Optimización con restricciones

01 · Moverse sin abandonar el dominio

Optimizar sobre una curva o superficie

En muchos problemas las variables no son independientes. Un punto (x,y) puede estar obligado a satisfacer una ecuación como x²+y²=1, o un vector de ℝ³ debe permanecer sobre un plano.

Buscamos extremos de una función objetivo f sujetos a una restricción:

• ¿Por qué un extremo restringido puede tener ∇f≠0?
• ¿De dónde surge la ecuación ∇f=λ∇g?
• ¿Cómo se resuelve el sistema sin olvidar la restricción?
• ¿Qué representa el multiplicador λ?
• ¿Qué cambia con varias restricciones o desigualdades?
• ¿Cuándo puede fallar el método regular?

02 · Curvas de nivel en contacto

La interpretación geométrica

La curva g(x,y)=c determina los puntos factibles. En un punto regular p, ∇g(p) es perpendicular a esa curva. Por otra parte, ∇f(p) es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por p.

Si ambas curvas se cruzaran transversalmente, podríamos avanzar sobre la restricción hacia valores mayores o menores de f. En un extremo restringido son tangentes, por lo que sus normales son paralelas:

El número λ permite distinta longitud y orientación. Puede ser positivo, negativo o cero. No es un nuevo dato del problema: es una incógnita auxiliar que hace algebraica la condición de paralelismo.

03 · Argumento con direcciones permitidas

Por qué aparece el multiplicador

Sea r(t) una trayectoria contenida en la restricción con r(0)=p. Como g(r(t))=c, al derivar:

Todo vector tangente permitido v=r′(0) es ortogonal a ∇g. Si p es extremo de f sobre la curva, también:

En el plano, el espacio normal a una curva regular tiene dimensión uno. Como ∇f y ∇g son ortogonales a todos los vectores tangentes, deben pertenecer a la misma recta normal. Así se obtiene ∇f=λ∇g.

04 · Método operativo

Un sistema con una incógnita adicional

Para dos variables y una restricción, se resuelven tres ecuaciones en x, y y λ:

1. 1
   Escribí objetivo y restricción.

   Pasá la restricción a la forma g=c y describí el conjunto factible.

2. 2
   Comprobá regularidad.

   Buscá puntos factibles donde ∇g=0; deben analizarse aparte.

3. 3
   Formá las ecuaciones.

   Igualá componente a componente ∇f y λ∇g, sin omitir g=c.

4. 4
   Resolvé por casos.

   Antes de dividir por una variable, separá el caso en que esa variable vale cero.

5. 5
   Filtrá candidatos.

   Verificá cada solución en la restricción original.

6. 6
   Evaluá f.

   Compará valores si el conjunto es compacto o realizá un análisis adicional si no lo es.

05 · Ejemplo fundamental

Función lineal sobre un círculo

Busquemos los extremos de f(x,y)=x+2y sujetos a x²+y²=1.

De las primeras ecuaciones:

Al sustituir en el círculo:

Los candidatos son (1/√5,2/√5) y su opuesto. Sus valores son √5 y −√5. Como el círculo es compacto y f es continua:

• máximo absoluto √5 en (1/√5,2/√5);
• mínimo absoluto −√5 en (−1/√5,−2/√5).

El resultado coincide con Cauchy–Schwarz: el producto escalar (1,2)·(x,y) es extremo cuando ambos vectores son paralelos.

06 · Resolver sin perder casos

Producto sobre una elipse

Optimicemos f(x,y)=xy sujeto a x²/4+y²=1. El sistema es:

Ni x ni y pueden ser cero en una solución del sistema: si una lo fuera, las ecuaciones obligarían a que ambas fueran cero, contradiciendo la restricción. Podemos multiplicar o dividir con esa justificación:

Con la elipse se obtienen cuatro puntos:

• (√2,1/√2) y (−√2,−1/√2), donde f=1;
• (√2,−1/√2) y (−√2,1/√2), donde f=−1.

Los dos primeros son máximos absolutos y los otros dos, mínimos absolutos. Un extremo no tiene por qué ser único.

07 · Una notación unificada

La función lagrangiana

Se define:

Sus ecuaciones estacionarias son exactamente:

El signo delante de λ es una convención. Si se usa ℒ=f+λ(g−c), cambia el signo del multiplicador pero no los puntos candidatos ni los valores de f.

Esta formulación permite tratar todas las variables simétricamente y es la base de los métodos numéricos de optimización restringida.

08 · Sensibilidad del valor óptimo

Qué significa λ

Consideremos el valor óptimo V(c) cuando se modifica levemente el nivel de la restricción g(x)=c. Bajo hipótesis de regularidad, el multiplicador satisface aproximadamente:

Así, λ mide cuánto cambia el valor óptimo por unidad de relajación de la restricción. Se lo llama precio sombra en economía y sensibilidad marginal en optimización.

El signo depende de cómo se escribió g=c y de la convención de la lagrangiana. Por eso un valor de λ solo se interpreta junto con la formulación exacta del problema.

09 · Más de una condición

Intersección de superficies

Con restricciones g₁(x)=c₁,…,gₘ(x)=cₘ, la condición se generaliza a:

El gradiente de f pertenece al espacio generado por las normales de las restricciones. Para que el teorema regular se aplique, esas normales deben ser linealmente independientes en el punto candidato.

Ejemplo: extremar f(x,y,z)=z sujeto a la esfera x²+y²+z²=1 y al plano x+y=0. Se plantea:

Junto con ambas restricciones, el sistema localiza los puntos de mayor y menor altura sobre la circunferencia de intersección.

10 · Regiones con interior

Restricciones de desigualdad

Para una región g(x)≤c hay dos posibilidades:

• Restricción inactiva: el extremo está en el interior, g(x)<c, y se busca con ∇f=0.
• Restricción activa: el extremo está en la frontera, g(x)=c, y se aplica Lagrange.

Con varias desigualdades pueden activarse distintas combinaciones. En un rectángulo se analizan interior, cada arista y vértices, tal como vimos en el tema anterior.

La generalización formal son las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker (KKT), que agregan factibilidad, signos de multiplicadores y complementariedad. Lagrange es el núcleo del caso de igualdades.

11 · Hipótesis que no deben ocultarse

Puntos singulares de la restricción

El teorema regular exige ∇g(p)≠0. Si el gradiente se anula, la ecuación puede no producir el extremo.

Por ejemplo, la restricción g(x,y)=x²−y³=0 tiene una cúspide en el origen y ∇g(0,0)=(0,0). Para cualquier objetivo con gradiente no nulo allí, la igualdad ∇f=λ∇g es imposible, aunque el origen pueda ser extremo restringido.

Procedimiento seguro:

1. resolver g=c junto con ∇g=0;
2. guardar esos puntos como candidatos singulares;
3. aplicar Lagrange solamente en la parte regular;
4. evaluar y comparar todos los candidatos.

12 · Clasificación restringida

Curvatura solo en direcciones tangentes

Para clasificar un candidato de Lagrange no se examina el Hessiano de f en todas las direcciones, sino la curvatura de la lagrangiana sobre el espacio tangente.

• Si q(v)>0 para todo vector tangente no nulo, hay mínimo restringido estricto.
• Si q(v)<0 para todo vector tangente no nulo, hay máximo restringido estricto.
• Si cambia de signo, no hay extremo restringido.
• Si se anula en alguna dirección, el criterio puede ser inconcluso.

Cuando la restricción es compacta, muchas veces basta evaluar f en todos los candidatos para decidir extremos absolutos, sin realizar esta clasificación local.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: tangencia sobre una elipse

La curva blanca es x²/a²+y²/b²=1. El laboratorio muestrea la elipse, marca los extremos y estima λ proyectando ∇f sobre ∇g. Un residuo pequeño indica gradientes casi paralelos.

El fondo codifica valores de f. Los círculos azul y rojo indican mínimo y máximo sobre la restricción; las flechas muestran los gradientes de f y g.

Preguntas para explorar

1. Con la función lineal, cambiá la elipse y observá que los puntos de contacto se desplazan.
2. Con el producto, buscá los cuatro puntos alternados de máximo y mínimo.
3. Con la distancia, comprobá que el punto de la elipse más cercano a (1; −0,5) no suele estar sobre una dirección radial.
4. Con x²−y², compará la cantidad de extremos cuando a y b se parecen.
5. Aumentá las muestras y verificá que disminuya el residuo de paralelismo.

14 · Implementación

Comprobar condiciones de Lagrange con JavaScript

Estimar el multiplicador y el residuo

function multiplicador(gradienteF, gradienteG) {
  const producto = gradienteF.reduce((suma, valor, i) =>
    suma + valor * gradienteG[i], 0
  );
  const normaG2 = gradienteG.reduce((suma, valor) => suma + valor ** 2, 0);
  if (normaG2 === 0) return { lambda: NaN, residuo: Infinity };
  const lambda = producto / normaG2;
  const residuo = Math.hypot(...gradienteF.map(
    (valor, i) => valor - lambda * gradienteG[i]
  ));
  return { lambda, residuo };
}

console.log(multiplicador([1, 2], [2 / Math.sqrt(5), 4 / Math.sqrt(5)]));

Muestrear una restricción paramétrica

function extremosEnElipse(funcion, a, b, muestras = 2000) {
  const puntos = Array.from({ length: muestras }, (_, i) => {
    const t = 2 * Math.PI * i / muestras;
    const x = a * Math.cos(t);
    const y = b * Math.sin(t);
    return { x, y, valor: funcion(x, y) };
  });
  return {
    minimo: puntos.reduce((p, q) => q.valor < p.valor ? q : p),
    maximo: puntos.reduce((p, q) => q.valor > p.valor ? q : p)
  };
}

console.log(extremosEnElipse((x, y) => x + 2 * y, 2, 1));

Verificar factibilidad

function filtrarFactibles(candidatos, restriccion, nivel, tolerancia = 1e-8) {
  return candidatos.filter(punto =>
    Math.abs(restriccion(...punto) - nivel) <= tolerancia
  );
}

const candidatos = [[1, 0], [0, 1], [0.8, 0.6], [0, 0]];
const factibles = filtrarFactibles(
  candidatos,
  (x, y) => x ** 2 + y ** 2,
  1
);
console.log(factibles);

El residuo verifica numéricamente la condición de paralelismo, pero no demuestra que el punto sea extremo ni que se hayan encontrado todas las soluciones. Siempre deben comprobarse factibilidad, regularidad y cobertura de candidatos.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: suma sobre un círculo

Extremá f(x,y)=x+y sujeto a x²+y²=2.

Ejercicio 2: distancia a una recta

Minimizá f=x²+y² sujeto a x+2y=6.

Ejercicio 3: volumen

Una caja rectangular tiene área superficial 2(xy+xz+yz)=6. ¿Qué dimensiones positivas maximizan V=xyz?

Ejercicio 4: varias restricciones

Extremá z sobre x²+y²+z²=1 y x+y=0.

Ejercicio 5: restricción singular

¿Por qué Lagrange regular no detecta directamente el origen al optimizar f=x sobre y²=x³ cerca del origen?

Ejercicio 6: sensibilidad

Si el valor máximo V(c) de un problema satisface λ=3 en g(x)=c, estimá el cambio al pasar de c a c+0,02.

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema convertiremos la dirección de máximo crecimiento en un algoritmo: descenso por gradiente.