Derivación implícita

01 · Variables ligadas

Derivar sin despejar

Muchas relaciones se presentan mediante una ecuación:

La ecuación puede definir una o varias curvas y no siempre permite despejar y con una fórmula sencilla. Aun así, cerca de un punto regular puede existir una rama y=y(x) cuya pendiente se obtiene sin resolver toda la ecuación.

La derivación implícita permite responder:

• ¿Cuál es la pendiente de una curva definida por una restricción?
• ¿Puede y expresarse localmente como función de x?
• ¿Hay una tangente vertical?
• ¿Cómo cambia una variable dependiente cuando cambian varias independientes?
• ¿Cómo derivar varias incógnitas ligadas por un sistema?
• ¿Qué ocurre en puntos singulares?

02 · Fórmula básica

De F(x,y(x))=0 a la pendiente

Supongamos que una rama de la curva puede escribirse como y=y(x). Entonces:

Derivando ambos lados respecto de x:

Si Fy≠0, despejamos:

Las parciales se evalúan en el punto de la curva. El signo negativo surge al trasladar la contribución directa de x al otro miembro.

Lectura mediante gradiente

El vector tangente a la gráfica (x,y(x)) es (1,y′). Como el gradiente es normal al nivel:

Esta misma ortogonalidad vuelve a producir la fórmula.

03 · Ejemplo fundamental

Pendiente de una circunferencia

Consideremos:

Definimos F(x,y)=x²+y²−25. Sus parciales son:

Siempre que y≠0:

En (3,4), la pendiente vale −3/4. La recta tangente es:

Dos ramas, una misma fórmula local

Globalmente, la circunferencia no es la gráfica de una sola función de x. Puede separarse en y=±√(25−x²). La derivación implícita trabaja localmente en cualquiera de las dos ramas sin obligarnos a elegirla de antemano.

04 · Teorema de la función implícita

Cuándo existe realmente y(x)

La manipulación algebraica debe estar respaldada por una hipótesis geométrica. Una versión del teorema afirma:

La condición Fy≠0 permite resolver localmente para y. Si en cambio Fx≠0, puede resolverse x como función de y.

05 · Tangentes verticales

Cuando dy/dx no es finita

En la circunferencia, los puntos (±5,0) tienen Fy=0. La fórmula para dy/dx divide por cero, pero la curva sigue siendo suave.

Como Fx≠0, calculamos:

En (5,0), dx/dy=0. Esto significa que x, visto como función de y, tiene tangente horizontal; equivalentemente, la curva original tiene tangente vertical x=5.

06 · Método sistemático

Derivar una relación paso a paso

1. 1
   Escribí la ecuación como F(x,y)=0.

   Trasladá todos los términos a un mismo miembro.

2. 2
   Confirmá que el punto pertenece.

   Una pendiente sobre la curva solo tiene sentido si satisface la relación.

3. 3
   Calculá Fₓ y Fᵧ.

   Son parciales ordinarias de la expresión implícita.

4. 4
   Verificá qué parcial no se anula.

   Esto determina qué variable puede despejarse localmente.

5. 5
   Aplicá la fórmula adecuada.

   Usá dy/dx o dx/dy sin dividir por cero.

6. 6
   Interpretá geométricamente.

   Construí la tangente o comprobá la ortogonalidad con el gradiente.

07 · Segunda derivada implícita

Medir cómo cambia la pendiente

Partimos de:

Derivamos otra vez respecto de x, recordando que las parciales también dependen de (x,y(x)):

Si F tiene mixtas iguales:

Circunferencia

Para F=x²+y²−25, Fxx=Fyy=2 y Fxy=0:

En (3,4), con y′=−3/4, resulta y″=−25/64.

08 · Una variable dependiente de dos

Superficies F(x,y,z)=0

Supongamos que la ecuación define localmente z=z(x,y). Entonces:

Derivando respecto de x y de y:

Si Fz≠0:

Esfera

Para x²+y²+z²=9, en puntos con z≠0:

Estas pendientes coinciden con las obtenidas al despejar las semiesferas z=±√(9−x²−y²).

09 · Varias ecuaciones y varias incógnitas

Derivar un sistema implícito

Supongamos que u y v dependen de x y están determinados por:

Derivando respecto de x:

Organizamos las incógnitas derivativas en un sistema lineal:

Si la matriz respecto de las variables dependientes es invertible, podemos resolver:

Esta es la versión matricial del teorema de la función implícita.

10 · Ejemplo de sistema

Dos tasas ligadas

Consideremos:

En x=1, el punto (u,v)=(1,1) satisface ambas ecuaciones. Derivando:

Al evaluar en el punto:

Las ecuaciones son incompatibles. Esto revela que en ese punto las restricciones no definen u y v como funciones diferenciables de x: la matriz respecto de (u,v), [[1,1],[2,2]], es singular.

Diagnóstico antes de resolver

El determinante de la matriz de parciales dependientes debe ser no nulo. Si es cero, no está autorizado invertirla y puede haber ramificación, tangencia o ausencia de solución cercana para ciertos valores de x.

11 · Puntos singulares

Cuando todo el gradiente se anula

Si Fx=Fy=0, ninguna de las fórmulas de despeje local queda garantizada. El conjunto puede presentar comportamientos distintos.

La ecuación derivada 0=0 no selecciona una pendiente. Es necesario factorizar, parametrizar, estudiar límites o analizar términos de orden superior.

12 · Cálculo numérico

Estimar una pendiente sin despejar

Si podemos evaluar F pero no sus derivadas, aproximamos:

Luego usamos −Fx/Fy, siempre que el denominador no sea demasiado pequeño.

Problemas cerca de una vertical

Cuando |Fy| es pequeño, los errores se amplifican. Es preferible cambiar la variable dependiente y calcular dx/dy, o representar la tangente mediante el vector (−Fy,Fx), que no requiere dividir.

Comprobar tangencia

Un vector T estimado es tangente si ∇F·T es cercano a cero en relación con las normas. Esta prueba es más estable que comparar pendientes casi infinitas.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: recorrer una restricción

Elegí una curva y mové el parámetro. El punto permanece sobre la restricción. El gradiente blanco es normal y la línea dorada es la tangente implícita.

El fondo distingue los signos de F y la curva celeste marca F=0. La flecha blanca muestra el gradiente; la tangente dorada se dibuja sin dividir por una parcial.

Preguntas para explorar

1. En la circunferencia, llevá el punto cerca del extremo derecho y observá crecer la pendiente.
2. Compará círculo y elipse: el gradiente no siempre es radial.
3. En la hipérbola, observá las dos ramas de la restricción.
4. En la cúbica, verificá que Fᵧ nunca se anula.
5. Reducí h y compará la tangencia analítica con la estimación numérica.

14 · Implementación

Derivación implícita con JavaScript

Pendiente desde parciales

function pendienteImplicita(fx, fy, tolerancia = 1e-12) {
  if (Math.abs(fy) <= tolerancia) return null;
  return -fx / fy;
}

console.log(pendienteImplicita(6, 8)); // -0.75
console.log(pendienteImplicita(10, 0)); // null: posible vertical

Gradiente numérico y tangente

function tangenteImplicitaNumerica(F, x, y, h = 1e-4) {
  const fx = (F(x + h, y) - F(x - h, y)) / (2 * h);
  const fy = (F(x, y + h) - F(x, y - h)) / (2 * h);
  const norma = Math.hypot(fx, fy);
  if (norma === 0) return null;
  return {
    normal: [fx / norma, fy / norma],
    tangente: [-fy / norma, fx / norma]
  };
}

const circulo = (x, y) => x ** 2 + y ** 2 - 25;
console.log(tangenteImplicitaNumerica(circulo, 3, 4));

Resolver un sistema lineal 2×2

function resolver2x2(matriz, termino) {
  const [[a, b], [c, d]] = matriz;
  const [e, f] = termino;
  const determinante = a * d - b * c;
  if (Math.abs(determinante) < 1e-12) throw new Error("Sistema singular");
  return [(e * d - b * f) / determinante, (a * f - e * c) / determinante];
}

const parcialesDependientes = [[2, 1], [1, -1]];
const menosParcialesX = [-3, 2];
console.log(resolver2x2(parcialesDependientes, menosParcialesX));

Devolver null o lanzar un error cerca de denominadores nulos es preferible a producir una pendiente enorme sin advertencia.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: pendiente

Encontrá dy/dx para x²+xy+y²=7.

Ejercicio 2: recta tangente

Hallá la recta tangente a la curva anterior en (1,2).

Ejercicio 3: tangente vertical

En x²+4y²=4, determiná la tangente en (2,0).

Ejercicio 4: superficie

Si x²+y²+z²=14 define z localmente, calculá zx y zy en (1,2,3).

Ejercicio 5: segunda derivada

Para x²+y²=25, calculá y″ en (0,5).

Ejercicio 6: singularidad

Analizá por qué la fórmula no determina una pendiente única para x²−y²=0 en el origen.

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema construiremos aproximaciones de Taylor multivariable, incorporando términos lineales y cuadráticos para estimar funciones y sus errores.