Curvas y superficies de nivel

01 · Punto de partida

Recorrer sin cambiar de altura

En la gráfica z=f(x,y), cada punto del dominio se eleva hasta una altura. Ahora hacemos la pregunta inversa: dado un valor k, ¿qué entradas producen exactamente esa salida? La respuesta es un conjunto de nivel.

Si cortamos una superficie con el plano horizontal z=k, la intersección queda formada por puntos de altura constante. Al proyectarlos sobre el plano xy obtenemos una curva de nivel. Es la misma idea que usan las líneas de altitud de un mapa topográfico.

Esta representación permite estudiar una función sin depender de una perspectiva tridimensional:

• ¿Qué puntos comparten el mismo valor?
• ¿Dónde se encuentran máximos, mínimos, valles o crestas?
• ¿En qué regiones cambia más rápidamente la función?
• ¿Qué simetrías revela la familia de curvas?
• ¿Cómo reconstruimos mentalmente la superficie desde el plano?
• ¿Cómo puede una computadora aproximar las isolíneas a partir de muestras?

02 · Definición

Conjuntos y curvas de nivel

Sea f:D⊆ℝ²→ℝ y sea k un número real. El conjunto de nivel de valor k es:

Cuando ese conjunto tiene forma de curva lo llamamos curva de nivel. La palabra “curva” describe el caso habitual, pero el conjunto también puede ser vacío, un punto aislado, varias curvas separadas o incluso una región completa.

Ejemplo básico

Para f(x,y)=x²+y², imponer el nivel k da:

• Si k>0, el nivel es una circunferencia de radio √k.
• Si k=0, el nivel contiene solamente el origen.
• Si k<0, el conjunto es vacío porque una suma de cuadrados no puede ser negativa.

Por lo tanto, no alcanza con manipular la ecuación: también hay que comprobar si el valor elegido pertenece a la imagen de la función.

03 · Interpretación geométrica

Cortar, intersectar y proyectar

La gráfica de f está formada por puntos (x,y,f(x,y)). El plano horizontal z=k contiene todos los puntos cuya tercera coordenada es k. Un punto pertenece simultáneamente a la gráfica y al plano exactamente cuando f(x,y)=k.

Para un paraboloide, los cortes horizontales son circunferencias situadas a diferentes alturas. Su proyección produce circunferencias concéntricas. Para un plano inclinado, cada corte es una recta y el mapa de nivel contiene rectas paralelas.

Por qué dos niveles diferentes no se cruzan

Si un punto perteneciera a Ca y a Cb, debería cumplirse a la vez f(x,y)=a y f(x,y)=b. Esto es imposible cuando a≠b. Por eso, las curvas de niveles distintos de una función no se intersectan.

04 · Formas fundamentales

Reconocer familias de curvas

Resolver f(x,y)=k para varios valores permite reconocer una familia geométrica y anticipar la forma de la superficie.

Plano inclinado

Para f(x,y)=2x+y, despejar da y=k−2x. Todas las curvas tienen pendiente −2. Si elegimos niveles igualmente espaciados, las rectas también quedan igualmente separadas: la pendiente del plano es constante.

Paraboloide elíptico

En f(x,y)=x²+4y², los semiejes del nivel k>0 son √k en dirección x y √k/2 en dirección y. La superficie cambia más rápido al desplazarnos en y, por eso las elipses son más estrechas en esa dirección.

Superficie silla

En f(x,y)=x²−y², los niveles positivos abren hacia el eje x y los negativos hacia el eje y. El nivel cero se factoriza como (x−y)(x+y)=0 y está formado por las rectas y=x e y=−x. El cambio de orientación revela el comportamiento de silla.

05 · Más allá de una sola curva

Niveles vacíos, aislados y desconectados

La definición de conjunto de nivel es más general que la imagen intuitiva de una línea cerrada.

Vacío

f(x,y)=k no tiene solución en el dominio. Por ejemplo, el nivel −1 de x²+y².

Punto aislado

El nivel 0 de x²+y² es solamente (0,0).

Varias componentes

Una ecuación puede producir ramas separadas, como las hipérbolas.

Región completa

Si una función es constante en una zona, todos los puntos de esa zona pertenecen al mismo nivel.

Todo el dominio

Para f(x,y)=7, el nivel 7 coincide con el dominio y los demás son vacíos.

También importa el dominio original. Para f(x,y)=ln(x²+y²), las curvas son circunferencias x²+y²=e^k, pero el origen no pertenece al dominio. Para f(x,y)=√(4−x²−y²), solo existen niveles 0≤k≤2.

06 · Interpretar contornos

Qué cuenta un mapa de nivel

Un mapa de contorno dibuja varias curvas Ck en el mismo plano y rotula el valor de cada una. Para leerlo correctamente hay que combinar la forma, el orden de las etiquetas y la distancia entre líneas.

Orden de los valores

Curvas cerradas con valores que aumentan hacia el centro suelen indicar una colina; si disminuyen, suelen indicar una depresión. Sin etiquetas, ambas situaciones pueden tener exactamente el mismo dibujo.

Separación y rapidez de cambio

Supongamos niveles separados por un incremento fijo Δk. Si dos curvas consecutivas están muy próximas, la función cambia ese valor en poca distancia horizontal: la superficie es empinada. Si están alejadas, el cambio ocurre gradualmente.

Estimar entre curvas

Si un punto queda entre los niveles 4 y 6, sabemos que su valor suele estar entre ambos si la función es continua en la región. Estimar 5 por estar “a mitad de camino” supone además que el cambio es aproximadamente lineal; no es una conclusión exacta.

07 · Del plano al espacio

Reconstruir una superficie mentalmente

Para imaginar la forma tridimensional a partir de un mapa conviene seguir una secuencia:

1. 1
   Leer las etiquetas.

   Determiná en qué dirección aumentan y disminuyen los valores.

2. 2
   Identificar la forma.

   Rectas, circunferencias, elipses o hipérbolas sugieren familias conocidas.

3. 3
   Comparar separaciones.

   Detectá regiones suaves y empinadas con niveles igualmente espaciados.

4. 4
   Buscar componentes y simetrías.

   Observá centros, ejes, repeticiones, valles y posibles sillas.

5. 5
   Comprobar el dominio.

   Huecos o fronteras pueden pertenecer a la función o ser solo límites del dibujo.

Lo que el mapa no determina por sí solo

Un conjunto de líneas sin valores no determina alturas. Además, dos funciones pueden compartir algunas curvas seleccionadas y diferir entre ellas. Incluso todos los conjuntos de nivel pueden conservar su geometría si aplicamos una transformación estrictamente creciente a las salidas: g(x,y)=φ(f(x,y)). Las curvas serán las mismas, aunque sus etiquetas cambien.

Por ejemplo, f=x²+y² y g=(x²+y²)² tienen circunferencias concéntricas como niveles, pero la rapidez con la que crecen sus valores es diferente.

08 · Una dimensión más

Superficies de nivel en ℝ³

Si F:D⊆ℝ³→ℝ recibe tres coordenadas, el conjunto

suele ser una superficie. Ya no necesitamos introducir un cuarto eje para estudiarla: trabajamos directamente con la ecuación implícita F(x,y,z)=k.

En física, F puede representar temperatura o presión en cada punto del espacio. Una superficie de nivel reúne puntos con igual temperatura —una isoterma espacial— o igual presión —una superficie isobárica—.

09 · Aplicaciones

La misma idea en distintos dominios

Las curvas y superficies de nivel aparecen cada vez que interesa localizar un valor constante dentro de un campo escalar.

Topografía

Las curvas unen posiciones con igual altitud; su separación indica la inclinación del terreno.

Meteorología

Isobaras e isotermas conectan puntos de igual presión o temperatura.

Imágenes médicas

Una isosuperficie delimita tejidos cuyo valor de densidad supera o coincide con un umbral.

Visión y gráficos

Los campos de distancia firmada describen bordes con el nivel cero y superficies 3D mediante isosuperficies.

Optimización

Las curvas de igual costo permiten observar valles, anisotropía y trayectorias de descenso.

Datos geográficos

Mapas de concentración, población o contaminación resumen un campo muestreado sobre una región.

En todos estos casos es esencial indicar unidades, intervalo entre niveles, procedencia de los datos y método de interpolación. Una isolínea calculada a partir de muestras es una estimación, no una medición continua.

10 · Representación computacional

De una grilla a las isolíneas

Una computadora suele conocer los valores de la función solo en una grilla finita. Para aproximar el nivel k, examina cada celda y busca aristas cuyos extremos queden a lados opuestos del nivel.

Interpolación sobre una arista

Si una arista va de un punto con valor v₀ a otro con valor v₁, estimamos la posición del cruce mediante:

El punto interpolado es P(t)=P₀+t(P₁−P₀). El método supone variación lineal dentro de la arista. Una grilla más densa suele mejorar la aproximación, pero aumenta el costo.

Marching Squares

El algoritmo clásico para contornos en una grilla bidimensional clasifica los cuatro vértices de cada celda como menores o mayores que k. Existen 16 configuraciones binarias. La mayoría determina de forma directa uno o dos segmentos; los casos con esquinas alternadas son ambiguos y necesitan una convención o una evaluación adicional en el centro.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: leer un mapa de contorno

Elegí una función, modificá el nivel destacado y mové el punto de consulta. El color representa la salida, las líneas claras son niveles igualmente espaciados y la línea coral corresponde al valor seleccionado.

El mapa abarca −3≤x≤3 y −3≤y≤3. Una cruz marca el punto consultado. El nivel coral se aproxima desde una grilla mediante interpolación lineal.

Preguntas para explorar

1. En el cuenco, compará los radios de los niveles 1, 4 y 9. ¿Crecen linealmente con k?
2. Cambiá del cuenco a la colina. ¿Qué permanece igual y qué información cambia?
3. En el cuenco elíptico, observá en qué dirección quedan más juntas las curvas.
4. En la silla, desplazá k desde valores negativos hasta positivos y mirá cómo cambia la orientación.
5. En las ondas, buscá componentes separadas que pertenezcan al mismo nivel.
6. Ubicá el punto sobre la línea coral y observá el margen usado para decidir pertenencia numérica.

12 · Implementación

Calcular niveles con JavaScript

Cuando la ecuación puede resolverse de manera exacta, es preferible aprovechar su estructura. El siguiente código genera puntos del nivel k de f(x,y)=x²+y²:

function nivelCircular(k, cantidad = 12) {
  if (!Number.isFinite(k) || k < 0) return [];
  if (!Number.isInteger(cantidad) || cantidad < 3) {
    throw new RangeError("La cantidad debe ser un entero mayor o igual que 3");
  }

  const radio = Math.sqrt(k);
  return Array.from({ length: cantidad }, (_, indice) => {
    const angulo = 2 * Math.PI * indice / cantidad;
    return {
      x: radio * Math.cos(angulo),
      y: radio * Math.sin(angulo)
    };
  });
}

console.log(nivelCircular(4, 4));
// Aproximadamente: (2,0), (0,2), (-2,0), (0,-2)

Detectar cruces en una arista

Para funciones generales podemos interpolar dónde una arista atraviesa el nivel:

function cruceDeNivel(puntoA, valorA, puntoB, valorB, nivel) {
  if (![valorA, valorB, nivel].every(Number.isFinite)) return null;

  const minimo = Math.min(valorA, valorB);
  const maximo = Math.max(valorA, valorB);
  if (nivel < minimo || nivel > maximo || valorA === valorB) return null;

  const t = (nivel - valorA) / (valorB - valorA);
  return {
    x: puntoA.x + t * (puntoB.x - puntoA.x),
    y: puntoA.y + t * (puntoB.y - puntoA.y)
  };
}

console.log(cruceDeNivel(
  { x: 0, y: 0 }, 1,
  { x: 2, y: 0 }, 5,
  3
)); // { x: 1, y: 0 }

Clasificar una celda

Marching Squares codifica qué vértices están por encima del nivel. Cada bit representa una esquina:

function codigoDeCelda(valores, nivel) {
  if (valores.length !== 4) {
    throw new RangeError("Se necesitan cuatro valores");
  }

  return valores.reduce((codigo, valor, indice) => {
    if (!Number.isFinite(valor)) return codigo;
    return codigo | (valor >= nivel ? 1 << indice : 0);
  }, 0);
}

console.log(codigoDeCelda([1, 5, 6, 2], 4)); // 6 = 0110 en binario
console.log(codigoDeCelda([7, 7, 7, 7], 4)); // 15: toda la celda por encima
console.log(codigoDeCelda([1, 1, 1, 1], 4)); // 0: toda la celda por debajo

Los códigos 0 y 15 no producen segmentos internos. Los demás consultan una tabla de casos para conectar cruces. En producción también debemos tratar empates, datos faltantes, casos ambiguos y fronteras del dominio.

13 · Visualización responsable

Resolución, color y datos faltantes

Un mapa de contorno puede parecer preciso aunque provenga de pocas muestras. Antes de interpretarlo conviene revisar cómo fue construido.

• Resolución: una grilla gruesa vuelve angulosas las curvas y puede omitir extremos locales.
• Intervalo de niveles: demasiadas líneas saturan el dibujo; muy pocas ocultan estructura.
• Interpolación: el algoritmo estima qué ocurre entre mediciones y puede introducir formas no observadas.
• Recorte: limitar valores extremos modifica la escala de color y puede disimular singularidades.
• Datos faltantes: deben representarse como huecos, no reemplazarse silenciosamente por cero.
• Relación de aspecto: escalas diferentes en x e y deforman ángulos y distancias.

El color complementa, no reemplaza

Una escala cromática continua ayuda a distinguir regiones, pero las curvas y etiquetas siguen siendo necesarias para comunicar valores exactos. Conviene usar paletas perceptualmente ordenadas, con suficiente contraste y legibles para personas con deficiencias en la visión del color.

Para datos que se alejan de un valor central —por ejemplo, anomalías positivas y negativas— suele ser útil una paleta divergente. Para magnitudes que solo crecen, una paleta secuencial comunica mejor el orden.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: construir niveles

Para f(x,y)=4x²+y², analizá los niveles k=−1, k=0, k=1 y k=4.

1. Decidí cuáles son vacíos.
2. Clasificá geométricamente cada conjunto no vacío.
3. Calculá sus intersecciones con los ejes.
4. Explicá en qué dirección cambia más rápido la función.

Ejercicio 2: leer un mapa sin dibujarlo

Sea g(x,y)=10−x²−y².

1. Describí los niveles 9, 6 y 1.
2. ¿Los valores aumentan o disminuyen hacia el centro?
3. ¿La separación entre circunferencias consecutivas crece o disminuye hacia afuera?
4. ¿Qué forma tridimensional sugiere el mapa?

Ejercicio 3: niveles de una silla

Considerá h(x,y)=xy.

1. Describí el nivel cero.
2. ¿En qué cuadrantes están los niveles positivos?
3. ¿En qué cuadrantes están los negativos?
4. Explicá por qué los niveles 1 y −1 no se intersectan.

Ejercicio 4: superficies de nivel

Para F(x,y,z)=x²+4y²+z²:

1. Clasificá las superficies para k>0.
2. Describí los casos k=0 y k<0.
3. Encontrá los semiejes cuando k=4.

Ejercicio 5: interpolación numérica

En una arista horizontal, la función vale 2 en A=(0,1) y 8 en B=(3,1).

1. Estimá dónde cruza el nivel 5 usando interpolación lineal.
2. Repetí para el nivel 7.
3. ¿Qué supuesto hace este cálculo?
4. Implementá una función que devuelva ambos puntos.

function interpolarNivel(a, valorA, b, valorB, nivel) {
  const t = (nivel - valorA) / (valorB - valorA);
  return {
    x: a.x + t * (b.x - a.x),
    y: a.y + t * (b.y - a.y)
  };
}

const a = { x: 0, y: 1 };
const b = { x: 3, y: 1 };
console.log([5, 7].map(k => interpolarNivel(a, 2, b, 8, k)));
// [{x: 1.5, y: 1}, {x: 2.5, y: 1}]

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Estos sistemas aprovechan precisamente las simetrías circulares y radiales que muchas familias de niveles hacen visibles.