, 2));
// { valor: e², dfDx: 2e², dfDy: e² }

Verificador por diferencias centradas

function verificarParciales(modelo, x, y, h = 1e-5) {
  const exacto = modelo(x, y);
  const fx = (modelo(x + h, y).valor - modelo(x - h, y).valor) / (2 * h);
  const fy = (modelo(x, y + h).valor - modelo(x, y - h).valor) / (2 * h);

  return {
    exactas: { x: exacto.dfDx, y: exacto.dfDy },
    aproximadas: { x: fx, y: fy },
    errores: {
      x: Math.abs(fx - exacto.dfDx),
      y: Math.abs(fy - exacto.dfDy)
    }
  };
}

console.log(verificarParciales(modeloExponencial, 1, 2));

Regla de la cadena con números duales

Un número dual guarda un valor y su derivada respecto de una variable. Cada operación propaga ambos:

const dual = (valor, derivada) => ({ valor, derivada });

function multiplicar(a, b) {
  return dual(
    a.valor * b.valor,
    a.derivada * b.valor + a.valor * b.derivada
  );
}

function exponencial(a) {
  const valor = Math.exp(a.valor);
  return dual(valor, valor * a.derivada);
}

const x = dual(1, 1); // x varía
const y = dual(2, 0); // y permanece constante
console.log(exponencial(multiplicar(x, y)));
// valor=e², derivada respecto de x=2e²

Esta idea es la base del modo directo de diferenciación automática: las reglas algebraicas se ejecutan junto con el cálculo del valor.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: producto y cadena

Calculá las parciales de f(x,y)=x³cos(xy).

Ejercicio 2: cociente

Sea g(x,y)=(x²−y)/(x+y²). Encontrá ambas parciales e indicá el dominio.

Ejercicio 3: varias capas

Derivá h(x,y)=ln(1+e^(x²y)).

Ejercicio 4: raíz y dominio

Encontrá las parciales de q(x,y)=√(4−x²−3y²) y especificá dónde valen las fórmulas.

Ejercicio 5: detectar el error

Una persona propone ∂(xy e^x)/∂x = y e^x. Explicá el error y corregí la expresión.

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos derivadas parciales de orden superior, incluidas las derivadas mixtas y las condiciones bajo las cuales puede intercambiarse el orden.