Gráficas y superficies

01 · Punto de partida

De una curva a una superficie

La gráfica de una función de una variable y=f(x) reúne puntos del plano con forma (x,f(x)). Al pasar a una función de dos variables z=f(x,y), cada entrada necesita dos coordenadas y la salida agrega una tercera. La gráfica vive entonces en el espacio tridimensional.

Podemos imaginar z como una altura colocada sobre cada punto (x,y) del dominio. El conjunto de todas esas alturas forma una superficie. Según la función, puede parecer un plano inclinado, un cuenco, una silla, una colina o un paisaje ondulado.

Interpretar una superficie permite responder preguntas que una lista de números oculta:

• ¿Dónde toma valores altos o bajos la función?
• ¿En qué regiones aumenta o disminuye la altura?
• ¿La forma presenta picos, valles o puntos silla?
• ¿Qué sucede al fijar una coordenada y recorrer la otra?
• ¿Cómo cambia la forma al modificar un parámetro?
• ¿La visualización respeta el dominio y la escala de los datos?

02 · Definición

La gráfica como conjunto de puntos

Sea f:D⊆ℝ²→ℝ. Su gráfica es:

Cada punto del dominio produce exactamente un punto de la gráfica. Por ejemplo, si f(x,y)=x²+y²:

• La entrada (0,0) produce la salida 0 y el punto gráfico (0,0,0).
• La entrada (1,2) produce 5 y el punto (1,2,5).
• La entrada (−2,1) también produce 5 y el punto (−2,1,5).

Los dos últimos puntos tienen igual altura, pero ocupan posiciones horizontales distintas. La salida no identifica por sí sola la entrada que la produjo.

03 · Lectura espacial

Los tres ejes cumplen roles diferentes

En una gráfica explícita z=f(x,y), los ejes x e y describen la entrada y el eje z representa la salida. Esta elección es convencional, pero debe mantenerse de forma consistente.

Eje x

Primera coordenada independiente del dominio.

Eje y

Segunda coordenada independiente del dominio.

Eje z

Valor dependiente f(x,y), interpretado como altura.

Si la función representa temperatura, la altura geométrica no significa que la temperatura esté físicamente arriba. Es una codificación visual: valores mayores se dibujan más altos. En otras aplicaciones, como un mapa de elevación, z sí puede representar altura física.

Proyección sobre el plano xy

Al proyectar verticalmente la gráfica sobre el plano xy, recuperamos el dominio. Si hay una zona sin puntos de la superficie, su proyección indica que la función no está definida allí o que la visualización omitió muestras.

04 · La superficie más simple

Funciones afines y planos

Una función afín de dos variables tiene la forma:

Su gráfica es un plano. El parámetro a fija la altura sobre el origen; b controla el cambio al avanzar en la dirección de x; c controla el cambio al avanzar en y.

Para f(x,y)=2+3x−y:

• f(0,0)=2: el plano pasa por (0,0,2).
• Aumentar x una unidad, manteniendo y, eleva z en 3.
• Aumentar y una unidad, manteniendo x, reduce z en 1.

Si b=c=0, obtenemos el plano horizontal z=a. Los planos serán importantes porque una superficie diferenciable se aproxima localmente mediante su plano tangente.

function crearPlano({ altura, cambioX, cambioY }) {
  return (x, y) => altura + cambioX * x + cambioY * y;
}

const plano = crearPlano({
  altura: 2,
  cambioX: 3,
  cambioY: -1
});

console.log(plano(0, 0)); // 2
console.log(plano(1, 0)); // 5
console.log(plano(0, 1)); // 1

05 · Formas fundamentales

Cuencos, cúpulas y puntos silla

Las funciones cuadráticas producen algunas de las superficies más importantes del cálculo multivariable.

El punto silla

En z=x²−y², el corte y=0 es la parábola z=x², que abre hacia arriba. El corte x=0 es z=−y², que abre hacia abajo. El origen no es máximo ni mínimo: la superficie tiene valores mayores y menores arbitrariamente cerca.

06 · Patrones y discontinuidades

Ondas, picos y superficies por partes

Las funciones trigonométricas generan patrones periódicos. Por ejemplo:

La salida permanece entre −1 y 1 y oscila en ambas direcciones. Este tipo de modelo aparece en texturas procedurales, ondas, vibraciones y señales espaciales.

Funciones radiales

Una función como f(x,y)=e^(−(x²+y²)) depende únicamente de la distancia al origen. Produce una colina suave y simétrica, con valor máximo en el centro y decaimiento en todas las direcciones.

Funciones definidas por partes

Una superficie puede usar reglas diferentes en regiones distintas:

Las dos piezas pueden coincidir o no sobre la frontera. El gráfico permite sospechar saltos o pliegues, pero la continuidad deberá justificarse mediante límites.

Singularidades

En f(x,y)=1/(x²+y²), el origen queda fuera del dominio y la altura crece sin cota al acercarnos. Una visualización suele recortar valores extremos; si no se informa ese recorte, puede ocultar el comportamiento real.

07 · Modificar una forma conocida

Traslaciones, escalas y reflexiones

Podemos construir nuevas superficies transformando una función base z=f(x,y).

El cambio horizontal puede parecer contrario a la intuición: f(x−a,y) traslada la forma hacia x=a, no hacia −a. Conviene localizar un punto notable, como un máximo o un vértice, y comprobar dónde queda después de la transformación.

Ejemplo

Partiendo de f(x,y)=x²+y², la función g(x,y)=2(x−1)²+2(y+3)²−4 tiene un cuenco más pronunciado, trasladado al punto (1,−3) y con vértice de altura −4.

08 · Formas de describir superficies

Superficies explícitas, implícitas y paramétricas

No toda superficie puede escribirse globalmente como z=f(x,y).

Explícita

z=f(x,y). Cada par (x,y) produce una única altura.

Implícita

F(x,y,z)=0. Las tres coordenadas están relacionadas por una ecuación.

Paramétrica

r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)). Dos parámetros recorren la superficie.

La esfera x²+y²+z²=R² no es globalmente la gráfica de una sola función z=f(x,y), porque para muchos pares (x,y) existen dos alturas:

Podemos separarla en un hemisferio superior y otro inferior, cada uno sí expresable como función. Un cilindro vertical tampoco es una gráfica z=f(x,y), porque sobre su circunferencia aparecen infinitas alturas.

09 · Analizar por secciones

Cortes verticales y horizontales

Las superficies tridimensionales pueden ser difíciles de leer desde una sola perspectiva. Los cortes reducen el problema a curvas.

Fijar y

Al imponer y=b, obtenemos la curva z=f(x,b) dentro del plano vertical y=b. Esta curva muestra cómo cambia la altura al movernos solo en dirección x.

Fijar x

Al imponer x=a, obtenemos z=f(a,y). Para el paraboloide z=x²+y², ambos tipos de cortes son parábolas.

Fijar z

Al imponer z=c, buscamos las entradas que cumplen f(x,y)=c. Estas son curvas de nivel. Para x²+y²=c obtenemos circunferencias. El próximo tema desarrollará esta representación en profundidad.

Combinar la vista 3D con cortes verticales y niveles reduce ambigüedades producidas por la perspectiva.

10 · Interpretación responsable

Qué podemos inferir de una gráfica

Una buena visualización permite formular hipótesis, pero no reemplaza una demostración ni una evaluación numérica precisa.

Antes de interpretar debemos revisar:

• Qué variable corresponde a cada eje y qué unidades utiliza.
• Qué intervalo del dominio se está mostrando.
• Si la escala vertical está exagerada o comprimida.
• Qué resolución tiene la malla y cómo se interpolan las muestras.
• Si se recortaron valores extremos o regiones fuera del dominio.
• Qué esquema de color se aplicó y si representa altura u otra cantidad.

11 · Representación computacional

De una función continua a una malla

Una computadora no almacena los infinitos puntos de una superficie continua. Selecciona una cantidad finita de entradas sobre una grilla, evalúa la función y conecta las muestras mediante segmentos o triángulos.

Vértices y triángulos

Cada muestra produce un vértice (x,y,z). Una celda rectangular de la grilla suele dividirse en dos triángulos. Las bibliotecas gráficas envían esos triángulos a la GPU para proyectarlos, colorearlos e iluminarlos.

Resolución

Una grilla de n×n contiene n² vértices y aproximadamente 2(n−1)² triángulos. Duplicar la resolución por eje cuadruplica aproximadamente el trabajo. Una malla densa se ve más suave, pero consume más memoria y tiempo.

12 · Exploración tridimensional

Laboratorio: rotar y recorrer una superficie

Elegí una superficie, modificá el ángulo de observación y mové el punto (x,y). La malla representa z=f(x,y); el punto coral marca la terna exacta (x,y,f(x,y)).

Las líneas doradas y violetas forman la malla de la superficie. El punto coral representa la evaluación seleccionada. La rotación cambia la vista, no la función.

Preguntas para explorar

1. En el cuenco, buscá el punto de menor altura. ¿Qué simetría observás?
2. En la silla, compará el recorrido sobre el eje x con el recorrido sobre el eje y.
3. Rotá el plano. ¿Cambian los valores o solo su proyección en la pantalla?
4. En las ondas, localizá entradas diferentes con la misma altura.
5. Colocá x=0 y variá y para imaginar un corte vertical de cada modelo.

13 · Implementación

Construir una malla con JavaScript

El primer paso es generar vértices. El siguiente ejemplo devuelve una matriz de puntos para una región rectangular:

function crearMalla(funcion, xMin, xMax, yMin, yMax, divisiones) {
  if (!Number.isInteger(divisiones) || divisiones < 1) {
    throw new RangeError("Las divisiones deben ser un entero positivo");
  }

  const filas = [];
  for (let j = 0; j <= divisiones; j += 1) {
    const y = yMin + (yMax - yMin) * j / divisiones;
    const fila = [];

    for (let i = 0; i <= divisiones; i += 1) {
      const x = xMin + (xMax - xMin) * i / divisiones;
      fila.push({ x, y, z: funcion(x, y) });
    }
    filas.push(fila);
  }
  return filas;
}

const cuenco = (x, y) => 0.22 * (x ** 2 + y ** 2);
const malla = crearMalla(cuenco, -3, 3, -3, 3, 4);
console.log(malla.length, malla[0].length); // 5 5

Convertir celdas en triángulos

function triangularMalla(malla) {
  const triangulos = [];

  for (let fila = 0; fila < malla.length - 1; fila += 1) {
    for (let columna = 0; columna < malla[fila].length - 1; columna += 1) {
      const a = malla[fila][columna];
      const b = malla[fila][columna + 1];
      const c = malla[fila + 1][columna];
      const d = malla[fila + 1][columna + 1];

      triangulos.push([a, b, c], [b, d, c]);
    }
  }
  return triangulos;
}

const mallaEjemplo = [
  [{x: 0, y: 0, z: 0}, {x: 1, y: 0, z: 1}],
  [{x: 0, y: 1, z: 1}, {x: 1, y: 1, z: 2}]
];
console.log(triangularMalla(mallaEjemplo)); // dos triángulos

Omitir entradas fuera del dominio

Una superficie con dominio restringido necesita representar huecos de forma explícita:

function hemisferioSuperior(x, y, radio = 2) {
  const radicando = radio ** 2 - x ** 2 - y ** 2;
  if (radicando < 0) return null;
  return Math.sqrt(radicando);
}

for (const punto of [[0, 0], [1, 1], [2, 2]]) {
  const [x, y] = punto;
  console.log({ x, y, z: hemisferioSuperior(x, y) });
}

Un valor null puede indicar que no debe crearse un vértice. No conviene reemplazarlo por z=0, porque eso agregaría puntos falsos a la superficie.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: puntos de una gráfica

Sea f(x,y)=2x−y².

1. Calculá los puntos de la gráfica asociados a (0,0), (2,1) y (−1,2).
2. ¿Pertenece (2,1,3) a la gráfica?
3. ¿Pertenece (2,1,4)?
4. Escribí el corte obtenido al fijar y=1.

Ejercicio 2: reconocer formas y transformaciones

Describí la forma, el vértice o punto notable y las transformaciones de:

1. z=(x−2)²+(y+1)²−3
2. z=5−2x²−2y²
3. z=−x²+y²
4. z=4+0x+0y

Ejercicio 3: explícita o no

Decidí cuáles relaciones describen globalmente una función z=f(x,y).

1. z=x+y
2. x²+y²+z²=9
3. z²=x²+y²
4. z=√(9−x²−y²)

Ejercicio 4: contar una malla

Una región rectangular se divide en 20 intervalos sobre x y 30 sobre y.

1. ¿Cuántos vértices tiene la grilla incluyendo extremos?
2. ¿Cuántas celdas rectangulares?
3. ¿Cuántos triángulos si cada celda se divide en dos?
4. Escribí una función de JavaScript que calcule esas cantidades.

function dimensionesMalla(intervalosX, intervalosY) {
  if (![intervalosX, intervalosY].every(Number.isInteger)
      || intervalosX < 1 || intervalosY < 1) {
    throw new RangeError("Los intervalos deben ser enteros positivos");
  }

  const vertices = (intervalosX + 1) * (intervalosY + 1);
  const celdas = intervalosX * intervalosY;
  return { vertices, celdas, triangulos: 2 * celdas };
}

console.log(dimensionesMalla(20, 30));
// { vertices: 651, celdas: 600, triangulos: 1200 }

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos curvas y superficies de nivel: aprenderemos a representar valores constantes mediante mapas de contorno y a reconstruir información tridimensional desde el plano.