Matriz hessiana y clasificación de extremos

01 · Después del gradiente cero

La curvatura toma el control

En un punto estacionario p, el término lineal de Taylor desaparece:

La forma cuadrática del Hessiano predice si la función aumenta, disminuye o cambia de signo al separarnos de p.

• ¿La función aumenta en toda dirección cercana?
• ¿Disminuye en toda dirección?
• ¿Sube en unas direcciones y baja en otras?
• ¿Qué ocurre si alguna dirección tiene curvatura cuadrática cero?
• ¿Cómo extender el criterio a muchas variables?
• ¿Cómo manejar un Hessiano aproximado numéricamente?

02 · La matriz de curvatura

Recordar la construcción

Para f:ℝ²→ℝ:

Si las segundas parciales son continuas, las mixtas coinciden y H es simétrico:

La curvatura en una dirección unitaria u está dada por la segunda derivada direccional:

Por eso no alcanza observar fxx y fyy por separado: el término mixto puede inclinar las direcciones principales y cambiar la clasificación.

03 · Formas cuadráticas

Positiva, negativa o indefinida

Sea q(h)=hᵀHh. Su signo para vectores no nulos determina la forma local.

Si q nunca es negativa pero se anula en alguna dirección no nula, H es positiva semidefinida. El caso negativo es análogo. En ambos, el término cuadrático no decide por sí solo.

04 · Criterio en dos variables

El discriminante D

En un punto estacionario p, definimos:

05 · Justificación con Taylor

Por qué la definitud produce extremos

Si p es estacionario y f es suficientemente suave:

Si H es positivo definido, existe una constante m>0 tal que:

El término cuadrático positivo domina al residuo para h suficientemente pequeño. Entonces f(p+h)>f(p) y p es mínimo local estricto.

Con H negativo definido se obtiene un máximo. Si es indefinido, elegimos direcciones donde la forma cuadrática tiene signos opuestos; Taylor preserva esos signos cerca de p y demuestra una silla.

Por qué falla al degenerarse

Si q se anula en una dirección, el residuo puede dominar allí. Los términos de tercer, cuarto u órdenes superiores deciden el comportamiento.

06 · Tres clasificaciones básicas

Cuenco, cúpula y silla

Mínimo

Para f=x²+xy+y², el origen es estacionario y:

El origen es mínimo local estricto; de hecho, absoluto.

Máximo

Para f=−x²−3y²:

El origen es máximo local estricto.

Silla

Para f=x²+2xy−y²:

La forma cuadrática toma ambos signos y el origen es silla.

07 · Varios candidatos

Aplicar el criterio punto por punto

Volvamos a:

Los candidatos son (−1,0), (0,0) y (1,0). El Hessiano:

En (±1,0):

Ambos son mínimos locales estrictos. En (0,0):

Es un punto silla. El mismo Hessiano puede cambiar de definitud al evaluarse en diferentes puntos.

08 · Cuando D=0

La prueba no decide

Un determinante cero puede acompañar comportamientos muy distintos:

• f=x⁴+y⁴: mínimo estricto en el origen.
• f=−x⁴−y⁴: máximo estricto.
• f=x⁴−y⁴: silla.
• f=x³: cambio de signo y línea de puntos estacionarios.

En todos estos casos el Hessiano en el origen es la matriz cero.

Herramientas alternativas

1. 1
   Usá la estructura algebraica.

   Sumas de cuadrados o factorizaciones pueden fijar el signo.

2. 2
   Compará caminos.

   Signos opuestos demuestran una silla.

3. 3
   Examiná el primer término no nulo de Taylor.

   El orden superior puede reemplazar al cuadrático.

4. 4
   Aplicá la definición.

   Una desigualdad válida en todo un entorno ofrece una prueba concluyente.

09 · Direcciones principales

Clasificar mediante autovalores

Como el Hessiano continuo es simétrico, posee autovalores reales y direcciones propias ortogonales. En una base formada por autovectores:

Los signos determinan la definitud:

• Todos los autovalores positivos: mínimo local estricto.
• Todos negativos: máximo local estricto.
• Hay positivos y negativos: silla.
• Alguno es cero y los demás tienen un solo signo: criterio inconcluso.

Dos variables

Para H=[[a,b],[b,c]]:

Su producto es det H=D. Si D es negativo, los autovalores tienen signos opuestos; si D es positivo, tienen el mismo signo.

10 · Más variables

Criterio de Sylvester

En dimensiones mayores, calcular todos los autovalores no siempre es necesario. Para una matriz simétrica, definimos los menores principales líderes:

El criterio de Sylvester afirma:

• H es positiva definida si Δ₁>0,Δ₂>0,…,Δn>0.
• H es negativa definida si los signos alternan: Δ₁<0,Δ₂>0,Δ₃<0,….

Para matrices semidefinidas, revisar solo los menores líderes no basta; se requieren criterios más cuidadosos.

Interpretación

En n dimensiones, un mínimo exige curvatura positiva para cualquier combinación no nula de las entradas, no solamente sobre los ejes coordenados.

11 · Curvatura fuera de un crítico

Un Hessiano positivo no crea un extremo inmediato

Considere f(x,y)=x²+y²+x. El Hessiano es positivo definido en todo punto, pero el origen no es estacionario:

La función desciende inicialmente hacia x negativo. El mínimo se encuentra en (−1/2,0), donde el gradiente sí se anula.

Qué sí afirma el Hessiano

Un Hessiano positivo definido en una región indica convexidad local fuerte: las pendientes aumentan de manera coherente y cualquier punto estacionario de esa región será mínimo estricto. Pero la clasificación puntual requiere combinar primer y segundo orden.

12 · Clasificación numérica

Tolerancias, simetría y condicionamiento

Un Hessiano calculado con diferencias finitas puede no ser exactamente simétrico. Si la función teórica es C², suele simetrizarse:

Después se calculan autovalores con una tolerancia relativa a la escala de la matriz.

Valores cercanos a cero

Si el menor valor absoluto de los autovalores es comparable con el error numérico, clasificarlo como positivo o negativo es inestable. Debe informarse “casi degenerado” o “inconcluso” y examinar órdenes superiores.

Hessianos grandes

En muchas dimensiones puede ser costoso formar toda la matriz. Métodos iterativos estiman autovalores extremos usando productos Hessiano-vector, suficientes para detectar curvatura negativa o verificar positividad aproximada.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: función y forma cuadrática

El panel izquierdo muestra la función alrededor del punto. El derecho representa q(u,v)=hᵀHh. La clasificación solo se aplica cuando el gradiente es suficientemente pequeño.

Los colores claros y oscuros codifican valores relativos. En el panel cuadrático, un único signo indica cuenco o cúpula; dos signos indican silla.

Preguntas para explorar

1. En el doble pozo, compará x=−1, x=0 y x=1 sobre y=0.
2. Mové el punto fuera de un candidato: el Hessiano existe, pero no clasifica un extremo allí.
3. En la silla rotada, observá que los ejes de cambio no coinciden con x e y.
4. En la cuártica, llevá el punto al origen y verificá que la prueba queda inconclusa.
5. Compará la cuártica con la silla de mono: el mismo Hessiano cero acompaña comportamientos distintos.

14 · Implementación

Clasificar Hessianos con JavaScript

Autovalores de una matriz simétrica 2×2

function autovaloresSimetricos2x2(hessiano) {
  const [[a, b], [, c]] = hessiano;
  const discriminante = Math.hypot(a - c, 2 * b);
  return [(a + c + discriminante) / 2, (a + c - discriminante) / 2];
}

console.log(autovaloresSimetricos2x2([[2, 1], [1, 2]])); // [3, 1]

Clasificación con tolerancia

function clasificarHessiano(hessiano, tolerancia = 1e-10) {
  const [[a, b], [, c]] = hessiano;
  const raiz = Math.hypot(a - c, 2 * b);
  const valores = [(a + c + raiz) / 2, (a + c - raiz) / 2];
  if (valores.every(valor => valor > tolerancia)) return "mínimo";
  if (valores.every(valor => valor < -tolerancia)) return "máximo";
  if (valores[0] * valores[1] < -(tolerancia ** 2)) return "silla";
  return "inconcluso";
}

console.log(clasificarHessiano([[2, 1], [1, 2]]));

Simetrizar una aproximación

function simetrizar(matriz) {
  return matriz.map((fila, i) =>
    fila.map((valor, j) => (valor + matriz[j][i]) / 2)
  );
}

const aproximado = [[2, 1.000001], [0.999999, 4]];
console.log(simetrizar(aproximado)); // [[2, 1], [1, 4]]

La tolerancia debe escalarse según la magnitud de H y el error de cálculo. Un valor fijo sirve para ejemplos controlados, no para todos los problemas.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: mínimo

Clasificá el origen para f(x,y)=3x²+2xy+2y².

Ejercicio 2: máximo

Clasificá el origen para f(x,y)=−x²−4xy−5y².

Ejercicio 3: silla

Clasificá el origen para f(x,y)=x²+6xy+y².

Ejercicio 4: prueba inconclusa

¿Qué concluye el criterio para f(x,y)=x²+y⁴ en el origen? Clasificá por otro método.

Ejercicio 5: no estacionario

En f=x²+y²+2x, ¿puede clasificarse el origen como mínimo porque H es positivo definido?

Ejercicio 6: autovalores

Una matriz hessiana en ℝ³ tiene autovalores 2,5,−0,3,7. ¿Qué clasificación produce en un punto estacionario?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema ampliaremos la búsqueda a extremos absolutos en regiones cerradas, incorporando fronteras y vértices.