Cálculo de límites multivariables

01 · Punto de partida

Calcular significa justificar

En el tema anterior definimos el límite mediante entornos: la salida debe acercarse al mismo valor para todos los puntos suficientemente próximos del dominio. Ahora necesitamos técnicas que conviertan esa definición en cálculos manejables.

La dificultad no consiste solo en adivinar un candidato L. Una tabla o una gráfica pueden sugerirlo, pero debemos justificar que el error |f(x,y)−L| se hace pequeño sin depender del camino.

El repertorio básico incluye:

• Sustituir cuando las operaciones son continuas.
• Factorizar y cancelar factores válidos en un entorno perforado.
• Racionalizar expresiones con raíces.
• Comparar con cantidades más simples mediante desigualdades.
• Expresar la cercanía con la norma o el radio polar.
• Aplicar el teorema del sándwich con una cota independiente del ángulo.

02 · Primer diagnóstico

Empezar por la sustitución

El primer intento razonable es reemplazar las variables por las coordenadas del punto objetivo. Pueden ocurrir tres situaciones:

La indeterminación 0/0 puede ocultar resultados muy distintos. Por ejemplo, cerca del origen:

• (x²+y²)/(√(x²+y²))→0.
• (x²+y²)/(x²+y²)→1 en su dominio.
• xy/(x²+y²) no tiene límite.
• 1/√(x²+y²)→+∞ no produce 0/0, sino crecimiento.

03 · Sustitución por continuidad

Combinar límites conocidos

Las funciones coordenadas x e y son continuas. Las sumas, productos y composiciones de funciones continuas siguen siendo continuas donde están definidas. Los cocientes son continuos cuando el denominador no se anula.

Por ejemplo:

La expresión combina un polinomio y una exponencial, ambas continuas. Sustituimos:

Funciones continuas frecuentes

• Polinomios en cualquier punto.
• Funciones racionales donde el denominador no es cero.
• Exponenciales, senos y cosenos.
• Logaritmos donde el argumento es positivo.
• Raíces de índice par donde el argumento permite continuidad relativa al dominio.
• Composiciones de las anteriores cuando todas las etapas están definidas.

La sustitución no es un truco separado de la teoría: funciona porque continuidad significa precisamente que el límite coincide con el valor de la función.

04 · Simplificación algebraica

Factorizar dentro del entorno perforado

Dos expresiones pueden diferir en el punto objetivo y coincidir en todos los puntos cercanos del dominio. Como el límite ignora el centro, podemos reemplazar una por la otra dentro de un entorno perforado.

Ejemplo radial

Para (x,y)≠(0,0), sea r=√(x²+y²)>0. Entonces:

Ejemplo con diferencia de cuadrados

En los puntos con x≠y, factorizamos x²−y²=(x−y)(x+y) y obtenemos x+y. Sobre la recta x=y la expresión original no pertenece al dominio, pero hay puntos del dominio arbitrariamente cercanos. El límite es 1+1=2.

05 · Racionalización

Eliminar restas problemáticas entre raíces

Cuando una sustitución produce una diferencia de raíces cercana a cero, multiplicar por el conjugado puede revelar un factor cancelable.

Consideremos:

Multiplicamos numerador y denominador por √(4+x²+y²)+2:

Para puntos distintos del origen cancelamos x²+y² y queda:

La forma simplificada también es numéricamente más estable. Restar dos números casi iguales puede perder dígitos significativos por cancelación catastrófica.

Racionalizar el denominador

La misma idea sirve si la diferencia de raíces aparece abajo. Antes de operar, conviene registrar las restricciones del dominio y verificar que el conjugado no introduzca una división adicional por cero.

06 · Desigualdades útiles

Comparar coordenadas con la norma

Sea r=√(x²+y²). Entonces:

Estas desigualdades permiten reemplazar expresiones angulares por potencias de la distancia.

Cerca de un punto general (a,b), aplicamos las mismas ideas a u=x−a, v=y−b y r=√(u²+v²).

07 · Teorema del sándwich

Encerrar el error entre cantidades que tienden a cero

Si cerca del punto se cumple

y g(x,y)→0, entonces f(x,y)→L. La función g actúa como una envolvente independiente del signo y, idealmente, de la dirección.

Ejemplo

Usando |xy|≤(x²+y²)/2=r²/2:

Por lo tanto, el límite es 0. Esta estimación demuestra más que revisar rectas: el mismo radio r controla simultáneamente todos los ángulos.

De la cota a ε–δ

Si queremos |f|<ε, basta exigir r/2<ε. Podemos elegir δ=2ε. La desigualdad ya contiene la estructura de la prueba formal.

08 · Coordenadas polares

Separar radio y dirección

Para límites en el origen usamos:

La aproximación (x,y)→(0,0) equivale a r→0⁺, mientras θ puede variar libremente. Un límite existe si la dependencia angular queda controlada uniformemente.

Ejemplo con límite

Como |cos²θ senθ|≤1, tenemos:

Ejemplo que genera sospecha

El radio desaparece y la expresión conserva su dependencia de θ. Esto indica que no hay un único valor al reducir r. El próximo tema sistematizará la demostración de no existencia mediante caminos.

09 · Órdenes de pequeñez

Comparar potencias del radio

Cerca del origen, un monomio de grado total d satisface |xᵐyⁿ|≤r^(m+n)=rᵈ. Si un denominador se comporta como una potencia menor de r, podemos anticipar el orden del cociente.

Por ejemplo:

La desigualdad es válida fuera del origen. No fue necesario identificar la dirección que produce el máximo exacto.

Comparabilidad del denominador

Si el denominador es x²+3y², entonces:

Es decir, se comporta como r² salvo constantes multiplicativas. Estas constantes no afectan si una potencia positiva de r tiende a cero.

Advertencia

Contar grados de forma mecánica puede fallar si el denominador se anula más rápido en ciertas direcciones o contiene cancelaciones. Antes de dividir por una cota inferior debemos demostrar que esa cota es positiva y válida en todas las direcciones.

10 · Oscilación controlada

Factor acotado por factor que desaparece

Una función puede oscilar infinitamente y aun así tener límite si su amplitud tiende a cero. Si |h(x,y)|≤M cerca del punto y g(x,y)→0, entonces:

Ejemplo radial

Sea r=√(x²+y²) y f(x,y)=r sen(1/r) para r>0. Aunque sen(1/r) no tiene límite:

Funciones trigonométricas

Las cotas |sen u|≤1, |cos u|≤1 y |sen u|≤|u| son especialmente útiles. Por ejemplo:

No intentamos calcular el límite del factor oscilante; controlamos el producto completo.

11 · Puntos distintos del origen

Trasladar el problema

Las técnicas radiales no están limitadas al origen. Para estudiar (x,y)→(a,b), definimos:

Entonces (u,v)→(0,0) y la distancia es r=√(u²+v²). Reescribimos la función en términos de a+u y b+v.

Ejemplo

Con u=x−2 y v=y+1 obtenemos u²v/(u²+v²). En polares:

Su valor absoluto es menor o igual que r, por lo que el límite es 0.

La traslación preserva distancias relativas y convierte el punto objetivo en el origen, donde las fórmulas polares son más simples.

12 · Método de resolución

Elegir la técnica sin probar al azar

1. 1
   Revisá el dominio.

   Identificá desde qué región puede aproximarse la entrada y si el punto es de acumulación.

2. 2
   Sustituí.

   Si todas las operaciones son continuas y están definidas, el cálculo termina.

3. 3
   Simplificá la indeterminación.

   Factorizá, usá identidades o racionalizá dentro del entorno perforado.

4. 4
   Buscá una cota radial.

   Trabajá con |x|≤r, |y|≤r y desigualdades conocidas.

5. 5
   Pasá a polares si hay sumas de cuadrados.

   Separá la potencia de r del factor angular y verificá uniformidad.

6. 6
   Si persiste la dirección, probá no existencia.

   Formulá caminos candidatos; el tema siguiente desarrolla esta etapa.

7. 7
   Escribí la conclusión.

   Indicá el valor, la cota o teorema usado y por qué cubre todo el dominio cercano.

Es frecuente combinar técnicas. Una racionalización puede producir un cociente que después se acota, o una traslación puede preceder al cambio polar.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: error real y cota uniforme

Elegí una función, reducí el radio y cambiá la dirección. La curva coral muestra el error real para el ángulo seleccionado; la curva dorada es una cota válida para todos los ángulos. Si la cota tiende a cero, el límite queda controlado uniformemente.

El radio se controla en escala logarítmica. El gráfico usa log₁₀(r) en el eje horizontal y muestra magnitudes no negativas.

Preguntas para explorar

1. En el primer ejemplo, buscá los ángulos donde el error se acerca a la cota r/2.
2. Para x²y/(x²+y²), reducí r manteniendo θ y compará error y cota r.
3. En el ejemplo oscilatorio, mové lentamente r. ¿Por qué la cota sigue siendo estable?
4. En el cociente racionalizado, observá que el error respecto de 1/4 disminuye aproximadamente como r².
5. En el polinomio trasladado, comprobá que la sustitución predice L aunque el error dependa de θ.

14 · Implementación

Verificar cotas con JavaScript

Podemos muestrear ángulos para detectar errores en una cota propuesta. La verificación numérica no demuestra la desigualdad, pero sí puede encontrar contraejemplos.

function verificarCota(funcion, candidato, cota, radios, cantidadAngulos = 720) {
  const violaciones = [];

  for (const radio of radios) {
    for (let indice = 0; indice < cantidadAngulos; indice += 1) {
      const theta = 2 * Math.PI * indice / cantidadAngulos;
      const x = radio * Math.cos(theta);
      const y = radio * Math.sin(theta);
      const error = Math.abs(funcion(x, y) - candidato);
      const limiteSuperior = cota(radio);

      if (error > limiteSuperior + 1e-12) {
        violaciones.push({ radio, theta, error, limiteSuperior });
      }
    }
  }
  return violaciones;
}

const f = (x, y) => x * y / Math.hypot(x, y);
const fallos = verificarCota(f, 0, r => r / 2, [1, 0.1, 0.01]);
console.log(fallos.length); // 0

Evaluación estable tras racionalizar

function cocienteOriginal(x, y) {
  const s = x ** 2 + y ** 2;
  return (Math.sqrt(4 + s) - 2) / s;
}

function cocienteEstable(x, y) {
  const s = x ** 2 + y ** 2;
  if (s === 0) return 0.25; // extensión continua
  return 1 / (Math.sqrt(4 + s) + 2);
}

for (const radio of [1e-2, 1e-5, 1e-8]) {
  console.log(radio, cocienteOriginal(radio, 0), cocienteEstable(radio, 0));
}

Para radios extremadamente pequeños, la versión original puede devolver cero, infinito o un valor impreciso debido a la resta. La identidad racionalizada evita esa cancelación.

Construir una tabla radial

function tablaDeError(funcion, candidato, cota, theta) {
  return Array.from({ length: 7 }, (_, indice) => {
    const radio = 10 ** (-indice);
    const x = radio * Math.cos(theta);
    const y = radio * Math.sin(theta);
    const valor = funcion(x, y);
    return {
      radio,
      valor,
      error: Math.abs(valor - candidato),
      cota: cota(radio)
    };
  });
}

console.table(tablaDeError(
  (x, y) => x ** 2 * y / (x ** 2 + y ** 2),
  0,
  r => r,
  Math.PI / 3
));

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: sustitución

Calculá:

Ejercicio 2: factorización

Calculá:

Ejercicio 3: racionalización

Evaluá:

Ejercicio 4: acotación

Demostrá que:

Ejercicio 5: oscilación amortiguada

Sea r=√(x²+y²). Probá que r²cos(1/r³)→0 cuando (x,y)→(0,0) y elegí δ en función de ε.

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos límites por caminos y no existencia: aprenderemos a construir aproximaciones incompatibles cuando ninguna cota uniforme puede sostener un único valor.