Derivadas parciales

01 · Punto de partida

Variar una entrada por vez

Una función f(x,y) puede responder de manera diferente a cambios en x y en y. La derivada parcial separa esos efectos: modifica una coordenada y mantiene fija la otra.

Si f representa el costo de un servicio según cantidad de solicitudes x y volumen transferido y, podemos preguntar:

• ¿Cuánto cambia el costo al agregar solicitudes sin modificar el tráfico?
• ¿Cuánto cambia al aumentar el tráfico con la misma cantidad de solicitudes?
• ¿La sensibilidad respecto de una variable depende del valor de la otra?
• ¿En qué dirección coordenada la superficie sube o baja?
• ¿Cómo estimamos esas razones de cambio a partir de evaluaciones numéricas?

Estas preguntas producen dos funciones nuevas, fx y fy, que asignan a cada punto las pendientes en las direcciones de los ejes.

02 · Definición

Cocientes incrementales parciales

La derivada parcial respecto de x en (a,b) es:

Durante el límite, la segunda coordenada permanece exactamente igual a b. La derivada parcial respecto de y es:

Ahora es x la coordenada fija. Ambos son límites de una variable obtenidos al restringir la función a una recta paralela a un eje.

Existencia

La derivada parcial existe si el cociente correspondiente se aproxima a un número real finito. Puede existir una parcial y no la otra. También pueden existir ambas sin que la función sea continua o diferenciable.

03 · Interpretación geométrica

Pendientes de cortes verticales

La superficie z=f(x,y) puede cortarse con planos verticales.

Fijar y=b

Produce la curva z=f(x,b). Su pendiente en x=a es fx(a,b).

Fijar x=a

Produce la curva z=f(a,y). Su pendiente en y=b es fy(a,b).

Cada parcial es la pendiente de una recta tangente a una de esas curvas. Las dos rectas pasan por el punto de la superficie (a,b,f(a,b)), pero viven en planos verticales distintos.

Ejemplo: paraboloide

Para f(x,y)=x²+y²:

• El corte y=b es z=x²+b² y su pendiente es 2x.
• El corte x=a es z=a²+y² y su pendiente es 2y.

En (1,−2), las pendientes son 2 y −4: la superficie sube al aumentar x y baja al aumentar y.

04 · Notación

Varias escrituras para la misma idea

La derivada respecto de x puede escribirse como:

En un punto usamos fx(a,b) o (∂f/∂x)(a,b). El símbolo ∂ distingue una derivada parcial de la derivada ordinaria d/dx, aunque al fijar las demás variables aplicamos las mismas reglas de una variable.

Subíndices

En funciones con muchas entradas, fxᵢ indica la parcial respecto de la coordenada i. En código suelen aparecer nombres como dfDx, partialX o gradient[0].

No confundir con una fracción algebraica

La notación ∂f/∂x sugiere un cociente, pero representa un operador definido por un límite. Algunas manipulaciones formales funcionan por teoremas específicos; no debemos cancelar símbolos ∂ como números sin justificación.

05 · Cálculo básico

Derivar tratando las otras variables como constantes

Sea:

Para derivar respecto de x, y funciona como un coeficiente constante:

El término −4y+7 es constante respecto de x y deriva a cero.

Para derivar respecto de y, x permanece fijo:

Tabla de decisiones

06 · Volver a la definición

Derivar un ejemplo desde el límite

Para f(x,y)=x²y+y³, calculemos fx(a,b) desde la definición:

Sustituimos:

Los términos b³ se cancelan. Expandimos:

Al hacer h→0, obtenemos fx(a,b)=2ab. La regla de potencia resumía exactamente este proceso.

Respecto de y

El cociente [f(a,b+h)−f(a,b)]/h conduce a a²+3b². Volver ocasionalmente a la definición ayuda a comprender qué variable se mueve y por qué las otras actúan como constantes.

07 · Función derivada y valor derivado

Primero derivar, después evaluar

fx(x,y) es una nueva función. fx(a,b) es un número: la razón de cambio local en un punto concreto.

Para f(x,y)=x²e^y:

En (2,0):

La coincidencia es accidental. Las fórmulas representan sensibilidades distintas y pueden tener unidades diferentes.

Evaluar antes de derivar

Si reemplazamos x e y por números demasiado pronto, convertimos f en una constante y perdemos la variable respecto de la cual queremos medir cambio. Conviene obtener la función parcial y luego evaluar el punto.

08 · Interpretación aplicada

Unidades y sensibilidad marginal

Si f mide temperatura en °C, x distancia en km e y tiempo en horas:

• fx se mide en °C/km.
• fy se mide en °C/h.

Una derivada positiva indica aumento al incrementar esa variable; una negativa indica disminución; una derivada cero indica ausencia de cambio lineal instantáneo en esa dirección, no necesariamente constancia.

Aproximación marginal

Para un pequeño cambio Δx con y fijo:

La aproximación mejora cuando Δx disminuye y la función posee regularidad suficiente. De forma análoga usamos fyΔy para cambios solo en y.

Interpretar “mantener fijo”

En un modelo matemático podemos variar una entrada independientemente. En un sistema real, las variables quizá estén ligadas. Entonces la parcial describe un experimento ideal de control, no necesariamente el cambio observado sobre una trayectoria física.

09 · Qué garantizan las parciales

Existencia no implica continuidad

Las parciales examinan solo dos rectas. Una función puede comportarse bien sobre los ejes y mal sobre otras trayectorias.

Definamos:

Sobre el eje x, f vale 0; sobre el eje y también. Por la definición, ambas parciales en el origen existen y valen 0. Sin embargo, sobre y=x, f vale 1/2, por lo que la función no es continua.

Una condición útil

Si las derivadas parciales existen en un entorno del punto y son continuas allí, entonces la función es diferenciable en el punto. Este criterio suficiente se desarrollará junto con la diferencial total.

10 · Dominio y derivadas laterales

Qué ocurre en la frontera

La definición usual de derivada parcial bilateral requiere poder variar la coordenada en ambos sentidos dentro del dominio. En una frontera puede existir solo un cociente lateral.

Por ejemplo, f(x,y)=√x+y² tiene dominio x≥0. En un punto (0,b):

• Respecto de y podemos variar en ambas direcciones y fy(0,b)=2b.
• Respecto de x solo podemos usar h>0. El cociente es √h/h=1/√h, que crece sin cota.

Según el contexto, se habla de derivada parcial lateral o se declara que la parcial bilateral no está definida. La convención debe explicitarse.

Dominios discretos

Si una entrada solo toma valores enteros, no existe una derivada clásica respecto de ella porque no podemos tomar incrementos reales arbitrariamente pequeños. Podemos usar diferencias finitas, pero representan otra noción.

11 · Diferencias finitas

Aproximar parciales mediante evaluaciones

Cuando no disponemos de una fórmula derivable o la función es una caja negra, aproximamos el límite con un paso pequeño h.

Para fy desplazamos la segunda coordenada. La fórmula centrada suele ser más precisa con el mismo h, pero requiere dos evaluaciones y puntos disponibles a ambos lados.

Elegir h

Un h grande produce error de aproximación. Uno excesivamente pequeño aumenta el error de redondeo al restar valores casi iguales. La mejor escala depende de la función, el punto, las unidades y la precisión numérica.

12 · Organizar sensibilidades

Del par de parciales al gradiente

Las parciales de primer orden se agrupan en el vector:

Este vector se llama gradiente. Más adelante veremos que, bajo condiciones de diferenciabilidad, permite calcular razones de cambio en cualquier dirección y apunta hacia el máximo crecimiento local.

Por ahora: lectura por componentes

Para f(x,y)=x²−3xy+y²:

En (1,1), el par es (−1,−1). Aumentar cualquiera de las coordenadas por separado reduce inicialmente la salida.

Funciones con más variables

Para f(x₁,…,xₙ) obtenemos n derivadas parciales. En aprendizaje automático, este conjunto de sensibilidades indica cómo cambia una pérdida respecto de cada parámetro.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: cortes y pendientes parciales

Elegí una superficie y mové el punto. El panel izquierdo muestra el corte al fijar y y su tangente respecto de x; el derecho fija x y muestra la tangente respecto de y. Modificá h para comparar la derivada exacta con una diferencia centrada.

Las curvas blancas son cortes de la superficie. Las líneas coral representan sus tangentes en el punto seleccionado y los puntos dorados muestran las evaluaciones usadas por la diferencia centrada.

Preguntas para explorar

1. En el cuenco, llevá el punto al origen y observá ambas tangentes horizontales.
2. En la silla, compará las pendientes en (1,1).
3. En el plano, mové el punto: ¿por qué las parciales no cambian?
4. En el producto xy, fijá y=0 y variá x. Después intercambiá los roles.
5. En las ondas, reducí h y observá el error numérico mostrado en las aproximaciones.

14 · Implementación

Diferencias finitas con JavaScript

Una implementación genérica de diferencias centradas recibe la función, el punto y el paso:

function parcialesCentradas(funcion, x, y, h = 1e-5) {
  if (![x, y, h].every(Number.isFinite) || h <= 0) {
    throw new RangeError("El punto y el paso deben ser válidos");
  }

  const dfDx = (funcion(x + h, y) - funcion(x - h, y)) / (2 * h);
  const dfDy = (funcion(x, y + h) - funcion(x, y - h)) / (2 * h);
  return { dfDx, dfDy };
}

const f = (x, y) => x ** 2 + y ** 2;
console.log(parcialesCentradas(f, 1, -1));
// Aproximadamente { dfDx: 2, dfDy: -2 }

Comparar varios pasos

function estudiarPaso(funcion, exactas, x, y, pasos) {
  return pasos.map(h => {
    const aproximadas = parcialesCentradas(funcion, x, y, h);
    return {
      h,
      errorX: Math.abs(aproximadas.dfDx - exactas.dfDx),
      errorY: Math.abs(aproximadas.dfDy - exactas.dfDy)
    };
  });
}

const onda = (x, y) => Math.sin(x) * Math.cos(y);
const exactas = {
  dfDx: Math.cos(1) * Math.cos(0.5),
  dfDy: -Math.sin(1) * Math.sin(0.5)
};
console.table(estudiarPaso(onda, exactas, 1, 0.5, [0.1, 0.01, 0.001]));

Derivar respecto de una coordenada genérica

function derivadaParcial(funcion, punto, indice, h = 1e-5) {
  if (indice < 0 || indice >= punto.length) {
    throw new RangeError("Índice fuera del punto");
  }

  const anterior = [...punto];
  const posterior = [...punto];
  anterior[indice] -= h;
  posterior[indice] += h;
  return (funcion(...posterior) - funcion(...anterior)) / (2 * h);
}

const energia = (x, y, z) => x ** 2 + 2 * y ** 2 + 3 * z ** 2;
console.log(derivadaParcial(energia, [1, 2, -1], 2)); // aproximadamente -6

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: polinomio

Para f(x,y)=2x³y−5xy²+4y, calculá ambas parciales y evaluálas en (1,−2).

Ejercicio 2: regla de la cadena univariada

Sea g(x,y)=e^(x²y)+ln(1+y²). Encontrá gx y gy.

Ejercicio 3: interpretación

Una temperatura T(x,t) se mide en °C, con x en metros y t en segundos. Interpretá Tx(3,10)=−0,4 y Tt(3,10)=0,2.

Ejercicio 4: definición

Usá la definición para calcular las parciales en el origen de f(x,y)=|x|+y². ¿Es derivable respecto de ambas variables allí?

Ejercicio 5: aproximación numérica

Aproximá fx(1,2) para f(x,y)=x²y+y³ mediante diferencia centrada con h=0,1 y compará con el valor exacto.

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos reglas de derivación parcial con más profundidad: productos, cocientes, composiciones y expresiones multivariables complejas.