Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas

01 · Punto de partida

El mismo punto, otras coordenadas

En coordenadas cartesianas describimos un punto del plano mediante desplazamientos horizontales y verticales: (x,y). Esta descripción funciona para cualquier punto, pero no siempre refleja la geometría del problema. Si una figura gira alrededor del origen, puede ser más natural indicar una distancia y un ángulo.

Cambiar de coordenadas no mueve el punto ni altera el objeto matemático. Cambia el lenguaje con el que lo describimos. Una circunferencia que en cartesianas satisface x²+y²=R² se reduce en polares a r=R.

Elegir un sistema apropiado permite:

• Hacer visibles simetrías que una ecuación cartesiana oculta.
• Describir circunferencias, cilindros y esferas con condiciones simples.
• Parametrizar posiciones, cámaras, órbitas y movimientos de rotación.
• Definir regiones curvas mediante límites constantes.
• Simplificar integrales y modelos físicos en temas posteriores.
• Reducir errores numéricos al trabajar con magnitudes y orientaciones.

02 · Marco conceptual

Un sistema es una regla para localizar

Un sistema de coordenadas asigna números a posiciones mediante referencias geométricas. Las coordenadas cartesianas usan ejes perpendiculares fijos. Los sistemas curvilíneos combinan distancias y ángulos, y sus líneas coordenadas pueden ser rectas, circunferencias o esferas.

Las letras son convenciones, no leyes universales. Algunos textos intercambian θ y φ en coordenadas esféricas. Por eso, una implementación o una fórmula debe declarar siempre qué mide cada ángulo.

03 · Coordenadas polares

Distancia r y ángulo θ

Un punto del plano se representa mediante (r,θ):

Radio r

Distancia dirigida desde el origen. En la representación principal tomamos r≥0.

Ángulo θ

Giro desde el semieje x positivo, en sentido antihorario cuando es positivo.

Las ecuaciones de conversión a cartesianas son:

El punto polar (2,π/3) queda a dos unidades del origen y forma 60° con el eje x positivo:

Líneas coordenadas

• Si fijamos r=R, obtenemos una circunferencia centrada en el origen.
• Si fijamos θ=α, obtenemos una semirrecta que parte del origen.
• Variar r recorre una dirección radial; variar θ gira alrededor del origen.

La grilla polar está formada por circunferencias concéntricas y rayos. A diferencia de la grilla cartesiana, la distancia física correspondiente a un cambio angular depende del radio.

04 · Conversión inversa

De cartesianas a polares

Al elevar al cuadrado y sumar las ecuaciones x=r cosθ e y=r senθ, obtenemos:

Para el ángulo no basta con calcular arctan(y/x). Ese cociente pierde información sobre el cuadrante y falla cuando x=0. En programación usamos una función de dos argumentos:

Math.atan2(y,x) devuelve normalmente un ángulo en (−π,π]. Si preferimos el intervalo [0,2π), sumamos 2π a los resultados negativos.

05 · Representaciones equivalentes

Las coordenadas polares no son únicas

Sumar una vuelta completa no cambia la dirección:

Si admitimos radios negativos, cambiar el signo de r y girar media vuelta también conserva el punto:

Por ejemplo, (2,π/6), (2,13π/6) y (−2,7π/6) describen la misma posición.

La singularidad del origen

En el origen r=0, cualquier ángulo produce x=y=0. La dirección no está determinada. Una función de conversión necesita adoptar una convención —por ejemplo, devolver θ=0— o señalar que el ángulo carece de significado.

Representación principal

Para obtener una salida consistente solemos elegir r≥0 y restringir θ a un intervalo de longitud 2π, como [0,2π). Esta normalización no elimina la singularidad del origen ni la discontinuidad angular sobre el corte elegido.

06 · Ecuaciones en el plano

Curvas que se simplifican en polares

Para transformar una ecuación podemos sustituir x=r cosθ, y=r senθ y x²+y²=r². No siempre conviene despejar r; una relación implícita polar también puede ser útil.

Ejemplo de transformación

Partimos de x²+y²=4x. Al sustituir:

Para r≠0, resulta r=4cosθ. El origen también pertenece a la ecuación original y está incluido cuando el radio se anula. La curva es una circunferencia de centro (2,0) y radio 2.

07 · Describir regiones

Discos, anillos y sectores

Las regiones con fronteras circulares se expresan con gran claridad en polares.

Disco de radio R

0≤r≤R y una vuelta completa para θ.

Anillo

a≤r≤b, con 0≤a<b.

Sector

0≤r≤R y α≤θ≤β.

Región entre curvas

rinterior(θ)≤r≤rexterior(θ).

Para describir el cuarto de disco x²+y²≤9 ubicado en el primer cuadrante usamos:

En cartesianas, la misma región requiere combinar 0≤x≤3 con 0≤y≤√(9−x²). Ambas descripciones son correctas, pero la polar refleja mejor la frontera circular.

El factor de escala angular

Un pequeño cambio radial dr mide aproximadamente lo mismo en cualquier lugar. En cambio, un cambio angular dθ recorre un arco de longitud aproximada r dθ. Por eso, una pequeña celda polar tiene área aproximada:

Este factor r será fundamental al estudiar cambios de variables e integrales polares.

08 · Coordenadas cilíndricas

Una grilla polar con altura

Las coordenadas cilíndricas (r,θ,z) conservan la coordenada vertical cartesiana y reemplazan (x,y) por polares:

La conversión inversa utiliza:

La coordenada r mide la distancia al eje z, no la distancia al origen tridimensional. El punto cilíndrico (2,π/2,3) corresponde a (0,2,3).

Superficies coordenadas

• r=R es un cilindro circular vertical.
• θ=α es un semiplano vertical que contiene al eje z.
• z=c es un plano horizontal.

Estas tres familias se intersectan para localizar un punto. El sistema es especialmente útil cuando el objeto permanece igual al rotarlo alrededor del eje z.

09 · Simetría axial

Superficies en coordenadas cilíndricas

Una ecuación independiente de θ describe una figura con simetría de rotación alrededor del eje z. Cada punto puede girarse sin abandonar la superficie.

Una región cilíndrica de radio 2 y altura entre −1 y 4 queda:

El pequeño volumen asociado a incrementos dr, dθ y dz es dV=r dr dθ dz. El factor r proviene nuevamente de la longitud del arco angular.

10 · Coordenadas esféricas

Una distancia y dos ángulos

Las coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) describen un punto mediante:

Radio ρ

Distancia desde el origen, con ρ≥0.

Acimut θ

Ángulo de la proyección en xy, medido desde x positivo.

Ángulo polar φ

Ángulo desde el eje z positivo, con 0≤φ≤π.

Proyección horizontal

Tiene radio cilíndrico r=ρ senφ.

Con esta convención, la conversión a cartesianas es:

Podemos entenderla en dos etapas. Primero, la distancia ρ se descompone en radio horizontal r=ρsenφ y altura z=ρcosφ. Luego convertimos el par polar (r,θ) a x e y.

Valores notables de φ

• φ=0: semieje z positivo.
• φ=π/2: plano xy.
• φ=π: semieje z negativo.

11 · Conversión tridimensional

De cartesianas a esféricas

Para un punto (x,y,z) calculamos:

Cuando ρ>0, también puede usarse φ=arccos(z/ρ). La forma con atan2 evita ciertos problemas numéricos y expresa directamente la relación entre el radio horizontal y la altura.

Ejemplo

Para (x,y,z)=(1,1,√2):

• ρ=√(1+1+2)=2.
• θ=atan2(1,1)=π/4.
• El radio horizontal es √2 y φ=atan2(√2,√2)=π/4.

Por lo tanto, una representación esférica principal es (2,π/4,π/4).

Singularidades

En el origen, tanto θ como φ quedan indeterminados. Sobre el eje z, θ queda indeterminado porque la proyección horizontal es el origen. Estas singularidades son propias de las coordenadas; el espacio físico no tiene una falla allí.

12 · Simetría radial

Superficies y regiones esféricas

Las superficies coordenadas muestran el significado geométrico de cada variable:

• ρ=R es una esfera centrada en el origen.
• θ=α es un semiplano vertical alrededor del eje z.
• φ=β es un cono con vértice en el origen; los casos 0 y π degeneran en semiejes.

Una pequeña celda esférica tiene lados aproximados dρ, ρsenφ dθ y ρ dφ. Por eso su volumen es:

El factor senφ se anula en los polos porque allí todos los valores de θ convergen en el mismo eje.

13 · Estrategia y aplicaciones

Elegir el sistema adecuado

No existe un sistema universalmente superior. Conviene buscar qué cantidades permanecen constantes y qué simetrías tiene el problema.

Una guía práctica

1. 1
   Identificá la simetría.

   Preguntá si el objeto es invariante al girar alrededor de un punto o de un eje.

2. 2
   Transformá las fronteras.

   El mejor sistema suele convertirlas en coordenadas constantes.

3. 3
   Revisá el integrando o algoritmo.

   Una región simple no compensa siempre una expresión mucho más complicada.

4. 4
   Declará ángulos e intervalos.

   Especificá unidades, convención y representación principal.

5. 5
   Tratá las singularidades.

   Definí qué hará el programa en el origen, los polos y el corte angular.

14 · Exploración interactiva

Laboratorio: una posición, tres sistemas

Elegí el sistema y modificá sus coordenadas. El punto coral muestra la posición cartesiana; las líneas auxiliares representan el radio, la proyección horizontal y la altura. Los ángulos se controlan en grados y se convierten internamente a radianes.

Los ejes se proyectan sobre la pantalla. En los modos cilíndrico y esférico, una línea punteada une el punto con su proyección sobre el plano xy.

Preguntas para explorar

1. En polar, sumá una vuelta completa a θ. ¿Qué ocurre con la posición?
2. En cilíndricas, mantené r y θ y modificá z. ¿Qué trayectoria describe el punto?
3. En esféricas, fijá ρ y variá θ. ¿Sobre qué circunferencia se mueve?
4. Con φ=0°, cambiá θ. ¿Por qué el punto no se mueve?
5. Con φ=90°, compará las coordenadas esféricas con las polares.
6. Llevá el radio a cero y observá por qué los ángulos dejan de determinar una dirección única.

15 · Implementación y práctica

Conversiones robustas con JavaScript

Las funciones deben declarar que los ángulos están en radianes y normalizar las salidas cuando sea necesario.

const DOS_PI = 2 * Math.PI;

function normalizarAngulo(angulo) {
  if (!Number.isFinite(angulo)) return NaN;
  return ((angulo % DOS_PI) + DOS_PI) % DOS_PI;
}

function polarACartesiano(r, theta) {
  if (![r, theta].every(Number.isFinite) || r < 0) {
    throw new RangeError("Se requieren r ≥ 0 y un ángulo finito");
  }
  return { x: r * Math.cos(theta), y: r * Math.sin(theta) };
}

function cartesianoAPolar(x, y) {
  if (![x, y].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Las coordenadas deben ser finitas");
  }
  const r = Math.hypot(x, y);
  const theta = r === 0 ? 0 : normalizarAngulo(Math.atan2(y, x));
  return { r, theta, direccionDefinida: r !== 0 };
}

console.log(polarACartesiano(2, Math.PI / 3));
console.log(cartesianoAPolar(-1, 1));

Coordenadas cilíndricas

function cilindricoACartesiano(r, theta, z) {
  if (![r, theta, z].every(Number.isFinite) || r < 0) {
    throw new RangeError("Coordenadas cilíndricas inválidas");
  }
  return { x: r * Math.cos(theta), y: r * Math.sin(theta), z };
}

function cartesianoACilindrico(x, y, z) {
  if (![x, y, z].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Las coordenadas deben ser finitas");
  }
  const r = Math.hypot(x, y);
  return {
    r,
    theta: r === 0 ? 0 : normalizarAngulo(Math.atan2(y, x)),
    z,
    acimutDefinido: r !== 0
  };
}

console.log(cilindricoACartesiano(2, Math.PI / 2, 3));
// Aproximadamente { x: 0, y: 2, z: 3 }

Coordenadas esféricas

function esfericoACartesiano(rho, theta, phi) {
  if (![rho, theta, phi].every(Number.isFinite)
      || rho < 0 || phi < 0 || phi > Math.PI) {
    throw new RangeError("Coordenadas esféricas inválidas");
  }
  const radioHorizontal = rho * Math.sin(phi);
  return {
    x: radioHorizontal * Math.cos(theta),
    y: radioHorizontal * Math.sin(theta),
    z: rho * Math.cos(phi)
  };
}

function cartesianoAEsferico(x, y, z) {
  if (![x, y, z].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Las coordenadas deben ser finitas");
  }
  const radioHorizontal = Math.hypot(x, y);
  const rho = Math.hypot(radioHorizontal, z);
  return {
    rho,
    theta: radioHorizontal === 0 ? 0 : normalizarAngulo(Math.atan2(y, x)),
    phi: rho === 0 ? 0 : Math.atan2(radioHorizontal, z),
    acimutDefinido: radioHorizontal !== 0,
    direccionDefinida: rho !== 0
  };
}

console.log(cartesianoAEsferico(1, 1, Math.sqrt(2)));
// Aproximadamente { rho: 2, theta: π/4, phi: π/4, ... }

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: conversiones polares

Convertí a cartesianas (4,π/6), (3,π) y (2,−π/2). Luego convertí (−1,√3) a una representación polar principal.

Ejercicio 2: una región

Describí en polares el semianillo 1≤x²+y²≤9 situado por encima del eje x.

Ejercicio 3: coordenadas cilíndricas

Convertí (x,y,z)=(−√3,1,4) a cilíndricas y transformá x²+y²≤4, 0≤z≤5.

Ejercicio 4: coordenadas esféricas

Convertí (ρ,θ,φ)=(4,π/2,π/3) a cartesianas y describí la superficie ρ=4.

Ejercicio 5: detectar errores de implementación

Explicá qué problemas presenta theta = Math.atan(y / x) y proponé una versión que devuelva grados en [0,360).

function anguloEnGrados(x, y) {
  if (![x, y].every(Number.isFinite)) return NaN;
  if (x === 0 && y === 0) return null;

  const grados = Math.atan2(y, x) * 180 / Math.PI;
  return (grados + 360) % 360;
}

console.log(anguloEnGrados(-1, 1));  // 135
console.log(anguloEnGrados(0, -1));  // 270
console.log(anguloEnGrados(0, 0));   // null

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la idea de límite en varias variables. La distancia radial y las trayectorias angulares nos ayudarán a analizar qué ocurre al aproximarnos a un punto desde muchas direcciones.