Integrales dobles y sumas de Riemann

01 · Acumular sobre una superficie

De intervalos a regiones planas

Una integral de una variable acumula altura × ancho. En dos variables, cada pequeña contribución es altura × área. La integral doble reúne esas contribuciones sobre una región R:

Cuando f≥0, puede interpretarse como el volumen bajo la superficie z=f(x,y) y encima de R. Si f cambia de signo, representa volumen con signo: lo que queda bajo el plano z=0 resta.

• ¿Cómo se divide una región bidimensional?
• ¿Qué representa el elemento de área dA?
• ¿Por qué deja de importar el punto elegido dentro de cada celda?
• ¿Qué funciones admiten una integral doble?
• ¿Cómo se interpretan signo, unidades y valor medio?
• ¿Cómo se aproxima la integral mediante un programa?

02 · Dividir un rectángulo

La malla y sus celdas

Sea R=[a,b]×[c,d]. Dividimos el intervalo x en m partes y el intervalo y en n partes:

Cada subrectángulo tiene área:

La celda de índices i,j puede escribirse como:

Una partición uniforme facilita cálculos y programas, pero la definición también permite celdas de tamaños diferentes. Lo que debe tender a cero es el diámetro de la celda más grande.

03 · Prismas locales

Construir una suma doble de Riemann

En cada celda Rᵢⱼ elegimos un punto de muestra (xᵢ*,yⱼ*). Aproximamos la superficie mediante un prisma de altura f en ese punto:

Cada sumando conserva tres piezas de información:

• la ubicación de la celda;
• el valor representativo de la función;
• el área sobre la que ese valor actúa.

Si f tiene unidades de densidad por metro cuadrado y dA se mide en metros cuadrados, el producto tiene unidades de cantidad total. El análisis dimensional ayuda a detectar factores de área omitidos.

04 · El límite independiente

Definición de integral doble

Decimos que f es integrable sobre R y que su integral vale I si todas las sumas de Riemann se aproximan a I cuando la malla se hace fina, independientemente de los puntos elegidos:

||P|| representa el tamaño de la celda más grande. No basta hacer crecer m dejando fija la partición en y: las dimensiones de todas las celdas deben reducirse.

05 · Primera suma completa

La función f(x,y)=x+y en el cuadrado

Tomemos R=[0,1]×[0,1], una malla n×n y las esquinas superiores derechas:

La suma es:

Separando los términos y usando Σi=n(n+1)/2:

Por lo tanto:

La suma de esquinas derechas sobreestima porque la función aumenta en ambas variables. Con puntos medios, en este ejemplo lineal, el valor es exactamente 1 para cualquier n.

06 · Elegir representantes

Izquierda, centro, derecha o puntos libres

En una celda pueden elegirse distintos puntos:

• Inferior izquierdo: usa el comienzo de ambos subintervalos.
• Punto medio: usa el centro geométrico de la celda.
• Superior derecho: usa el final de ambos subintervalos.
• Aleatorio: selecciona un punto dentro de cada celda.

Para funciones crecientes en ambas variables, las dos esquinas generan cotas inferior y superior. En general, “izquierda” o “derecha” no determina por sí solo una cota: el comportamiento puede diferir según la dirección.

Los puntos medios suelen mejorar la precisión porque compensan parte de la variación local, aunque la definición de integral no privilegia un método particular.

07 · Volumen algebraico

Las contribuciones negativas restan

Si f toma valores positivos y negativos, la integral no es el volumen geométrico total:

Para obtener el volumen sin cancelación se integra |f|. Por ejemplo, f(x,y)=x sobre [−1,1]×[0,1] tiene integral cero por simetría, aunque la superficie encierra volumen a ambos lados del plano z=0.

La cancelación puede ser el fenómeno buscado: carga neta, flujo orientado, desviación respecto de una media o balance de ganancias y pérdidas.

08 · Reglas estructurales

Linealidad, aditividad y comparación

Para funciones integrables y constantes α,β:

Si R se divide en regiones interiores disjuntas R₁ y R₂:

Además:

• si f≤g sobre R, entonces ∬f≤∬g;
• |∬f|≤∬|f|;
• si m≤f≤M, entonces m·área(R)≤∬f≤M·área(R).

Estas propiedades permiten estimar integrales sin calcularlas exactamente.

09 · Una altura representativa

Valor medio sobre una región

Si R tiene área positiva, el valor promedio de f es:

Para una función continua existe al menos un punto de R donde f toma ese valor promedio. Geométricamente, un prisma de base R y altura f_prom tiene el mismo volumen con signo que la superficie.

Ejemplo: para f=x+y sobre [0,2]×[0,1], la integral es 3 y el área es 2, así que el promedio es 3/2. Coincide con el valor de f en el centro (1,1/2), aunque esa coincidencia exacta no ocurre para toda función.

10 · Más que volumen

Acumulación de densidades

La integral doble modela cualquier cantidad distribuida sobre una lámina:

• Masa: M=∬ρ(x,y)dA.
• Carga: integral de densidad superficial de carga.
• Población: densidad de habitantes por unidad de área.
• Probabilidad: integral de una densidad conjunta sobre un evento.
• Costo: costo local por área acumulado sobre un territorio.

En cada caso, el integrando es una tasa local y dA aporta la porción de región. El producto tiene unidades de cantidad, que luego se suma.

11 · Más allá de los rectángulos

Celdas que cubren una región general

Para una región acotada D, se puede superponer una malla rectangular y sumar solo las celdas interiores, tratando con cuidado las que cruzan la frontera. Equivalentemente, se extiende f por cero fuera de D dentro de una caja R:

χD vale 1 dentro de D y 0 fuera. Cuando la frontera tiene área cero, la ambigüedad de las celdas que la tocan desaparece en el límite.

En temas posteriores describiremos regiones mediante límites variables y cambios de coordenadas, evitando aproximarlas celda por celda.

12 · Error y costo computacional

Refinar con criterio

Una malla m×n requiere mn evaluaciones. Duplicar la resolución en ambas direcciones multiplica el costo por cuatro. Por eso conviene medir el error observado:

Si se conoce el valor exacto I, se usan error absoluto |S−I| y relativo |S−I|/|I|. El relativo no es informativo cuando I es cero o muy pequeño.

• Refiná más donde f cambia rápidamente.
• Usá puntos medios para funciones suaves.
• Separá discontinuidades o singularidades conocidas.
• Acumulá con cuidado si hay números de magnitudes muy diferentes.
• No presentes más dígitos que los justificados por el error.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: una suma que converge

El panel izquierdo muestra la partición de [0,a]×[0,b] y el punto de muestra de cada celda. El panel derecho muestra el error para mallas cuadradas crecientes.

El color de cada celda representa el valor muestreado; los puntos blancos indican dónde se evaluó la función. El gráfico usa escala logarítmica para el error.

Preguntas para explorar

1. Para x+y, compará esquina inferior, punto medio y esquina superior.
2. Verificá que el punto medio integra exactamente las funciones lineal y producto en estas mallas.
3. Con x²+y², duplicá m y n y observá cómo disminuye el error.
4. En la onda, cambiá el tamaño del rectángulo para introducir cancelación.
5. Usá muchas columnas y pocas filas: ¿por qué refinar una sola dirección puede ser insuficiente?

14 · Implementación

Sumas dobles con JavaScript

Regla del punto medio

function integralDoblePuntoMedio(funcion, xMin, xMax, yMin, yMax, m, n) {
  const dx = (xMax - xMin) / m;
  const dy = (yMax - yMin) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < m; i++) {
    const x = xMin + (i + 0.5) * dx;
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      const y = yMin + (j + 0.5) * dy;
      suma += funcion(x, y) * dx * dy;
    }
  }
  return suma;
}

console.log(integralDoblePuntoMedio((x, y) => x + y, 0, 1, 0, 1, 20, 20));

Comparar refinamientos

function estudiarConvergencia(aproximar, niveles = 6) {
  const resultados = [];
  let anterior = null;
  for (let k = 0; k < niveles; k++) {
    const n = 2 ** k;
    const valor = aproximar(n);
    resultados.push({
      n,
      valor,
      cambio: anterior === null ? null : Math.abs(valor - anterior)
    });
    anterior = valor;
  }
  return resultados;
}

const datos = estudiarConvergencia(n => {
  const paso = 1 / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) for (let j = 0; j < n; j++)
    suma += ((i + 0.5) * paso) ** 2 * paso ** 2;
  return suma;
});
console.table(datos);

Sumar solo puntos de una región

function integrarRegion(funcion, pertenece, limite, n) {
  const paso = 2 * limite / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      const x = -limite + (i + 0.5) * paso;
      const y = -limite + (j + 0.5) * paso;
      if (pertenece(x, y)) suma += funcion(x, y) * paso ** 2;
    }
  }
  return suma;
}

const areaDisco = integrarRegion(
  () => 1,
  (x, y) => x ** 2 + y ** 2 <= 1,
  1,
  500
);
console.log(areaDisco, Math.PI);

El último método aproxima también la frontera de la región, por lo que su error combina la cuadratura de f y la pixelización del dominio.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: suma pequeña

Aproximá ∬[0,2]×[0,1](x+y)dA con una malla 2×1 y puntos medios.

Ejercicio 2: función constante

¿Cuánto vale ∬R7dA si el área de R es 12?

Ejercicio 3: simetría y signo

Sin calcular una suma, determiná ∬[−2,2]×[0,3]x³(1+y²)dA.

Ejercicio 4: cotas

Si 2≤f≤5 en una región de área 6, acotá su integral.

Ejercicio 5: valor promedio

Una función tiene integral 24 sobre una región de área 8. ¿Cuál es su valor promedio?

Ejercicio 6: unidades

ρ está expresada en kg/m² y se integra respecto de dA sobre una placa. ¿Qué unidad tiene el resultado?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema transformaremos la integral doble en integrales sucesivas mediante el teorema de Fubini.