Continuidad multivariable

01 · Punto de partida

El valor y el entorno deben concordar

Una función es continua en un punto cuando pequeñas variaciones de la entrada producen pequeñas variaciones de la salida. En términos de límites, el comportamiento cercano debe coincidir con el valor asignado exactamente en el punto.

En dos variables escribimos p=(a,b) y x=(x,y). La notación vectorial evita confundir la idea general con el nombre de una coordenada.

La continuidad permite:

• Sustituir directamente para calcular límites.
• Garantizar que errores pequeños en los datos no produzcan saltos arbitrarios.
• Componer modelos sin crear rupturas inesperadas.
• Interpolar y visualizar superficies con comportamiento local coherente.
• Aplicar teoremas de existencia de máximos, mínimos y valores intermedios.
• Distinguir defectos removibles de discontinuidades esenciales.

02 · Definición puntual

Tres condiciones inseparables

Una función f:D⊆ℝ²→ℝ es continua en p=(a,b)∈D si:

1. 1
   El valor existe.

   f(a,b) está definido; el punto pertenece al dominio.

2. 2
   El límite existe.

   Las salidas se aproximan a un único número desde todos los acercamientos permitidos por el dominio.

3. 3
   Ambos coinciden.

   lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=f(a,b).

Si falla cualquiera de las tres, f no es continua en el punto. La primera condición impide llamar continua a una función donde ni siquiera tiene valor; la segunda descarta oscilaciones o dependencia del camino; la tercera descarta puntos mal asignados.

Forma ε–δ

La definición equivalente dice que para todo ε>0 existe δ>0 tal que:

A diferencia de la definición de límite, no hace falta excluir el centro: cuando (x,y)=(a,b), el error de salida es cero.

03 · Interpretación geométrica

Superficies sin ruptura local

Si z=f(x,y) es continua en (a,b), los puntos de la superficie cercanos horizontalmente a (a,b) tienen alturas cercanas a f(a,b). No aparece un punto aislado a otra altura ni una separación persistente entre sectores.

Esta imagen debe interpretarse con cuidado:

• Una superficie continua puede tener esquinas o pliegues; continuidad no implica derivabilidad.
• Puede crecer muy rápido y seguir siendo continua.
• Una gráfica renderizada puede ocultar huecos o saltos pequeños.
• La continuidad se define respecto del dominio, incluso en sus fronteras.

04 · Construir funciones continuas

Operaciones que preservan continuidad

Si f y g son continuas en p, entonces también lo son:

• f+g y f−g.
• c·f para cualquier constante c.
• f·g.
• f/g cuando g(p)≠0.
• |f|, máximos y mínimos finitos de funciones continuas.

Por estas reglas, todo polinomio de varias variables es continuo en ℝⁿ y toda función racional es continua donde su denominador no se anula.

Ejemplo

La función

es continua en todo ℝ². El numerador combina exponencial y seno mediante funciones polinómicas continuas. El denominador es siempre al menos 1, por lo que nunca se anula.

Restricciones del dominio

La expresión ln(4−x²−y²) es continua en el disco abierto x²+y²<4. No decimos que sea discontinua fuera: allí no define una función real.

05 · Composición

Encadenar transformaciones continuas

Sea g:ℝ²→ℝᵐ continua en p y h:ℝᵐ→ℝ continua en g(p). Entonces h∘g es continua en p.

Por ejemplo:

El producto xy, el seno, el cuadrado, la suma con 1 y la raíz sobre argumentos positivos son continuos. Por composición, F es continua en todo el plano.

En programación

Una canalización de funciones puras y continuas conserva estabilidad local si cada etapa recibe valores dentro de su dominio. Sin embargo, operaciones como redondear, truncar, comparar con un umbral o seleccionar una rama pueden introducir discontinuidades.

06 · Continuidad relativa

Acercarse desde dentro del dominio

Una función se estudia sobre su dominio D. En un punto de frontera no exigimos aproximaciones desde lugares donde la función no está definida. La condición ε–δ se aplica a (x,y)∈D.

Ejemplo: hemisferio

La función f(x,y)=√(1−x²−y²) tiene dominio D={(x,y):x²+y²≤1}. En (1,0), solo podemos aproximarnos desde el disco. Como la raíz y el radicando son continuos en el dominio permitido:

La función es continua en toda la región cerrada D, incluida su frontera.

Puntos aislados

Todo punto aislado del dominio es automáticamente un punto de continuidad: existe un entorno donde no hay otras entradas del dominio. Esta continuidad es válida pero no informa sobre variaciones cercanas, porque no existen muestras vecinas.

07 · Funciones por partes

La frontera entre reglas requiere atención

Dentro de cada región, las reglas pueden ser continuas. Los posibles problemas aparecen donde cambia la fórmula. Allí debemos comparar los límites procedentes de todas las partes con el valor asignado.

Consideremos:

Sobre la frontera y=0, ambas expresiones se aproximan a x y la rama incluida también vale x. La función es continua.

Una modificación discontinua

Al acercarnos a (a,0) desde arriba obtenemos a; desde abajo obtenemos a+1. Hay un salto sobre toda la recta y=0.

Procedimiento

1. 1
   Localizá las fronteras.

   Identificá dónde cambia la condición que selecciona cada regla.

2. 2
   Revisá cada región.

   Usá continuidad de la fórmula dentro de su zona.

3. 3
   Compará aproximaciones.

   Calculá los límites desde todas las partes que tocan la frontera.

4. 4
   Compará con el valor.

   La coincidencia de los límites debe incluir la rama definida sobre la frontera.

08 · Discontinuidades removibles

Reparar un valor mal asignado o ausente

Si limx→pf(x)=L existe, pero f no está definida en p o f(p)≠L, la discontinuidad es removible. Definimos una extensión:

La nueva función es continua en p porque conserva el comportamiento cercano y corrige únicamente el valor central.

Ejemplo radial

Sea r=√(x²+y²) y:

Como sen(r)/r→1, la única extensión continua al origen asigna f(0,0)=1. Cualquier otro valor mantiene una discontinuidad.

Un hueco no siempre es removible

Para xy/(x²+y²), ningún valor asignado en el origen puede producir continuidad porque el límite no existe. Cambiar un punto no elimina una dependencia direccional presente en todo entorno.

09 · Formas de discontinuidad

Diagnosticar qué condición falla

Estas etiquetas describen el comportamiento, pero la demostración vuelve siempre a las condiciones de continuidad: dominio, límite y coincidencia.

10 · Continuidad en conjuntos

De un punto a una región completa

Decimos que f es continua en un conjunto A si es continua en cada punto de A, usando aproximaciones relativas a su dominio.

Conjuntos abiertos

En una región abierta, cada punto tiene un disco completo dentro de la región. Las fórmulas locales pueden analizarse sin restricciones direccionales impuestas por la frontera.

Conjuntos cerrados

En una región cerrada también se incluyen los puntos de frontera. La continuidad allí se interpreta desde dentro del dominio. Si además el conjunto es acotado, obtenemos una región compacta.

Teorema de los valores extremos

Una función continua sobre un conjunto cerrado y acotado no solo está acotada: alcanza un máximo y un mínimo absolutos. Esta garantía será central al estudiar optimización.

Valores intermedios

Sobre una región conexa, una función continua no puede saltar de un valor a otro sin tomar los intermedios. La imagen de un conjunto conexo mediante una función continua sigue siendo conexa.

11 · Caracterización secuencial

Continuidad a lo largo de toda sucesión

Una función f es continua en p si y solo si para toda sucesión pn del dominio que converge a p:

Esta formulación incluye sucesiones que eventualmente toman el propio punto y no exige perforar el entorno.

Demostrar discontinuidad

Alcanza encontrar una sucesión pn→p cuyas imágenes no converjan a f(p). Puede ocurrir que:

• Converjan a otro número.
• Dos subsucesiones tengan límites distintos.
• Oscilen o crezcan sin cota.

Ejemplo removible

Si f(x,y)=x²+y² fuera del origen y f(0,0)=5, cualquier sucesión no trivial hacia el origen produce valores que tienden a 0, no a 5. La función es discontinua en el origen aunque el valor esté definido.

12 · Consecuencias y estabilidad

Preimágenes, perturbaciones y algoritmos

Una caracterización topológica afirma que f es continua si la preimagen de todo conjunto abierto es abierta en el dominio. Esta perspectiva generaliza la continuidad a espacios donde no usamos fórmulas explícitas de distancia.

Preimagen de intervalos

Si f es continua, el conjunto {(x,y):f(x,y)>c} es abierto relativo al dominio. Un punto que supera estrictamente el umbral conserva esa propiedad bajo perturbaciones suficientemente pequeñas.

Estabilidad local

La continuidad garantiza que para cada tolerancia de salida existe una tolerancia de entrada. No garantiza que la misma δ funcione en todo el dominio; eso sería continuidad uniforme.

Computación de punto flotante

Una función matemáticamente continua puede evaluarse de forma inestable. Por ejemplo, (√(4+r²)−2)/r² tiene una extensión continua, pero la resta pierde precisión cerca de cero. La expresión racionalizada 1/(√(4+r²)+2) representa mejor el mismo comportamiento.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: asignar el valor central

Elegí un modelo, modificá el valor asignado en el punto objetivo y acercate desde distintos ángulos. Cuando el límite existe, solo una asignación produce continuidad. Si el límite no existe, ningún valor central puede reparar la función.

El gráfico compara las salidas cercanas para varias direcciones con la altura asignada en el punto. En el modelo de frontera solo se muestran aproximaciones pertenecientes al disco unidad.

Preguntas para explorar

1. En el primer modelo, cambiá c a 1 y reducí la distancia.
2. En el modelo amortiguado, encontrá la única asignación continua.
3. En el modelo direccional, compará 0°, 45° y 135°. ¿Existe algún c que funcione?
4. En el salto, aproximá desde arriba y desde abajo del eje x.
5. En el modelo de frontera, observá que la aproximación ocurre alrededor de (1,0) y únicamente desde el dominio.

14 · Implementación

Modelar extensiones continuas en JavaScript

Podemos representar una función con hueco y su extensión continua de manera explícita:

function sincRadial(x, y) {
  const radio = Math.hypot(x, y);
  if (radio === 0) return 1;
  return Math.sin(radio) / radio;
}

console.log(sincRadial(0, 0));       // 1
console.log(sincRadial(1e-3, 0));    // aproximadamente 0.99999983
console.log(sincRadial(0, -1e-3));   // aproximadamente 0.99999983

Comprobar continuidad numéricamente

function errorEnCirculo(funcion, centro, valorCentral, radio, muestras = 360) {
  let errorMaximo = 0;

  for (let indice = 0; indice < muestras; indice += 1) {
    const angulo = 2 * Math.PI * indice / muestras;
    const x = centro.x + radio * Math.cos(angulo);
    const y = centro.y + radio * Math.sin(angulo);
    const error = Math.abs(funcion(x, y) - valorCentral);
    errorMaximo = Math.max(errorMaximo, error);
  }
  return errorMaximo;
}

for (const radio of [1, 0.1, 0.01, 0.001]) {
  console.log(radio, errorEnCirculo(sincRadial, { x: 0, y: 0 }, 1, radio));
}

Si el error máximo muestreado disminuye, obtenemos evidencia favorable. La prueba matemática todavía debe controlar todas las direcciones no muestreadas.

Unir reglas continuas

function superficiePorPartes(x, y) {
  return y >= 0 ? x + y : x - y;
}

function verificarFrontera(funcion, valoresX, desplazamiento = 1e-6) {
  return valoresX.map(x => ({
    x,
    desdeArriba: funcion(x, desplazamiento),
    sobreFrontera: funcion(x, 0),
    desdeAbajo: funcion(x, -desplazamiento)
  }));
}

console.table(verificarFrontera(superficiePorPartes, [-2, 0, 3]));

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: continuidad por operaciones

Determiná el conjunto donde es continua:

Ejercicio 2: extensión removible

Sea r=√(x²+y²) y f(x,y)=(1−cos r)/r² para r>0. ¿Qué valor debe asignarse en el origen para obtener continuidad?

Ejercicio 3: función por partes

Encontrá el valor de k para que sea continua en el origen:

Ejercicio 4: continuidad relativa

Analizá la continuidad de f(x,y)=√(x−y²) sobre su dominio.

Ejercicio 5: imposible de reparar

¿Existe un valor k que haga continua en el origen a la función cuya rama exterior es (x²−y²)/(x²+y²)?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos derivadas parciales: mediremos el cambio de la función al variar una coordenada y mantener las demás fijas.