Dominio e imagen

01 · Punto de partida

No toda combinación es una entrada válida

Una fórmula puede parecer capaz de recibir cualquier par de números, pero sus operaciones imponen restricciones. No podemos dividir por cero, calcular en los números reales la raíz cuadrada de un valor negativo ni aplicar el logaritmo a cero o a un número negativo.

El contexto agrega otras condiciones. Una función que calcula el costo según peso y distancia podría admitir algebraicamente números negativos, aunque esos valores carezcan de sentido para el problema. De manera similar, una imagen digital solo tiene píxeles dentro de sus dimensiones.

Por eso, antes de evaluar o representar una función de varias variables debemos preguntar:

• ¿Para qué combinaciones está definida la fórmula?
• ¿Qué restricciones adicionales impone el modelo?
• ¿Las fronteras de la región están incluidas?
• ¿La región se extiende indefinidamente o está acotada?
• ¿Qué valores puede alcanzar realmente la salida?
• ¿Cómo debe reaccionar el programa ante una entrada inválida?

02 · Tres conjuntos diferentes

Dominio, codominio e imagen

En la notación f: D → C intervienen tres conjuntos relacionados, pero no intercambiables:

Dominio D

Conjunto de entradas para las que la función está definida.

Codominio C

Conjunto declarado como destino posible de las salidas.

Imagen Im(f)

Conjunto de valores del codominio que la función alcanza efectivamente.

Consideremos f:ℝ→ℝ, f(x)=x². Su dominio es ℝ y su codominio declarado también es ℝ, pero su imagen es [0,+∞), porque un cuadrado nunca es negativo y todo real no negativo es cuadrado de algún número real.

03 · Capas de validez

Dominio natural, contextual y computacional

Una misma fórmula puede analizarse en distintos niveles.

Para T(d,v)=d/v, el dominio natural exige v≠0. Si d es distancia y v rapidez, un dominio contextual razonable exige además d≥0 y v>0. En JavaScript quizá también debamos rechazar NaN e infinitos.

Estas capas no compiten: refinan la especificación. En un texto matemático puede interesar el dominio natural; en una aplicación debemos declarar también las restricciones del problema y de la representación.

04 · Reglas algebraicas

Operaciones que restringen el dominio

Para hallar el dominio natural real, examinamos cada operación y traducimos su condición a una igualdad o desigualdad.

Cuando aparecen varias operaciones restringidas, todas sus condiciones deben cumplirse simultáneamente. El dominio es la intersección de las regiones obtenidas.

Ejemplo combinado

La raíz exige y−x²≥0, es decir, y≥x². El denominador exige x+y≠0. Por lo tanto:

05 · Geometría de las restricciones

Desigualdades que describen regiones

En dos variables, una condición ya no suele producir un intervalo, sino una región del plano. Para interpretarla conviene reconocer formas geométricas básicas.

El signo de la desigualdad indica si la frontera forma parte del conjunto. Una línea continua suele representar frontera incluida; una línea punteada, frontera excluida. Esta convención gráfica debe acompañarse siempre de la desigualdad exacta.

Traslaciones

La condición (x−a)²+(y−b)²≤r² describe el disco cerrado de centro (a,b) y radio r. Los términos x−a e y−b miden el desplazamiento respecto del centro.

06 · Método sistemático

Cómo determinar un dominio

1. 1
   Partir del espacio de entradas.

   Identificar cuántas variables hay y considerar inicialmente ℝⁿ.

2. 2
   Localizar operaciones restrictivas.

   Buscar denominadores, raíces pares, logaritmos y funciones inversas.

3. 3
   Escribir una condición por operación.

   No combinar mentalmente restricciones antes de expresarlas con claridad.

4. 4
   Intersectar las condiciones.

   Conservar únicamente los puntos que satisfacen todas simultáneamente.

5. 5
   Interpretar la región.

   Reconocer fronteras, componentes, puntos excluidos y si está acotada.

6. 6
   Agregar restricciones contextuales.

   Incorporar unidades, límites físicos y tipos discretos cuando corresponda.

7. 7
   Probar puntos.

   Comprobar uno interior, uno de frontera y uno exterior para detectar errores.

Ejemplo paso a paso

• El logaritmo exige y−x²>0, o sea y>x².
• La raíz está en el denominador, así que exige 4−x²−y²>0.
• La segunda condición equivale a x²+y²<4.
• El dominio es la parte del interior del círculo de radio 2 que queda estrictamente sobre la parábola y=x².

07 · Estructura de una región

Interior, frontera y exterior

Sea D una región de ℝ². Un punto es interior si existe un pequeño disco centrado en él contenido completamente en D. Es exterior si existe un disco que no toca D. Los puntos donde cualquier disco contiene puntos de D y puntos que no pertenecen a D forman la frontera.

Para el disco x²+y²≤9:

• El interior cumple x²+y²<9.
• La frontera cumple x²+y²=9.
• El exterior cumple x²+y²>9.

La frontera puede pertenecer o no al dominio. En √(9−x²−y²) está incluida porque la raíz de cero existe. En ln(9−x²−y²) está excluida porque ln(0) no es un número real.

08 · Propiedades de conjuntos

Regiones abiertas, cerradas y acotadas

Conjunto abierto

Todos sus puntos son interiores. No contiene puntos de su frontera.

Conjunto cerrado

Contiene todos sus puntos de frontera.

Conjunto acotado

Puede quedar contenido dentro de algún disco de radio finito.

Conjunto compacto en ℝⁿ

Es cerrado y acotado.

El disco x²+y²<1 es abierto y acotado. El disco x²+y²≤1 es cerrado, acotado y por tanto compacto. El semiplano y≥0 es cerrado pero no acotado. Todo ℝ² es simultáneamente abierto y cerrado, aunque no acotado.

Estas propiedades no son simples etiquetas. Una función continua sobre un conjunto compacto alcanza máximos y mínimos absolutos. Esta garantía será central cuando estudiemos optimización.

09 · Valores de salida

Cómo determinar la imagen

Hallar la imagen significa responder qué valores puede tomar z=f(x,y) cuando (x,y) recorre todo el dominio. No existe una única receta, pero varias estrategias son útiles:

1. 1
   Usar cotas conocidas.

   Cuadrados, valores absolutos y raíces imponen signos o límites inmediatos.

2. 2
   Cambiar de variable auxiliar.

   Por ejemplo, llamar r²=x²+y² cuando hay simetría radial.

3. 3
   Despejar una entrada.

   Comprobar para qué valores de z existe al menos una entrada válida.

4. 4
   Estudiar fronteras y extremos.

   En dominios cerrados y acotados, comparar candidatos interiores y fronterizos.

5. 5
   Construir ejemplos.

   No basta con proponer una cota: debemos justificar que los valores del intervalo se alcanzan.

Ejemplo radial

Para f(x,y)=x²+y² sobre todo ℝ², tenemos f≥0. Además, cualquier c≥0 se alcanza tomando (x,y)=(√c,0). Por lo tanto:

El dominio modifica la imagen

Si restringimos la misma fórmula al disco x²+y²≤4, entonces 0≤f≤4, y todos los valores intermedios se alcanzan. La nueva imagen es [0,4].

10 · Ejemplos razonados

Imágenes de funciones frecuentes

Una exploración numérica puede sugerir la imagen, pero una grilla finita no demuestra que encontró extremos exactos ni que cubrió todos los valores posibles. La justificación matemática sigue siendo necesaria.

11 · Implementación segura

Validar antes de evaluar

JavaScript no siempre detiene el programa ante una operación fuera del dominio real. Math.sqrt(-1) devuelve NaN y 1/0 devuelve Infinity. Si esperamos a comprobar el resultado, el error puede propagarse.

function hemisferio(x, y, radio = 3) {
  if (![x, y, radio].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Las entradas deben ser números finitos");
  }
  if (radio < 0) {
    throw new RangeError("El radio debe ser no negativo");
  }

  const radicando = radio ** 2 - x ** 2 - y ** 2;
  if (radicando < 0) {
    throw new RangeError("El punto está fuera del dominio");
  }
  return Math.sqrt(radicando);
}

console.log(hemisferio(1, 2)); // 2

Separar la validación de la evaluación

function perteneceAlDisco(x, y, radio) {
  return Number.isFinite(x)
    && Number.isFinite(y)
    && Number.isFinite(radio)
    && radio >= 0
    && x ** 2 + y ** 2 <= radio ** 2;
}

function alturaDisco(x, y, radio = 3) {
  if (!perteneceAlDisco(x, y, radio)) return null;
  return Math.sqrt(radio ** 2 - x ** 2 - y ** 2);
}

console.log(alturaDisco(1, 2)); // 2
console.log(alturaDisco(4, 0)); // null

Devolver null, lanzar una excepción o usar un tipo de resultado explícito son decisiones de diseño. Lo importante es definir un contrato y no confundir una entrada inválida con una salida numérica válida.

12 · Exploración visual

Laboratorio: probar puntos del dominio

Elegí una función y mové el punto (x,y). La región coloreada pertenece al dominio; la región oscura queda excluida. El laboratorio informa qué condición se cumple y solo evalúa la función cuando la entrada es válida.

El punto blanco marca la entrada elegida. Las zonas coloreadas representan entradas válidas y las oscuras, entradas excluidas.

Preguntas para explorar

1. En la raíz, ubicá un punto sobre la circunferencia de radio 3. ¿La frontera pertenece?
2. En el logaritmo, probá un punto sobre la circunferencia de radio 2. ¿Por qué queda excluido?
3. En el cociente, acercá el punto a la recta x=y desde ambos lados. ¿Qué ocurre con la salida?
4. En la función combinada, buscá puntos sobre y=x². ¿Cuáles se admiten y cuáles deben excluirse por el denominador?
5. Compará los símbolos ≤ y < de los dos primeros modelos con sus fronteras.

13 · Regiones en código

Filtrar y muestrear un dominio

Podemos representar una región mediante una función booleana y reutilizarla para filtrar puntos.

const perteneceCorona = (x, y) => {
  const radioCuadrado = x ** 2 + y ** 2;
  return radioCuadrado >= 1 && radioCuadrado <= 4;
};

const puntos = [
  [0, 0],
  [1, 0],
  [1, 1],
  [2, 0],
  [3, 0]
];

const validos = puntos.filter(([x, y]) => perteneceCorona(x, y));
console.log(validos); // [[1,0], [1,1], [2,0]]

Construir una grilla válida

function muestrearDominio(pertenece, min, max, paso) {
  if (paso <= 0) throw new RangeError("El paso debe ser positivo");
  const muestras = [];

  for (let y = min; y <= max + paso / 2; y += paso) {
    for (let x = min; x <= max + paso / 2; x += paso) {
      const px = Number(x.toFixed(10));
      const py = Number(y.toFixed(10));
      if (pertenece(px, py)) muestras.push([px, py]);
    }
  }
  return muestras;
}

const discoUnidad = (x, y) => x ** 2 + y ** 2 <= 1;
console.log(muestrearDominio(discoUnidad, -1, 1, 1));

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: dominios naturales

Determiná y describí geométricamente el dominio de cada función.

1. f(x,y)=√(16−x²−y²)
2. g(x,y)=1/(x²+y²−1)
3. h(x,y)=ln(y−2x)
4. q(x,y)=1/√(x+y−1)

Ejercicio 2: intersección de restricciones

Sea F(x,y)=√(4−x²−y²)/ln(x+2).

1. Escribí la condición de la raíz.
2. Escribí las condiciones del logaritmo y del denominador.
3. Combiná las restricciones.
4. Probá los puntos (0,0), (−1,0) y (2,0).

Ejercicio 3: hallar imágenes

Determiná la imagen de:

1. f(x,y)=4−x²−y² sobre ℝ².
2. La misma fórmula sobre x²+y²≤1.
3. g(x,y)=√(x²+y²) sobre ℝ².
4. h(x,y)=x+y sobre el cuadrado [0,1]².

Ejercicio 4: implementar un contrato

La función P(c,m)=100c/(c+m) calcula un porcentaje, donde c y m son conteos no negativos. Escribí una implementación que exija enteros, rechace el caso c+m=0 y garantice una salida entre 0 y 100.

function porcentaje(casos, restantes) {
  const sonConteosValidos = Number.isInteger(casos)
    && Number.isInteger(restantes)
    && casos >= 0
    && restantes >= 0;

  if (!sonConteosValidos) {
    throw new RangeError("Los conteos deben ser enteros no negativos");
  }
  if (casos + restantes === 0) {
    throw new RangeError("El total no puede ser cero");
  }
  return 100 * casos / (casos + restantes);
}

console.log(porcentaje(30, 70)); // 30

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos gráficas y superficies: aprenderemos a interpretar z=f(x,y), reconocer formas tridimensionales y construir visualizaciones computacionales.