Entornos, discos y puntos de acumulación

01 · Punto de partida

Convertir “estar cerca” en matemática

Para definir un límite necesitamos hablar de puntos arbitrariamente cercanos a una entrada objetivo. En el plano, “cerca” no significa estar a la izquierda o a la derecha, sino tener una distancia pequeña en cualquier dirección.

Los discos, bolas y entornos permiten describir esa cercanía sin enumerar trayectorias. A partir de ellos podemos responder preguntas fundamentales:

• ¿El punto está dentro de una región o sobre su frontera?
• ¿Existe un pequeño margen para movernos sin salir del conjunto?
• ¿Hay otros puntos del conjunto tan cerca como queramos?
• ¿El punto pertenece al conjunto o solamente es alcanzado por puntos de él?
• ¿Tiene sentido estudiar un límite de la función en ese punto?
• ¿Cómo aproximamos estas clasificaciones usando una grilla finita?

02 · Fundamento métrico

La distancia produce regiones de cercanía

Para puntos p=(a,b) y q=(x,y) de ℝ², la distancia euclídea es:

Esta distancia cumple propiedades esenciales:

• No negatividad: d(p,q)≥0.
• Identidad: d(p,q)=0 exactamente cuando p=q.
• Simetría: d(p,q)=d(q,p).
• Desigualdad triangular: d(p,r)≤d(p,q)+d(q,r).

La norma ||q−p|| mide el desplazamiento sin privilegiar una dirección. Por eso es adecuada para expresar aproximaciones multivariables.

Otras métricas

También pueden usarse |x−a|+|y−b| o max(|x−a|,|y−b|). Sus bolas tienen forma de rombo o cuadrado. En espacios finitos, estas métricas generan la misma noción de límite, aunque cambian la geometría de cada entorno concreto.

03 · Discos y bolas

Abiertos, cerrados y sus fronteras

El disco abierto de centro p y radio r>0 es:

Incluye todos los puntos estrictamente más cercanos que r y excluye la circunferencia exterior. El disco cerrado es:

La única diferencia es la frontera ||q−p||=r, pero esa diferencia resulta decisiva al clasificar conjuntos.

En ℝ³ usamos la misma definición y obtenemos una bola: su frontera es una esfera. En ℝⁿ, la fórmula sigue siendo ||q−p||<r, aunque ya no podamos visualizarla directamente.

04 · Entornos

Regiones que contienen un margen alrededor del punto

Un conjunto N es un entorno de p si contiene algún disco abierto centrado en p:

El entorno no necesita ser circular ni estar centrado visualmente en p. Puede ser un rectángulo, una región irregular o todo el plano; lo importante es que contenga un disco completo alrededor del punto.

Entorno relativo

Si trabajamos dentro de un conjunto A, un entorno relativo tiene la forma Br(p)∩A. Esta idea permite estudiar regiones como una curva, una superficie o el borde de un dominio usando la geometría que heredan del espacio ambiente.

Entorno perforado

Para analizar límites excluimos el centro:

La perforación expresa “cerca de p, pero distinto de p”. Por eso el límite puede existir aunque la función no esté definida en el punto.

05 · Clasificación local

Puntos interiores y exteriores

Sea A⊆ℝ².

Punto interior

p∈A y existe r>0 con Br(p)⊆A.

Punto exterior

Existe r>0 con Br(p)⊆ℝ²\A.

El conjunto de todos los puntos interiores se denota int(A) o A°. El exterior de A es el interior de su complemento.

Ejemplo: disco cerrado

Para A={(x,y):x²+y²≤4}:

• Los puntos con x²+y²<4 son interiores.
• Los puntos con x²+y²>4 son exteriores.
• Los puntos con x²+y²=4 no son interiores ni exteriores.

Un punto puede pertenecer a A sin ser interior. Eso ocurre precisamente en la frontera incluida de un conjunto cerrado.

06 · Frontera

Donde todo disco toca ambos lados

Un punto p está en la frontera de A si cada disco centrado en p contiene al menos un punto de A y al menos un punto que no pertenece a A:

La frontera se denota ∂A. Puede pertenecer al conjunto, quedar fuera de él o contener partes incluidas y partes excluidas. La frontera depende de A, no de cómo se dibuje.

07 · Propiedades globales

Conjuntos abiertos y cerrados

Un conjunto A es abierto si todos sus puntos son interiores. Es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación; equivalentemente, si su complemento es abierto.

“Abierto” y “cerrado” no son opuestos cotidianos. Un conjunto puede ser:

• Abierto pero no cerrado, como un disco abierto.
• Cerrado pero no abierto, como un disco cerrado.
• Ambos, como ∅ y ℝ².
• Ni abierto ni cerrado, como un disco al que se agrega un segmento exterior sin todos sus límites.

Operaciones

La unión arbitraria de abiertos es abierta y la intersección finita de abiertos es abierta. Para cerrados ocurre el patrón dual: la intersección arbitraria es cerrada y la unión finita es cerrada. Una intersección infinita de abiertos puede dejar de ser abierta; por ejemplo, los discos r<1/n se reducen al origen.

08 · Puntos de acumulación

Otros puntos de A aparecen arbitrariamente cerca

Un punto p es de acumulación de A si todo entorno perforado de p contiene algún punto de A:

El punto p no necesita pertenecer a A. Lo esencial es encontrar puntos de A distintos de p a cualquier escala.

Ejemplos

• Todo punto del disco abierto es de acumulación del disco.
• Cada punto de la circunferencia x²+y²=1 es de acumulación del disco abierto, aunque no pertenezca a él.
• El origen es de acumulación de {(1/n,0):n∈ℕ}, pero no pertenece al conjunto.
• El punto (1,0) pertenece a esa sucesión de puntos y es aislado, no de acumulación.

Por qué importa para los límites

Solo tiene sentido preguntar por el límite de una función restringida a su dominio cuando el punto objetivo es de acumulación de ese dominio. Si no hay entradas distintas arbitrariamente cercanas, la condición del límite queda sin comportamiento que describir.

09 · Puntos aislados

Pertenecer sin tener vecinos del conjunto

Un punto p∈A es aislado si existe un radio r>0 tal que:

Dentro de ese disco no aparece ningún otro punto de A. Por lo tanto, p no es punto de acumulación de A.

Conjuntos finitos

Todo punto de un conjunto finito de ℝ² es aislado. Podemos elegir un radio menor que la distancia al punto distinto más cercano. Un conjunto finito no tiene puntos de acumulación.

Una mezcla

Sea A={(x,y):x²+y²<1}∪{(3,0)}. Los puntos del disco y su circunferencia son puntos de acumulación; (3,0) pertenece a A pero es aislado. Esto muestra que un conjunto puede combinar una región continua con datos puntuales separados.

Datos discretos

En una nube de datos finita todos los puntos son matemáticamente aislados, aunque visualmente parezcan formar una superficie. Para hablar de densidad local en cómputo se fija una escala o radio mínimo; esa noción aproximada depende de la resolución.

10 · Clausura y adherencia

Completar un conjunto con sus puntos límite

Un punto p es adherente a A si todo disco centrado en p intersecta A. A diferencia de la acumulación, aquí se permite usar el propio punto p cuando pertenece a A.

La clausura de A, denotada Ā o cl(A), es el conjunto de todos sus puntos adherentes:

Aquí A′ denota el conjunto derivado, formado por los puntos de acumulación.

La clausura es el menor conjunto cerrado que contiene A. Cerrar un disco abierto agrega su circunferencia; cerrar un conjunto que ya es cerrado no produce cambios.

11 · Caracterización secuencial

Detectar acumulación con sucesiones

En ℝ², p es punto de acumulación de A si y solo si existe una sucesión de puntos de A, todos distintos de p, que converge a p:

Esta caracterización conecta la geometría de los entornos con listas concretas de aproximaciones.

Ejemplo

En A={(1/n,1/n²):n∈ℕ}, elegimos pn=(1/n,1/n²). Entonces:

El origen es punto de acumulación aunque no pertenezca a A. Cada punto concreto de A es aislado porque tiene distancia positiva a los demás puntos.

Conjuntos cerrados y sucesiones

Un conjunto A es cerrado si toda sucesión convergente de puntos de A tiene su límite en A. Esta formulación es especialmente útil en algoritmos iterativos: si todos los estados son factibles y el conjunto factible es cerrado, un límite de esos estados seguirá siendo factible.

12 · Dominios de funciones

Clasificar las regiones donde calculamos

Las restricciones algebraicas producen dominios con diferentes propiedades topológicas.

Para estudiar el límite de √(1−x²−y²) en un punto de la circunferencia, usamos aproximaciones desde dentro del dominio. No exigimos puntos exteriores donde la función real no está definida.

Esta observación conduce a límites relativos al dominio. El entorno se intersecta con el dominio y se excluye el punto objetivo, pero deben quedar puntos arbitrariamente cercanos.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: clasificar un punto y su entorno

Elegí un conjunto, ubicá el punto p y ajustá ε. La región violeta representa el conjunto, el círculo dorado es Bε(p) y el resultado distingue pertenencia, interior, frontera, exterior, acumulación o aislamiento.

La vista abarca de −4 a 4 en ambos ejes. Las decisiones exactas usan las ecuaciones del conjunto; la grilla coloreada es solamente su representación visual.

Preguntas para explorar

1. En el disco abierto, colocá p sobre (2,0). ¿Pertenece? ¿Es de acumulación?
2. Repetí el punto en el disco cerrado. ¿Qué clasificación cambia y cuál se conserva?
3. En el disco perforado, ubicá p en el origen y reducí ε.
4. En el anillo, compará puntos sobre las dos circunferencias de frontera.
5. En “disco más punto aislado”, elegí p=(3,0). ¿Existe un entorno perforado que no toque A?
6. Para un punto interior, aumentá ε hasta que el disco cruce la frontera. El punto no cambia de tipo aunque ese ε concreto sea demasiado grande.

14 · Implementación

Representar discos y clasificar muestras

Una función de pertenencia traduce la definición algebraica a un predicado booleano:

function perteneceAlDiscoAbierto(x, y, centro, radio) {
  if (![x, y, centro.x, centro.y, radio].every(Number.isFinite)
      || radio <= 0) {
    throw new RangeError("Datos geométricos inválidos");
  }

  return Math.hypot(x - centro.x, y - centro.y) < radio;
}

const centro = { x: 1, y: -2 };
console.log(perteneceAlDiscoAbierto(1, -2, centro, 3)); // true
console.log(perteneceAlDiscoAbierto(4, -2, centro, 3)); // false: frontera

Generar puntos de un entorno perforado

function muestrearEntornoPerforado(centro, radio, anillos = 8, rayos = 32) {
  const puntos = [];
  for (let anillo = 1; anillo <= anillos; anillo += 1) {
    const distancia = radio * anillo / (anillos + 1);
    for (let indice = 0; indice < rayos; indice += 1) {
      const angulo = 2 * Math.PI * indice / rayos;
      puntos.push({
        x: centro.x + distancia * Math.cos(angulo),
        y: centro.y + distancia * Math.sin(angulo)
      });
    }
  }
  return puntos;
}

console.log(muestrearEntornoPerforado({ x: 0, y: 0 }, 1).length);
// 8 anillos × 32 rayos = 256 puntos; el centro no se incluye

Una prueba numérica aproximada

Con datos discretos no podemos comprobar “para todo radio”. Podemos buscar evidencia a varias escalas:

function evidenciaDeAcumulacion(punto, muestras, radios) {
  return radios.map(radio => {
    const vecinos = muestras.filter(muestra => {
      const distancia = Math.hypot(muestra.x - punto.x, muestra.y - punto.y);
      return distancia > 0 && distancia < radio;
    });
    return { radio, cantidadDeVecinos: vecinos.length };
  });
}

const muestras = [
  { x: 1, y: 0 }, { x: 0.5, y: 0 },
  { x: 0.25, y: 0 }, { x: 0.125, y: 0 }
];
console.log(evidenciaDeAcumulacion(
  { x: 0, y: 0 },
  muestras,
  [1, 0.5, 0.25]
));

Que haya vecinos en todos los radios probados sugiere acumulación, pero una lista finita siempre tiene una distancia mínima positiva al punto si este no está incluido. La acumulación es una propiedad del conjunto matemático subyacente, no de una muestra finita.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: disco y entorno

Sea A=B3((1,−1)).

1. Escribí A mediante una desigualdad cartesiana.
2. Decidí si (1,2) pertenece a A.
3. ¿Es A un entorno de (0,0)?
4. Encontrá un radio de un disco centrado en (0,0) contenido en A.

Ejercicio 2: interior y frontera

Para A={(x,y):1≤x²+y²<9}, determiná interior, frontera, exterior y clausura.

Ejercicio 3: acumulación y aislamiento

Sea A={(1/n,0):n∈ℕ}∪{(0,2)}.

1. Identificá sus puntos de acumulación.
2. ¿Cuáles de sus puntos son aislados?
3. ¿Es A cerrado?

Ejercicio 4: abierto, cerrado o ninguno

Clasificá los siguientes subconjuntos de ℝ²:

1. {(x,y):x>0, y>0}
2. {(x,y):x=0}
3. {(x,y):0<x²+y²≤1}
4. ∅

Ejercicio 5: dominio y punto de acumulación

Considerá f(x,y)=1/√(4−x²−y²).

1. Determiná el dominio.
2. ¿Es abierto o cerrado?
3. ¿Los puntos de la circunferencia de radio 2 son puntos de acumulación del dominio?
4. ¿Puede estudiarse un límite relativo al dominio en esos puntos?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos cálculo de límites multivariables: aplicaremos sustitución, álgebra, acotaciones y coordenadas polares sobre los entornos definidos aquí.