Puntos críticos y extremos locales

01 · Buscar comportamientos especiales

Dónde puede cambiar la tendencia local

En una variable, un extremo interior diferenciable suele aparecer donde la derivada se anula. En varias variables, la función debe dejar de crecer a primer orden en todas las direcciones, lo que conduce al gradiente cero.

Pero la geometría ofrece más posibilidades que una curva:

• La superficie puede formar un cuenco: mínimo local.
• Puede formar una cúpula: máximo local.
• Puede subir en unas direcciones y bajar en otras: punto silla.
• Puede aplanarse sin ser ninguno de los anteriores.
• Puede tener un extremo en un punto no diferenciable.
• Puede alcanzar extremos sobre la frontera sin gradiente cero.

02 · Definiciones locales

Máximo, mínimo y silla

Sea p un punto del dominio.

Si las desigualdades son estrictas para todo punto distinto de p en algún entorno, hablamos de extremo local estricto. Un extremo puede no ser aislado: una función constante sobre una región tiene simultáneamente máximos y mínimos no estrictos en todos sus puntos.

“Local” depende del dominio

El entorno se intersecta con el dominio. En una frontera solo se comparan puntos accesibles dentro del conjunto permitido.

03 · Puntos críticos

Dos fuentes de candidatos

Un punto interior p se considera crítico si ocurre al menos una de estas situaciones:

• f es diferenciable y ∇f(p)=0; se llama punto estacionario.
• Alguna derivada parcial o el gradiente no existe en p.

Los puntos críticos amplían la búsqueda para incluir esquinas, cúspides y otras irregularidades.

04 · Condición necesaria

Teorema de Fermat multivariable

La idea se obtiene restringiendo f a cualquier recta que pase por p. Cada función de una variable resultante tiene un extremo en el parámetro cero, por lo que su derivada direccional debe anularse. Si esto ocurre en todas las direcciones, el gradiente es cero.

Necesaria, no suficiente

La flecha no se puede invertir. Gradiente cero solo significa que el término lineal desaparece; el comportamiento puede depender de términos cuadráticos, cúbicos o superiores.

05 · Estrategia de búsqueda

Construir una lista completa de candidatos

1. 1
   Determiná el dominio.

   Identificá interior, frontera, vértices y puntos excluidos.

2. 2
   Calculá el gradiente en el interior.

   Obtené todas las primeras derivadas parciales.

3. 3
   Resolvé ∇f=0.

   Es un sistema de ecuaciones simultáneas, no problemas separados.

4. 4
   Agregá puntos no diferenciables.

   Solo si pertenecen al dominio y pueden compararse localmente.

5. 5
   Analizá la frontera cuando corresponda.

   Un extremo restringido puede tener gradiente no nulo.

6. 6
   Clasificá cada candidato.

   Usá comparación directa, caminos, estructura algebraica o criterios de segundo orden.

06 · Resolver el sistema crítico

Un polinomio con varios candidatos

Sea:

Sus parciales son:

El sistema ∇f=0 exige:

Por tanto:

Clasificación sin Hessiano

Como f es suma de cuadrados, f≥0 y en (±1,0) vale cero: son mínimos absolutos y, por tanto, locales.

En (0,0), f=1. Sobre el eje x, valores pequeños no nulos dan (x²−1)²<1; sobre el eje y, f(0,y)=1+y²>1. Hay valores menores y mayores: es un punto silla.

07 · Detectar una silla

Comparar caminos alrededor del candidato

Para f(x,y)=x²−y², el único punto estacionario es el origen. Sin embargo:

En cualquier disco alrededor del origen hay puntos con valor positivo y negativo. Por ello no es máximo ni mínimo, sino silla.

Caminos suficientes para negar, no siempre para afirmar

Encontrar dos caminos con signos opuestos demuestra una silla. Ver crecimiento sobre varios caminos no demuestra un mínimo, porque podrían quedar direcciones o trayectorias no examinadas.

Silla degenerada

La función f(x,y)=x³−3xy² también tiene gradiente cero en el origen. En coordenadas polares:

El signo cambia con θ, aunque todos los términos cuadráticos sean cero. Es una silla determinada por términos cúbicos.

08 · Extremos con punta

Cuando Fermat no puede aplicarse

Consideremos:

La función es no negativa y vale cero en el origen, de modo que allí tiene un mínimo absoluto. Pero las parciales respecto de x e y no existen bilateralmente en el origen.

Otro ejemplo es f(x,y)=|x|+|y|, con mínimo en (0,0) y una superficie formada por planos que se encuentran en aristas.

09 · Gradiente cero sin extremo

Más posibilidades además de la silla clásica

La función f(x,y)=x³ tiene ∇f(0,0)=0. En cualquier entorno, x positivo produce valores positivos y x negativo valores negativos. No es extremo.

Pero tampoco es una silla aislada típica: todos los puntos de la recta x=0 son estacionarios y la función no depende de y.

Extremo no estricto

Para f(x,y)=x², todo punto con x=0 es mínimo absoluto no estricto. El valor permanece constante al moverse en dirección y y aumenta al separarse transversalmente.

Conclusión

Resolver ∇f=0 no distingue entre extremos estrictos, extremos planos, sillas, mesetas o inflexiones multidimensionales.

10 · Fronteras y restricciones

Un extremo puede tener gradiente no nulo

Fermat exige un punto interior. En el disco cerrado x²+y²≤1, la función f(x,y)=x no tiene puntos estacionarios porque ∇f=(1,0). Sin embargo:

• Alcanza máximo absoluto 1 en (1,0).
• Alcanza mínimo absoluto −1 en (−1,0).

La frontera impide continuar en todas las direcciones. Para buscar extremos sobre ella podemos:

• Parametrizar la frontera y reducir a una variable.
• Resolver cada borde por separado en regiones poligonales.
• Usar multiplicadores de Lagrange, que se estudiarán más adelante.

11 · Local frente a absoluto

La escala de comparación

Un máximo local supera valores suficientemente cercanos; un máximo absoluto supera todos los valores del dominio. Todo extremo absoluto es local en el sentido relativo al dominio, pero un extremo local puede no ser absoluto.

Ejemplo de múltiples valles

La función (x²−1)²+y² tiene dos mínimos absolutos con igual valor. Si agregamos una pequeña inclinación, por ejemplo 0,1x, ambos valles pueden persistir como mínimos locales, pero uno queda más bajo y se vuelve el único mínimo absoluto.

Existencia de extremos absolutos

Una función continua sobre un conjunto cerrado y acotado alcanza máximo y mínimo absolutos. El teorema garantiza existencia, pero para encontrarlos hay que comparar:

El análisis completo de regiones cerradas se desarrollará en el tema 28.

12 · Búsqueda numérica de candidatos

Cuando el sistema no puede resolverse a mano

Para modelos complejos, puede buscarse dónde la norma del gradiente es pequeña:

Una malla gruesa localiza regiones candidatas; luego un método iterativo refina cada punto. Es importante iniciar desde varios lugares porque puede haber múltiples soluciones.

Limitaciones

• Gradiente pequeño no significa exactamente cero.
• Una región casi plana puede generar muchos falsos candidatos.
• Los métodos pueden converger varias veces al mismo punto.
• Los puntos no diferenciables requieren detectores distintos.
• La frontera debe buscarse por separado.

Descenso por gradiente

Un algoritmo de descenso busca mínimos, pero no enumera todos los críticos y puede detenerse en sillas o zonas planas. Localizar candidatos y optimizar son tareas relacionadas, no idénticas.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: mapa de candidatos

Elegí una función y mové el punto de prueba. Los marcadores señalan candidatos conocidos; la flecha muestra el gradiente negativo, dirección local de descenso.

Los tonos representan valores de la función y las bandas sugieren niveles. Los candidatos se marcan con círculos: verde para mínimo, rojo para máximo y dorado para silla.

Preguntas para explorar

1. En el doble pozo, llevá el punto a cada candidato y compará el sondeo.
2. En el cuenco y la cúpula, observá cómo el gradiente desaparece en el centro.
3. En la silla, compará los ejes cerca del origen.
4. En la silla de mono, reducí el radio y observá que persisten ambos signos.
5. Cambiá el radio de sondeo: una clasificación local debe estabilizarse a pequeña escala.

14 · Implementación

Buscar y sondear candidatos con JavaScript

Norma del gradiente

function esCandidatoEstacionario(gradiente, tolerancia = 1e-8) {
  return Math.hypot(...gradiente) <= tolerancia;
}

console.log(esCandidatoEstacionario([0, 0]));
console.log(esCandidatoEstacionario([1e-4, 0]));

Sondeo exploratorio de un entorno

function sondearEntorno(funcion, punto, radio, muestras = 64) {
  const centro = funcion(...punto);
  let hayMayor = false;
  let hayMenor = false;
  for (let i = 0; i < muestras; i += 1) {
    const angulo = 2 * Math.PI * i / muestras;
    const valor = funcion(
      punto[0] + radio * Math.cos(angulo),
      punto[1] + radio * Math.sin(angulo)
    );
    hayMayor ||= valor > centro;
    hayMenor ||= valor < centro;
  }
  return { hayMayor, hayMenor };
}

const silla = (x, y) => x ** 2 - y ** 2;
console.log(sondearEntorno(silla, [0, 0], 0.1));

Descenso de prueba

function pasoDescenso(punto, gradiente, tasa = 0.05) {
  return punto.map((valor, i) => valor - tasa * gradiente[i]);
}

const punto = [0.4, 0.5];
const gradiente = [4 * punto[0] * (punto[0] ** 2 - 1), 2 * punto[1]];
console.log(pasoDescenso(punto, gradiente));

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: candidatos estacionarios

Encontrá los puntos estacionarios de f(x,y)=x²+4y²−2x+8y.

Ejercicio 2: punto silla

Clasificá el origen para f(x,y)=xy sin usar el Hessiano.

Ejercicio 3: no diferenciable

¿Por qué f(x,y)=|x|+y² tiene un candidato que no aparece resolviendo gradiente cero?

Ejercicio 4: línea estacionaria

Describí los puntos críticos de f(x,y)=x⁴.

Ejercicio 5: frontera

En el cuadrado [−1,1]², ¿por qué los extremos de f(x,y)=x+y no satisfacen gradiente cero?

Ejercicio 6: condición necesaria

Una función diferenciable tiene ∇f(p)=(2,−1). ¿Puede p ser un extremo local interior?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema usaremos la matriz hessiana para clasificar muchos puntos estacionarios mediante su curvatura de segundo orden.