Límites por caminos y no existencia

01 · Punto de partida

Buscar una incompatibilidad

Si el límite conjunto de f(x,y) en un punto existe, todas las maneras admisibles de aproximarse deben producir el mismo valor. Esta condición necesaria permite demostrar no existencia con una estrategia directa: encontrar dos aproximaciones que den resultados diferentes.

Para una trayectoria parametrizada γ(t)=(x(t),y(t)) que se acerca a (a,b), estudiamos la composición de una variable:

Si dos trayectorias hacia el mismo punto producen límites L₁ y L₂ con L₁≠L₂, el límite multivariable no puede existir.

02 · La lógica del método

Condición necesaria, no suficiente

El método de caminos tiene una asimetría que debemos respetar:

Formalmente, la afirmación “si existe el límite conjunto, entonces todos los límites por caminos coinciden” tiene como contraposición:

Pero la recíproca es falsa: que todos los caminos de una familia elegida coincidan no cubre necesariamente todos los acercamientos posibles.

Qué debe cumplir un camino

• Sus puntos deben pertenecer al dominio de f para valores del parámetro cercanos al objetivo.
• Debe aproximarse al mismo punto (a,b).
• No debe quedarse constantemente en el punto excluido.
• La composición debe analizarse con un límite de una variable válido.

03 · Primer recurso

Rectas que pasan por el punto

Para límites en el origen, la familia de rectas y=mx se parametriza como:

El parámetro m representa la pendiente. El eje y no aparece con una pendiente finita, por lo que conviene comprobarlo también mediante (0,t).

Ejemplo clásico

Sea f(x,y)=xy/(x²+y²). Sobre y=mx:

La expresión ya no depende de x. Para m=0 obtenemos 0; para m=1, 1/2. Por lo tanto:

La familia completa aporta además información geométrica: cada dirección conserva un valor distinto, como también revela la forma polar cosθsenθ.

04 · Ejes coordenados

Pruebas rápidas, pero limitadas

Los ejes son los primeros caminos que solemos intentar:

• Eje x: sustituir y=0.
• Eje y: sustituir x=0.

Para f(x,y)=(x²−y²)/(x²+y²):

• Sobre y=0, f(x,0)=1.
• Sobre x=0, f(0,y)=−1.

La contradicción es inmediata. Sin embargo, si ambos ejes producen el mismo valor solo hemos superado una prueba preliminar.

Un caso que engaña a los ejes

En g(x,y)=xy/(x²+y²), ambos ejes dan 0, pero la diagonal y=x da 1/2. Revisar únicamente ejes puede ocultar la dependencia direccional.

05 · Más allá de las rectas

Parábolas y curvas adaptadas

Algunas funciones tienen el mismo límite sobre todas las rectas y fallan sobre una curva no lineal. Consideremos:

Sobre cualquier recta y=mx:

Para m=0 también vale 0. Todas las rectas sugieren el candidato cero. Pero el denominador contiene x⁴ y y²; para equilibrar órdenes elegimos y=kx²:

Con k=0 resulta 0 y con k=1 resulta 1/2. El límite no existe.

La elección no fue azarosa

Buscamos que los términos del denominador tengan el mismo orden: y² debe comportarse como x⁴, de donde y≈x². Esta idea de balance de exponentes guía la construcción de trayectorias eficaces.

06 · Diseñar caminos

Leer la expresión antes de sustituir

Una estrategia sistemática evita probar curvas al azar:

1. 1
   Probá los ejes.

   Pueden producir una contradicción inmediata o simplificar el panorama.

2. 2
   Probá rectas y=mx.

   Si el resultado depende de m, ya encontraste no existencia.

3. 3
   Compará exponentes.

   Equilibrá términos del denominador, como y²≈x⁴.

4. 4
   Conservá un cociente.

   Elegí una curva que impida que un término domine completamente a los demás.

5. 5
   Usá curvas de nivel.

   Si podés mantener f constante mientras te acercás, distintas constantes refutan el límite.

6. 6
   Revisá el dominio.

   La trayectoria no puede atravesar puntos donde la función no esté definida.

Para una función con x²+y⁶ en el denominador, el balance natural es x≈ky³. Para x⁶+y⁴, una opción es y≈kx^(3/2) en la región donde esa potencia sea real, o una parametrización x=t², y=kt³.

07 · Parametrizar con cuidado

El parámetro debe llevar realmente al punto

Una ecuación de camino puede parametrizarse de distintas formas. Para la parábola y=kx² usamos x=t, y=kt². La distancia al origen satisface:

En un punto general (a,b), una recta se escribe (x,y)=(a+t,b+mt) y una parábola adaptada puede escribirse (a+t,b+kt²).

Orientación y lados

Si t se aproxima por valores positivos, el camino puede recorrer solo una rama. Eso es válido si alcanza el punto dentro del dominio, pero debe indicarse. Si la composición tiene límites laterales diferentes en t, ese mismo camino ya revela la no existencia.

Evitar el punto excluido

La parametrización debe usar t≠0 cerca del límite si la función no está definida en el objetivo. Evaluar la fórmula compuesta exactamente en t=0 puede introducir una división por cero que no afecta al límite.

08 · Lectura polar

Cuando el ángulo conserva la discrepancia

En el origen, las coordenadas polares separan cercanía y dirección:

Si después de simplificar queda una expresión que depende de θ y no desaparece con r, distintos ángulos suelen producir valores incompatibles.

Ejemplo

Con θ=0 vale 1 y con θ=π/2 vale −1 para todo r. El límite no existe.

Ángulos variables

Para demostrar existencia no alcanza con fijar θ: el ángulo podría cambiar mientras r disminuye. Para demostrar no existencia, en cambio, dos ángulos constantes ya son dos caminos válidos.

09 · Método de sucesiones

Dos listas de puntos también bastan

El criterio secuencial afirma que, si f(x,y)→L, toda sucesión del dominio que tienda al punto debe producir salidas que tiendan a L.

Para refutar el límite podemos construir dos sucesiones. En f(x,y)=xy/(x²+y²):

• pn=(1/n,0) produce f(pn)=0.
• qn=(1/n,1/n) produce f(qn)=1/2.

Ambas sucesiones tienden al origen y evitan el punto excluido, pero sus imágenes tienen límites diferentes.

Sucesiones intercaladas

Podemos combinar ambas en una sola sucesión que alterne puntos de cada familia. Las salidas alternarán entre 0 y 1/2 y no convergerán. Esto contradice directamente el requisito secuencial de un límite conjunto.

10 · Límites iterados

El orden puede revelar una contradicción

Los límites iterados aproximan primero una variable y luego la otra:

Si ambos existen y son diferentes, el límite conjunto no existe. Cada orden captura una forma extrema de aproximación.

Ejemplo

Para f(x,y)=(x−y)/(x+y) cerca de (0,0), evitando x+y=0:

• Con x fijo no nulo, y→0 produce 1; luego x→0 mantiene 1.
• Con y fijo no nulo, x→0 produce −1; luego y→0 mantiene −1.

Los iterados distintos refutan el límite.

11 · Otras formas de no existencia

Oscilación, divergencia y signos incompatibles

No toda falla se expresa mediante dos límites finitos distintos.

Oscilación

La función sen(1/√(x²+y²)) oscila al acercarse al origen. Sobre cualquier rayo ocurre la misma oscilación radial. Podemos elegir radios que hagan valer la función 1 y otros que la hagan valer −1.

Crecimiento con signos distintos

Para x/(x²+y²), sobre el eje x resulta 1/x: tiende a +∞ desde x positivo y a −∞ desde x negativo. No existe un límite real ni un único límite infinito.

Falta de cota

Si una trayectoria produce valores sin cota mientras otra se mantiene finita, tampoco puede existir un límite finito. Por ejemplo, x²/(x⁴+y²) vale 1/x² sobre y=0, pero vale 0 sobre x=0.

Dominio desconectado

Una función definida con reglas distintas en regiones que se aproximan al mismo punto puede producir límites incompatibles. Hay que verificar caminos contenidos en cada componente cercana del dominio.

12 · Escritura de la demostración

Una prueba breve y completa

Una demostración de no existencia por caminos debe incluir cuatro piezas:

1. 1
   Definir el primer camino.

   Indicá su parametrización y verificá que se aproxima al punto dentro del dominio.

2. 2
   Calcular su límite.

   Sustituí y resolvé el límite de una variable.

3. 3
   Repetir con otro camino.

   Elegí una trayectoria que produzca un resultado incompatible.

4. 4
   Concluir lógicamente.

   Como un límite conjunto debería coincidir con ambos y los resultados difieren, no existe.

No es necesario calcular la función sobre todos los caminos ni describir toda la superficie. Tampoco alcanza escribir “depende del camino” sin exhibir los cálculos.

Modelo de conclusión

Sobre γ₁(t) la función tiende a L₁, mientras que sobre γ₂(t) tiende a L₂. Como ambas trayectorias se aproximan al mismo punto y L₁≠L₂, el límite conjunto no existe.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: enfrentar dos caminos

Elegí una función y dos coeficientes. El laboratorio usa la familia adecuada —rectas o parábolas— y muestra las salidas a la misma escala t. Si las curvas se acercan a alturas distintas, obtenemos un certificado visual de no existencia.

El panel izquierdo dibuja ambas trayectorias en el dominio. El derecho grafica sus salidas para valores positivos de t que se acercan a cero.

Preguntas para explorar

1. En el primer modelo, variá las pendientes y comprobá la fórmula m/(1+m²).
2. En la diferencia de cuadrados, compará los ejes usando coeficientes 0 y una pendiente muy grande.
3. En el modelo parabólico, observá que el laboratorio cambia automáticamente a y=mx².
4. Reducí |t|. ¿Qué salidas permanecen separadas y cuáles convergen juntas?
5. Elegí el modelo de control. Distintos caminos dan valores diferentes para t no nulo, pero la diferencia desaparece al acercarse.

14 · Implementación

Comparar caminos con JavaScript

Podemos representar un camino como una función que transforma el parámetro t en un punto:

function evaluarCamino(funcion, camino, parametros) {
  return parametros.map(t => {
    const { x, y } = camino(t);
    return { t, x, y, valor: funcion(x, y) };
  });
}

const f = (x, y) => x * y / (x ** 2 + y ** 2);
const ejeX = t => ({ x: t, y: 0 });
const diagonal = t => ({ x: t, y: t });
const parametros = [1, 0.1, 0.01, 0.001];

console.table(evaluarCamino(f, ejeX, parametros));
console.table(evaluarCamino(f, diagonal, parametros));

Generar una familia de rectas

function rectaPorElOrigen(pendiente) {
  return t => ({ x: t, y: pendiente * t });
}

function explorarPendientes(funcion, pendientes, t = 1e-6) {
  return pendientes.map(pendiente => {
    const punto = rectaPorElOrigen(pendiente)(t);
    return {
      pendiente,
      valor: funcion(punto.x, punto.y)
    };
  });
}

console.table(explorarPendientes(
  (x, y) => x * y / (x ** 2 + y ** 2),
  [-2, -1, 0, 1, 2]
));

Balancear potencias

function parabola(coeficiente) {
  return t => ({ x: t, y: coeficiente * t ** 2 });
}

const funcion = (x, y) => x ** 2 * y / (x ** 4 + y ** 2);

for (const k of [0, 0.5, 1, 2]) {
  const [{ valor }] = evaluarCamino(funcion, parabola(k), [1e-5]);
  console.log({ k, valor });
}
// Los valores son k/(1+k²), independientes de t

El muestreo puede sugerir qué coeficientes producen discrepancias. La demostración final debe sustituir el camino simbólicamente o justificar el límite de la composición.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: discrepancia por rectas

Demostrá que no existe:

Ejercicio 2: todas las rectas coinciden

Sea f(x,y)=x⁴y/(x⁸+y²).

1. Mostrá que sobre y=mx el límite es 0 para toda m.
2. Encontrá una familia de curvas que revele no existencia.

Ejercicio 3: sucesiones

Usá dos sucesiones para refutar el límite de (x²−y²)/(x²+y²) en el origen.

Ejercicio 4: oscilación radial

Construí dos sucesiones de puntos que demuestren que sen(1/√(x²+y²)) no tiene límite en el origen.

Ejercicio 5: punto trasladado

Estudiá mediante dos caminos:

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos continuidad multivariable: combinaremos existencia del límite, valor de la función y comportamiento sobre regiones completas.