La idea de límite en varias variables

01 · Punto de partida

Acercarse sin llegar

Un límite describe el comportamiento de una función cerca de un punto. No pregunta primero qué vale la función exactamente allí, sino hacia qué valor tienden sus salidas cuando las entradas se aproximan cada vez más.

En una variable, podemos acercarnos a a principalmente desde la izquierda o desde la derecha. En dos variables, para aproximarnos a (a,b) podemos avanzar por rectas con cualquier pendiente, curvas, espirales o secuencias de puntos aparentemente irregulares. Esa diversidad es la dificultad central.

La notación

expresa que podemos hacer f(x,y) tan cercana a L como deseemos tomando (x,y) suficientemente cerca de (a,b), sin exigir que la entrada coincida con el punto.

02 · De una variable a varias

Qué cambia al agregar dimensiones

Las dos ideas comparten el mismo objetivo: controlar la salida en una zona perforada alrededor del punto. Lo que cambia es la geometría de esa zona. En ℝ² no alcanza con revisar dos lados.

Un ejemplo continuo

Para f(x,y)=x²+y², cuando (x,y) se acerca a (0,0), ambas coordenadas se hacen pequeñas y su suma de cuadrados tiende a cero. No importa si avanzamos por el eje x, una diagonal, una parábola o una espiral:

Un contraste

Para g(x,y)=xy/(x²+y²), definida fuera del origen, sobre el eje x vale 0, pero sobre la recta y=x vale 1/2. Como dos aproximaciones producen resultados incompatibles, el límite conjunto no existe.

03 · Leer la notación

Punto objetivo, salida candidata y dominio

En lim(x,y)→(a,b) f(x,y)=L intervienen tres objetos diferentes:

Entrada variable (x,y)

Se mueve por puntos del dominio cercanos al objetivo.

Punto objetivo (a,b)

Es el lugar al que se aproxima la entrada. Puede pertenecer o no al dominio.

Salida f(x,y)

Cambia a medida que se mueve la entrada.

Valor límite L

Es el número al que deben aproximarse todas las salidas cercanas.

La flecha no significa que x e y deban variar a la misma velocidad. Solo exige que la distancia desde (x,y) hasta (a,b) tienda a cero:

Podría ocurrir, por ejemplo, que x−a=t mientras y−b=t², o que ambas diferencias oscilen. La definición conjunta debe cubrir todos esos casos.

04 · Límite y evaluación

El valor en el punto no decide el límite

Un límite observa entradas cercanas pero distintas del punto objetivo. Por eso, f(a,b) puede coincidir con L, diferir de L o no estar definido.

Redefinir una discontinuidad removible

Si una función no está definida en (a,b) pero su límite es L, podemos extenderla asignando f(a,b)=L. Así se obtiene una función continua en el punto. Esta operación modifica un único valor, no el comportamiento circundante.

05 · Infinitos acercamientos

Direcciones y trayectorias

Un camino hacia (a,b) puede describirse mediante una parametrización γ(t)=(x(t),y(t)) tal que γ(t)→(a,b). Al componer obtenemos una función de una variable: f(γ(t)).

Algunos caminos típicos hacia el origen son:

• Eje x: γ(t)=(t,0).
• Recta de pendiente m: γ(t)=(t,mt).
• Parábola: γ(t)=(t,t²).
• Curva cúbica: γ(t)=(t,t³).
• Espiral: γ(t)=(t cos(1/t),t sen(1/t)) para t>0.

Si el límite conjunto existe, la composición debe tender a L por cada camino admisible. Por lo tanto, encontrar dos caminos con límites diferentes demuestra que el límite no existe.

06 · Cercanía geométrica

La distancia controla la aproximación

En lugar de enumerar direcciones, medimos qué tan lejos está la entrada del punto objetivo. La distancia euclídea es:

Los puntos a distancia menor que δ forman un disco abierto de radio δ. Para estudiar el límite excluimos el centro y trabajamos en un entorno perforado:

Esta condición incluye simultáneamente todas las direcciones. Si podemos controlar la salida usando únicamente la distancia, evitamos revisar una cantidad infinita de caminos por separado.

Ejemplo radial

Para f(x,y)=x²+y² cerca del origen, si llamamos r=√(x²+y²), entonces |f(x,y)−0|=r². Cuando r disminuye, el error de salida disminuye cuadráticamente, sin depender del ángulo.

El próximo tema formalizará discos, entornos y puntos de acumulación. Aquí basta retener que “acercarse” significa reducir la distancia, no seguir una trayectoria específica.

07 · Definición anticipada

Controlar la salida con ε y δ

La afirmación lim(x,y)→(a,b) f(x,y)=L significa formalmente:

El número ε expresa la tolerancia deseada en la salida. Debemos responder con un radio δ en el dominio que garantice esa tolerancia para todos los puntos del entorno perforado.

Ejemplo exacto

Queremos probar que x²+y²→0 cuando (x,y)→(0,0). Si √(x²+y²)<δ, entonces:

Para lograr un error menor que ε, alcanza elegir δ=√ε. La misma elección controla todos los puntos del disco, no solo los ubicados sobre ciertas rectas.

08 · Existencia y unicidad

Un límite, si existe, es único

Una función no puede aproximarse simultáneamente a dos números distintos bajo la definición conjunta. Si L y M fueran límites con L≠M, podríamos elegir tolerancias tan pequeñas que los intervalos alrededor de ambos no se superpusieran. Una misma salida cercana no podría pertenecer a los dos.

Existencia

La existencia exige coherencia en todo el entorno. Algunas causas de no existencia son:

• Dos trayectorias producen valores límite diferentes.
• Las salidas oscilan sin acercarse a ningún número.
• La magnitud crece sin cota y se pretende un límite real finito.
• El dominio no contiene puntos arbitrariamente cercanos al objetivo.

Límites infinitos

Decir que f(x,y)→+∞ expresa que la salida supera cualquier cota positiva al acercarnos suficientemente. No significa que infinito sea un número real ni un valor que la función “alcance”. Por ejemplo:

La distancia radial hace que el denominador tienda a cero por valores positivos desde cualquier dirección.

09 · Orden de aproximación

Límites iterados y límite conjunto

Un límite iterado aproxima primero una variable mientras mantiene fija la otra, y después aproxima la variable restante:

Este proceso recorre un conjunto muy particular de acercamientos. No es equivalente, en general, al límite conjunto donde x e y varían simultáneamente.

Un contraejemplo importante

Para f(x,y)=xy/(x²+y²) fuera del origen:

• Si fijamos x y hacemos y→0, el resultado es 0; después x→0 sigue dando 0.
• En el orden inverso sucede lo mismo: ambos límites iterados valen 0.
• Sin embargo, sobre y=x la función vale 1/2.

Así, incluso la existencia y coincidencia de ambos límites iterados no garantiza el límite conjunto. Si el límite conjunto existe y las operaciones iteradas están bien definidas bajo condiciones apropiadas, deben ser compatibles con él.

10 · Perspectiva secuencial

Aproximarse mediante listas de puntos

Otra forma de expresar la idea de límite usa sucesiones. Consideramos cualquier lista de puntos (xn,yn) del dominio, distintos del objetivo, cuya distancia a (a,b) tienda a cero.

El límite de f es L exactamente cuando, para toda sucesión de ese tipo:

Esta caracterización convierte la aproximación espacial en una sucesión de salidas. También revela la misma asimetría de los caminos:

• Dos sucesiones con límites de salida diferentes refutan el límite.
• Probar unas pocas sucesiones no cubre todas las posibilidades.
• Una demostración de existencia debe controlar cualquier sucesión admisible.

Ejemplo

Para f(x,y)=xy/(x²+y²), tomemos (xn,yn)=(1/n,0): las salidas valen 0. Con (1/n,1/n), las salidas valen 1/2. Ambas entradas tienden al origen, pero las imágenes no coinciden.

11 · Lectura geométrica y numérica

Qué evidencia aporta una visualización

En la gráfica z=f(x,y), un límite finito L sugiere que la superficie se aproxima a la altura L cerca de (a,b), aunque pueda existir un hueco o un punto dibujado a otra altura.

También podemos observar curvas de nivel o muestrear circunferencias cada vez más pequeñas alrededor del objetivo. Si el máximo y el mínimo de las muestras convergen al mismo número, obtenemos evidencia favorable.

12 · Patrones representativos

Cuatro comportamientos cerca del origen

Dependencia radial

Si una función cerca del origen puede escribirse como F(r), con r=√(x²+y²), todas las direcciones comparten el mismo comportamiento radial. Esto reduce el análisis a una variable, aunque todavía debemos estudiar qué ocurre cuando r→0⁺.

Dependencia angular

En polares, xy/(x²+y²)=cosθ senθ. El radio desaparece, por lo que acercarnos no reduce la variación angular. Distintos θ conservan valores diferentes incluso cuando r es arbitrariamente pequeño.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: acercarse desde cualquier ángulo

Elegí una función, reducí el radio y cambiá el ángulo. El panel izquierdo muestra la entrada en el dominio; el derecho muestra cómo evoluciona la salida a lo largo de esa dirección. El rango angular compara muestras tomadas sobre una circunferencia completa.

El control de radio usa una escala logarítmica: moverlo hacia la izquierda permite acercarse mucho al origen sin alcanzar r=0. El rango angular se estima con 180 direcciones.

Preguntas para explorar

1. En x²+y², verificá que cambiar θ no modifica la salida y que reducir r reduce r².
2. En sen(r)/r, observá cómo las salidas se aproximan a 1 aunque la fórmula no esté definida en r=0.
3. En xy/(x²+y²), reducí el radio sin cambiar el ángulo. Después cambiá θ. ¿Qué magnitud no disminuye?
4. En sen(1/r), mové muy lentamente el radio cerca del extremo izquierdo.
5. En 1/(x²+y²), comprobá que todas las direcciones coinciden aunque la salida no tenga límite real finito.

14 · Experimentación numérica

Muestrear un entorno con JavaScript

Una exploración útil toma varios radios y ángulos, evalúa la función y resume el rango de salidas. El código siguiente no demuestra un límite, pero ayuda a detectar dependencia angular.

function muestrearCirculo(funcion, radio, cantidad = 360) {
  if (!(radio > 0) || !Number.isInteger(cantidad) || cantidad < 4) {
    throw new RangeError("Radio y cantidad inválidos");
  }

  const valores = [];
  for (let indice = 0; indice < cantidad; indice += 1) {
    const angulo = 2 * Math.PI * indice / cantidad;
    const x = radio * Math.cos(angulo);
    const y = radio * Math.sin(angulo);
    const valor = funcion(x, y);
    if (Number.isFinite(valor)) valores.push(valor);
  }

  return {
    minimo: Math.min(...valores),
    maximo: Math.max(...valores),
    dispersion: Math.max(...valores) - Math.min(...valores)
  };
}

const cuenco = (x, y) => x ** 2 + y ** 2;
const direccional = (x, y) => x * y / (x ** 2 + y ** 2);

console.log(muestrearCirculo(cuenco, 0.01));
console.log(muestrearCirculo(direccional, 0.01));

Para el cuenco, mínimo y máximo son aproximadamente 0.0001. Para la función direccional permanecen cerca de −0.5 y 0.5, sin importar cuánto reduzcamos el radio.

Comparar varios radios

function explorarLimite(funcion, radios, angulos = 180) {
  return radios.map(radio => ({
    radio,
    ...muestrearCirculo(funcion, radio, angulos)
  }));
}

const radios = [1, 0.1, 0.01, 0.001];
console.table(explorarLimite(
  (x, y) => Math.sin(Math.hypot(x, y)) / Math.hypot(x, y),
  radios
));

Debemos evitar evaluar exactamente el punto excluido y distinguir un desbordamiento numérico de un comportamiento matemático. Cerca de cero también puede haber cancelación y pérdida de precisión.

Buscar discrepancias entre direcciones

function valoresPorDireccion(funcion, radio, grados) {
  return grados.map(grado => {
    const angulo = grado * Math.PI / 180;
    const x = radio * Math.cos(angulo);
    const y = radio * Math.sin(angulo);
    return { grado, valor: funcion(x, y) };
  });
}

const f = (x, y) => x * y / (x ** 2 + y ** 2);
console.log(valoresPorDireccion(f, 1e-6, [0, 45, 90, 135]));
// Valores aproximados: 0, 0.5, 0, -0.5

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: límite y valor puntual

Sea

Analizá el límite cuando (x,y)→(0,0) y comparalo con f(0,0).

Ejercicio 2: dos caminos

Estudiá g(x,y)=(x²−y²)/(x²+y²) cerca del origen usando los ejes coordenados.

Ejercicio 3: control por distancia

Demostrá con ε y δ que lim(x,y)→(0,0) √(x²+y²)=0.

Ejercicio 4: límites iterados

Para h(x,y)=xy/(x²+y²), calculá ambos límites iterados en el origen y explicá por qué no resuelven el límite conjunto.

Ejercicio 5: diseñar un muestreo

Escribí una función que evalúe otra función sobre los radios 10⁰,10⁻¹,…,10⁻⁶ en una dirección dada y devuelva los errores respecto de un candidato L.

function erroresRadiales(funcion, angulo, candidato, maxExponente = 6) {
  return Array.from({ length: maxExponente + 1 }, (_, exponente) => {
    const radio = 10 ** (-exponente);
    const x = radio * Math.cos(angulo);
    const y = radio * Math.sin(angulo);
    const valor = funcion(x, y);
    return { radio, valor, error: Math.abs(valor - candidato) };
  });
}

console.table(erroresRadiales(
  (x, y) => x ** 2 + y ** 2,
  Math.PI / 3,
  0
));

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formalizaremos entornos, discos y puntos de acumulación, el lenguaje geométrico necesario para precisar dónde y cómo puede estudiarse un límite.