Extremos absolutos en regiones cerradas

01 · Del comportamiento local al global

Ya no alcanza mirar alrededor de un punto

Un mínimo local vence solamente a los puntos de un entorno. Un mínimo absoluto vence a todos los puntos del dominio K:

De manera análoga, p es máximo absoluto si f(p)≥f(x,y) en todo K. El objetivo ahora no es solo clasificar candidatos interiores: también debemos estudiar qué ocurre cuando la función llega a la frontera.

• ¿Cuándo sabemos que los extremos absolutos existen?
• ¿Por qué el gradiente nulo no encuentra todos los candidatos?
• ¿Cómo se reduce una arista o una curva a un problema de una variable?
• ¿Qué papel cumplen vértices, esquinas y puntos no regulares?
• ¿Cómo comparar candidatos sin perder ninguna parte del dominio?
• ¿Qué cambia si la región es abierta o no está acotada?

02 · La garantía de existencia

Teorema del valor extremo

En ℝⁿ, un conjunto es compacto si es cerrado y acotado. El teorema de Weierstrass afirma:

El teorema garantiza que los valores se alcanzan; no dice dónde están ni que sean únicos. Esa separación es importante:

• Existencia: continuidad de f y compacidad de K.
• Localización: derivadas, parametrizaciones y análisis de fronteras.
• Decisión: comparación de todos los valores candidatos.

Una región puede ser compacta aunque tenga agujeros o varias componentes. Lo esencial es que contenga toda su frontera y que quepa dentro de alguna bola finita.

03 · Algoritmo conceptual

Buscar sin dejar zonas afuera

1. 1
   Verificá las hipótesis.

   Determiná si la región es cerrada y acotada y si la función es continua sobre ella.

2. 2
   Analizá el interior.

   Resolvé ∇f=0 e incluí puntos interiores donde las derivadas no existan.

3. 3
   Dividí la frontera.

   Separala en aristas, curvas suaves, vértices y puntos singulares.

4. 4
   Reducí cada pieza.

   Parametrizá la curva o sustituí su ecuación para obtener una función de una variable.

5. 5
   Incluí extremos de parámetros.

   Son los vértices o puntos de unión; evitá perderlos o contarlos como únicos por accidente.

6. 6
   Evaluá y compará.

   El menor valor de la lista es el mínimo absoluto y el mayor, el máximo absoluto.

7. 7
   Escribí la conclusión completa.

   Indicá valores y todos los puntos donde se alcanzan.

El Hessiano puede ayudar a entender candidatos interiores, pero no reemplaza la comparación global. Incluso un punto silla puede convivir con máximos y mínimos absolutos situados en la frontera.

04 · Primera fuente de candidatos

Puntos del interior

Si f es diferenciable y alcanza un extremo en un punto interior p, entonces:

Es una condición necesaria, no suficiente. Deben agregarse los puntos interiores donde f sea continua pero no diferenciable. Por ejemplo, f(x,y)=√(x²+y²) tiene un mínimo en el origen aunque allí no exista el gradiente.

05 · Fronteras por tramos

Ejemplo completo sobre un rectángulo

Busquemos los extremos de f(x,y)=x²+y²−2x−4y en R=[0,3]×[0,3].

Interior

Cuatro aristas

• y=0: g(x)=x²−2x, con g′=2x−2; candidato (1,0).
• y=3: g(x)=x²−2x−3; candidato (1,3).
• x=0: h(y)=y²−4y; candidato (0,2).
• x=3: h(y)=y²−4y+3; candidato (3,2).

También se evalúan los cuatro vértices. Al reunir la tabla:

Por comparación, el mínimo absoluto es −5 en (1,2) y el máximo absoluto es 3 en (3,0).

06 · Frontera curva

Parametrizar convierte el borde en una variable

En el disco D={(x,y):x²+y²≤4}, la circunferencia se parametriza como:

Para f(x,y)=x+y no hay puntos críticos interiores porque ∇f=(1,1). Sobre el borde:

Los candidatos satisfacen cos t=sen t. Se obtienen:

• máximo absoluto 2√2 en (√2,√2);
• mínimo absoluto −2√2 en (−√2,−√2).

Como la parametrización es periódica, t=0 y t=2π representan el mismo punto. Conviene evitar duplicaciones, pero nunca omitir el punto geométrico.

07 · Esquinas y uniones

Regiones poligonales

Sea el triángulo T={(x,y):x≥0, y≥0, x+y≤2} y f(x,y)=xy.

En el interior, ∇f=(y,x) no se anula. Las fronteras son:

• x=0: f=0.
• y=0: f=0.
• y=2−x: g(x)=x(2−x), con 0≤x≤2.

Como g′(x)=2−2x, aparece el candidato x=1, es decir, (1,1), donde f=1. En los vértices (0,0), (2,0) y (0,2), f=0.

Por tanto, el máximo absoluto es 1 en (1,1), mientras que el mínimo absoluto 0 se alcanza en todos los puntos de las dos aristas coordenadas, no solamente en los vértices.

08 · Agujeros y componentes

Cada pieza de frontera cuenta

La corona 1≤x²+y²≤4 tiene dos componentes de frontera: los círculos de radios 1 y 2. Si se estudia solamente el borde exterior, pueden perderse extremos.

Para f(x,y)=x²+y² en esa corona:

• el mínimo absoluto es 1 y se alcanza en todo el círculo interior;
• el máximo absoluto es 4 y se alcanza en todo el círculo exterior.

Del mismo modo, si K es la unión de varias regiones disjuntas, se analiza cada componente y luego se realiza una única comparación global. “Cerrada” no significa necesariamente “sin agujeros” ni “conectada”.

09 · Cuando no hay garantía

Abierto, no acotado o discontinuo

El teorema da condiciones suficientes, no necesarias. Una función puede tener extremos aunque alguna hipótesis falle: x²+y² en ℝ² tiene mínimo absoluto en el origen pese a que el dominio no es acotado.

10 · Otra mirada sobre la frontera

Relación con las restricciones

Si una frontera suave se describe mediante g(x,y)=c, un extremo restringido suele satisfacer que ∇f es paralelo a ∇g. Geométricamente, la curva de nivel de f es tangente a la frontera.

Esta ecuación es el método de multiplicadores de Lagrange, tema que se desarrollará a continuación. En este tema usamos sustitución o parametrización porque hacen explícita la reducción a una variable.

Los vértices y puntos donde ∇g=0 requieren tratamiento separado: allí la condición de paralelismo puede no aplicarse. Por eso ningún método algebraico elimina la necesidad de comprender la geometría del dominio.

11 · La tabla final

Comparar valores, no etiquetas locales

Después de generar candidatos, la decisión es aritmética. Conviene guardar registros con punto, valor y procedencia:

El menor valor de C determina el mínimo y el mayor determina el máximo. Si varios candidatos comparten el mismo valor extremo, deben informarse todos. Si una pieza completa tiene valor constante, la respuesta es un conjunto infinito de puntos.

12 · Aproximación computacional

Mallas, fronteras y errores de discretización

Cuando las ecuaciones no se resuelven en forma cerrada, una malla permite explorar la región. El procedimiento numérico debe muestrear por separado interior y frontera, porque una cuadrícula cartesiana puede no caer exactamente sobre una curva.

• Refiná la malla alrededor de los mejores valores encontrados.
• Parametrizá el borde para que siempre quede incluido.
• Evaluá explícitamente vértices y singularidades.
• Reportá precisión y resolución; un resultado muestreado es aproximado.
• Usá el resultado como punto inicial de un optimizador restringido.

Con paso h, el error de posición puede ser del orden de h. El error en el valor depende además de la pendiente y curvatura de f. Duplicar la resolución mejora la aproximación, pero aumenta cuadráticamente el costo en dos dimensiones.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: interior, aristas y vértices

El mapa representa una función sobre el rectángulo [−a,a]×[−b,b]. El laboratorio recorre una malla densa, distingue el interior de la frontera y marca los extremos aproximados.

El color codifica el valor de la función. El círculo azul marca el mínimo y el rojo, el máximo; una línea punteada separa visualmente el borde de la región.

Preguntas para explorar

1. En el cuenco, reducí la caja hasta excluir el centro (0,6; −0,3). ¿A qué parte de la frontera migra el mínimo?
2. En el plano, verificá que ambos extremos están en vértices.
3. En la silla, observá que el punto crítico interior no es ninguno de los extremos absolutos.
4. En la onda, aumentá a y b: aparecen varios puntos con valores casi iguales.
5. Compará resoluciones y observá cómo cambia la posición aproximada, especialmente en funciones no lineales.

14 · Implementación

Organizar candidatos con JavaScript

Comparar una lista sin perder empates

function extremos(candidatos, tolerancia = 1e-10) {
  const valores = candidatos.map(candidato => candidato.valor);
  const minimo = Math.min(...valores);
  const maximo = Math.max(...valores);
  return {
    minimo,
    puntosMinimos: candidatos.filter(c => Math.abs(c.valor - minimo) < tolerancia),
    maximo,
    puntosMaximos: candidatos.filter(c => Math.abs(c.valor - maximo) < tolerancia)
  };
}

const candidatos = [
  { punto: [1, 2], valor: -5, fuente: "interior" },
  { punto: [3, 0], valor: 3, fuente: "vértice" },
  { punto: [0, 0], valor: 0, fuente: "vértice" }
];
console.log(extremos(candidatos));

Muestrear una curva parametrizada

function muestrearCurva(parametrizacion, funcion, inicio, fin, pasos = 1000) {
  const puntos = [];
  for (let i = 0; i <= pasos; i++) {
    const t = inicio + (fin - inicio) * i / pasos;
    const [x, y] = parametrizacion(t);
    puntos.push({ t, punto: [x, y], valor: funcion(x, y) });
  }
  return puntos;
}

const circulo = t => [2 * Math.cos(t), 2 * Math.sin(t)];
const borde = muestrearCurva(circulo, (x, y) => x + y, 0, 2 * Math.PI);
console.log(borde.reduce((mejor, p) => p.valor > mejor.valor ? p : mejor));

Explorar una región definida por una condición

function explorarCaja(funcion, pertenece, limites, paso) {
  let minimo = null;
  let maximo = null;
  for (let x = limites.xMin; x <= limites.xMax + paso / 2; x += paso) {
    for (let y = limites.yMin; y <= limites.yMax + paso / 2; y += paso) {
      if (!pertenece(x, y)) continue;
      const candidato = { x, y, valor: funcion(x, y) };
      if (!minimo || candidato.valor < minimo.valor) minimo = candidato;
      if (!maximo || candidato.valor > maximo.valor) maximo = candidato;
    }
  }
  return { minimo, maximo };
}

const resultado = explorarCaja(
  (x, y) => x + y,
  (x, y) => x * x + y * y <= 4,
  { xMin: -2, xMax: 2, yMin: -2, yMax: 2 },
  0.05
);
console.log(resultado);

El muestreo sirve para explorar y validar, pero no constituye por sí solo una demostración exacta. Para una conclusión analítica deben localizarse todos los candidatos mediante cálculo o justificarse una cota global.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: caja y función lineal

Encontrá los extremos de f(x,y)=3x−2y en [−1,2]×[0,4].

Ejercicio 2: disco

Buscá los extremos de f=x²+y²−2x en el disco x²+y²≤4.

Ejercicio 3: triángulo

Determiná los extremos de f=x+y en x≥0, y≥0, x+y≤3.

Ejercicio 4: corona

Encontrá los extremos de f(x,y)=x en 1≤x²+y²≤9.

Ejercicio 5: dominio abierto

¿Tiene extremos absolutos f=x²+y² en x²+y²<1?

Ejercicio 6: punto no diferenciable

Analizá f(x,y)=|x|+|y| en [−1,1]².

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema sistematizaremos el análisis de fronteras suaves mediante multiplicadores de Lagrange.