Aproximación de Taylor multivariable

01 · Modelar cerca de un punto

Una función complicada puede parecerse a un polinomio

La diferenciabilidad permite aproximar una función por su parte lineal. Si también conocemos derivadas de orden superior, podemos agregar términos que reproducen curvatura e interacción y obtener una aproximación más precisa.

Alrededor de un punto p=(a,b), Taylor construye un polinomio que coincide con f y con varias de sus derivadas en p. Este modelo local permite:

• Estimar valores cercanos sin evaluar la función completa.
• Separar efectos lineales, curvaturas e interacciones.
• Predecir cómo decrece el error al reducir la escala.
• Analizar la forma local cerca de puntos críticos.
• Diseñar métodos numéricos de optimización.
• Propagar incertidumbres más allá del primer orden.

02 · Coordenadas locales

Trabajar con h=(u,v)

Sea p=(a,b) y un punto cercano (x,y). Definimos:

Entonces (x,y)=p+h. El polinomio se ordena por el grado total de u y v:

• Grado 0: el valor constante f(p).
• Grado 1: términos u y v, determinados por el gradiente.
• Grado 2: términos u², uv y v², determinados por el Hessiano.
• Grados superiores: refinamientos que usan más derivadas.

Usar coordenadas locales evita mezclar el punto base con el desplazamiento. El modelo se construye en torno a h=0, aunque p no sea el origen.

03 · Taylor de primer orden

La linealización

Para una función diferenciable:

En coordenadas:

La gráfica de T₁ es el plano tangente. El residuo satisface:

Esto significa que el error dividido por la distancia tiende a cero. Si las segundas derivadas están acotadas cerca de p, suele obtenerse la estimación más fuerte O(‖h‖²).

Exactitud

Para una función afín, Taylor de primer orden es exactamente la función en todo punto. Para una función curva, es un modelo local cuya calidad decrece al alejarnos.

04 · Taylor de segundo orden

Incorporar el Hessiano

Si f posee suficiente regularidad, el modelo cuadrático es:

Para h=(u,v) y mixtas iguales:

Todas las derivadas se evalúan en p. El término cuadrático describe cómo cambia la pendiente según la dirección del desplazamiento.

05 · El factor del término mixto

Por qué aparece 2fₓᵧuv

El producto matricial completo es:

Al expandir:

Si las mixtas son continuas, Clairaut garantiza fxy=fyx, y ambas contribuciones se combinan en 2fxyuv. El factor exterior 1/2 deja finalmente un coeficiente fxy delante de uv.

06 · Ejemplo completo

Aproximar una exponencial acoplada

Sea f(x,y)=e^(x+y) alrededor de p=(0,0). En el origen:

Por tanto:

Como la función depende de x+y, estas expresiones coinciden con Taylor de una variable aplicado a eˢ, donde s=x+y.

Evaluación en (0,05;−0,02)

Aquí x+y=0,03:

El término cuadrático reduce considerablemente el error para este desplazamiento pequeño.

07 · Punto base no nulo

No olvidar trasladar las variables

Para f(x,y)=ln(x+y) alrededor de p=(1,1), definimos u=x−1 y v=y−1. En p:

Entonces:

Sustituir x e y directamente en lugar de u y v construiría un polinomio centrado en el origen, no en (1,1).

Dominio local

La función requiere x+y>0. El polinomio está definido en todo el plano, pero solo pretende aproximar a f cerca de p y dentro de su dominio. Un modelo de Taylor no hereda automáticamente las restricciones globales de la función.

08 · Resto y orden del error

Qué significa mejorar el orden

Para un modelo de grado k, el residuo es:

Bajo hipótesis de suavidad apropiadas:

En términos prácticos, al reducir el desplazamiento por un factor 10:

• El error lineal suele reducirse aproximadamente por 100.
• El error cuadrático suele reducirse aproximadamente por 1000.

Estas relaciones son asintóticas y requieren derivadas acotadas. A escalas extremadamente pequeñas, el redondeo numérico puede ocultar el patrón.

Pequeña o grande no es una propiedad absoluta

La región útil depende de cuánto varían las derivadas superiores y de la tolerancia requerida. Un desplazamiento de 0,1 puede ser pequeño para un modelo y enorme para otro.

09 · Estimar el error

Usar cotas de derivadas superiores

Si la norma del Hessiano está acotada por M en el segmento entre p y p+h, el error de la aproximación lineal satisface una cota del tipo:

Si las derivadas de tercer orden están acotadas adecuadamente por M₃, el resto cuadrático admite una cota proporcional a:

La constante exacta depende de la norma y de cómo se acoten las derivadas multilineales. Lo esencial es el grado de la potencia.

Reducción a una variable

Definimos g(t)=f(p+th). Taylor de una variable entre t=0 y t=1 produce:

Esta técnica permite trasladar teoremas de resto de una variable al segmento que une los dos puntos.

10 · Orden arbitrario

Notación multiíndice

Para α=(α₁,α₂), definimos:

El polinomio de Taylor de grado k puede escribirse:

Para grado 3 en dos variables aparecen u³, u²v, uv² y v³, con coeficientes combinatorios determinados por α!.

Cantidad de términos

En n variables, el número de monomios de grado total hasta k es C(n+k,k). Crece rápidamente: los modelos de orden alto pueden resultar costosos aun cuando cada derivada sea calculable.

11 · Interpretación y aplicaciones

Qué aporta cada capa del modelo

Valor f(p)

Fija la altura o estado de referencia.

Gradiente

Describe inclinación y sensibilidad de primer orden.

Hessiano

Describe curvatura e interacción entre entradas.

Residuo

Mide la información descartada por el truncamiento.

Optimización

Los modelos cuadráticos originan métodos como Newton.

Incertidumbre

Permite corregir aproximaciones lineales cuando los cambios no son minúsculos.

Cerca de un punto crítico

Si ∇f(p)=0, desaparece el término lineal y el Hessiano domina el primer comportamiento visible:

Esta observación conectará Taylor con la clasificación de máximos, mínimos y sillas.

12 · Consideraciones numéricas

Evaluar sin perder precisión

Un polinomio local suele ser más barato que la función original, pero construirlo puede requerir gradientes y Hessianos costosos. Algunas prácticas útiles son:

• Reutilizar valores de derivadas cuando se evalúan muchos puntos cerca del mismo centro.
• Calcular la forma cuadrática como hᵀ(Hh) sin expandir todos los términos.
• Escalar variables con unidades o magnitudes muy diferentes.
• Comparar errores sobre varias escalas para verificar el orden esperado.
• No usar un polinomio fuera de la región donde fue validado.

Cancelación

Calcular el error como f−T resta valores casi iguales. A escalas muy pequeñas puede perder dígitos significativos. Para estudiar órdenes numéricos conviene usar precisión suficiente y evitar pasos extremos.

Simetrizar el Hessiano

Si un Hessiano numérico presenta pequeñas diferencias entre sus entradas mixtas, puede reemplazarse por (H+Hᵀ)/2 cuando la teoría garantiza simetría.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: exacta, lineal y cuadrática

Elegí una función, un punto y una dirección. El gráfico restringe los tres modelos a la recta p+tu. El marcador corresponde al desplazamiento seleccionado.

La curva violeta representa f sobre la dirección elegida; la línea celeste es T₁ y la dorada es T₂. Todas coinciden en t=0 hasta el orden correspondiente.

Preguntas para explorar

1. Reducí el desplazamiento diez veces y compará cómo caen ambos errores.
2. En la función cuadrática, verificá que T₂ es exacto para cualquier punto y dirección.
3. En la cúbica, mové el centro y observá cómo cambia el Hessiano.
4. En la gaussiana, compará el centro con una ladera.
5. Girando la dirección, buscá orientaciones con distinta curvatura.

14 · Implementación

Taylor con JavaScript

Forma cuadrática

function formaCuadratica(hessiano, h) {
  return h.reduce((suma, hi, i) =>
    suma + hi * hessiano[i].reduce(
      (subtotal, valor, j) => subtotal + valor * h[j],
      0
    ), 0);
}

console.log(formaCuadratica([[2, 1], [1, 4]], [0.1, -0.2]));

Modelos de primer y segundo orden

function taylor2(valor, gradiente, hessiano, h) {
  const lineal = gradiente.reduce((suma, derivada, i) => suma + derivada * h[i], 0);
  const cuadratico = h.reduce((suma, hi, i) =>
    suma + hi * hessiano[i].reduce(
      (subtotal, valorH, j) => subtotal + valorH * h[j], 0
    ), 0);
  return {
    orden1: valor + lineal,
    orden2: valor + lineal + 0.5 * cuadratico
  };
}

console.log(taylor2(1, [1, 1], [[1, 1], [1, 1]], [0.05, -0.02]));

Estimar el orden observado

function ordenObservado(errorGrande, errorPequeno, factorEscala) {
  if (!(errorGrande > 0 && errorPequeno > 0 && factorEscala > 1)) {
    return NaN;
  }
  return Math.log(errorGrande / errorPequeno) / Math.log(factorEscala);
}

// Si reducir h por 10 reduce el error por 1000, el orden observado es 3.
console.log(ordenObservado(1e-3, 1e-6, 10)); // aproximadamente 3

Al medir órdenes, evitá errores exactamente cero y escalas donde el redondeo domine. Una función polinómica puede hacer que un modelo sea exacto y el cociente deje de aportar información.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: Taylor lineal

Encontrá T₁ de f(x,y)=√(x²+y²) alrededor de (3,4).

Ejercicio 2: Taylor cuadrático

Construí T₂ de f(x,y)=x²+xy+y² en el origen.

Ejercicio 3: punto trasladado

Escribí T₁ para f(x,y)=xy alrededor de (1,2).

Ejercicio 4: término mixto

Si H=[[4,−3],[−3,2]], expandí (1/2)hᵀHh para h=(u,v).

Ejercicio 5: orden del error

Al dividir el desplazamiento por 2, el error de T₂ pasa aproximadamente de 8×10⁻⁴ a 1×10⁻⁴. ¿Qué orden sugiere?

Ejercicio 6: punto crítico

Una función tiene ∇f(p)=0 y H(p)=[[2,0],[0,6]]. ¿Qué predice T₂?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema usaremos gradiente y comportamiento local para identificar puntos críticos y extremos locales.