Integrales iteradas y teorema de Fubini

01 · Desarmar una acumulación bidimensional

Dos integrales de una variable

La suma de Riemann doble tiene dos índices. Como una suma finita puede organizarse primero por filas o por columnas, esperamos convertir la integral doble sobre un rectángulo en dos integrales sucesivas.

La integral interior acumula a lo largo de un segmento. Su resultado depende de la variable que todavía no fue integrada. La integral exterior acumula después esos resultados parciales.

• ¿Qué variable se trata como constante en cada etapa?
• ¿Cómo se leen los diferenciales de adentro hacia afuera?
• ¿Cuándo pueden intercambiarse los órdenes?
• ¿Por qué ambos órdenes producen el mismo valor?
• ¿Qué ventajas algebraicas puede tener un orden?
• ¿Qué ocurre si la integral no converge absolutamente?

02 · El diferencial manda

Leer de adentro hacia afuera

En la expresión:

el dx indica que primero se integra respecto de x. Durante esa operación, y se mantiene fija, como si fuera una constante. El resultado es una función:

Después se calcula ∫cdA(y)dy. Los límites a,b pertenecen a x; c,d pertenecen a y. En un rectángulo son constantes porque el ancho de cada corte no depende de la otra variable.

03 · El puente teórico

Teorema de Fubini en rectángulos

La continuidad es una condición suficiente cómoda, no la más general. Fubini también se aplica cuando f es absolutamente integrable, es decir, cuando ∬|f|dA<∞.

El teorema contiene dos afirmaciones: las integrales sucesivas representan la integral doble y, además, el orden puede intercambiarse.

04 · Cortes paralelos

Acumular áreas de secciones

Supongamos f≥0. Para cada y fijo, la integral interior:

es el área de la sección vertical del sólido por el plano de coordenada y. La integral exterior suma esas áreas con espesor dy:

Al invertir el orden se usan secciones perpendiculares. El sólido no cambia; solamente cambia cómo se corta. Esta es la versión continua de sumar una matriz primero por filas o por columnas.

05 · Cálculo completo

Un polinomio sobre un rectángulo

Calculemos ∬R(3x+2y)dA en R=[0,2]×[0,1], primero respecto de x:

Durante la integral interior, y es constante:

Ahora integramos el resultado respecto de y:

Las unidades finales son las del integrando multiplicadas por unidades de área.

06 · Verificar con el otro orden

Primero y, después x

Para el mismo ejemplo escribimos:

Ahora x es constante en la integral interior:

Finalmente:

La coincidencia no es casual: Fubini garantiza que ambos órdenes agrupan la misma acumulación. Repetir en orden inverso también es una buena comprobación de ejercicios cortos.

07 · Factorización útil

Funciones separables

Si f(x,y)=p(x)q(y) y R es un rectángulo, la integral se factoriza:

Por ejemplo:

La región rectangular es esencial para esta factorización simple. Si los límites de x dependen de y, las variables dejan de separarse aunque el integrando sea un producto.

08 · Simplificar antes de integrar

Linealidad y términos independientes

La linealidad permite separar sumas y constantes. En un rectángulo:

El factor d−c aparece porque p(x) se repite para toda la altura del rectángulo; análogamente, q(y) se repite para todo su ancho.

También conviene usar simetría: si p es impar y el intervalo de x es simétrico, su contribución es cero para cada y. Reconocerlo evita cálculos y reduce errores.

09 · Elegir el orden conveniente

En rectángulos, la geometría empata; el álgebra decide

Como ambos órdenes tienen límites constantes, suelen ser igualmente válidos. Sin embargo, uno puede producir una antiderivada más simple.

• Integrá primero respecto de la variable que aparece de forma polinómica sencilla.
• Buscá una sustitución directa que aparezca en uno de los órdenes.
• Aprovechá factores que sean constantes respecto de la variable interior.
• Usá simetría antes de comenzar.
• Si una antiderivada elemental no existe, probá el otro orden.

En regiones no rectangulares, invertir el orden también exige reescribir límites. Ese trabajo geométrico será el centro del próximo tema.

10 · Cuándo intercambiar con cuidado

Fubini, Tonelli y convergencia absoluta

Para funciones continuas en rectángulos compactos no hay dificultad. En dominios no acotados o con singularidades, las integrales son impropias y el orden puede importar si hay cancelación no controlada.

• Fubini: la integrabilidad absoluta justifica las integrales iteradas y su intercambio.
• Tonelli: si f≥0, permite intercambiar el orden incluso si el valor común es +∞.
• Sin estas condiciones: dos órdenes pueden converger a valores distintos o uno puede no existir.

11 · Interpretaciones por capas

Masa, probabilidad y promedios condicionados

La integración iterada expresa procesos de agregación en dos niveles:

• Masa: sumar densidad a lo largo de cada tira y luego sumar las tiras.
• Probabilidad conjunta: integrar primero una variable produce una densidad marginal de la otra.
• Imágenes: acumular intensidad por filas o columnas.
• Datos espaciales: obtener totales parciales por una coordenada antes del total global.

La función interior resultante conserva información. Por ejemplo, A(y)=∫f(x,y)dx describe cómo se distribuye la acumulación entre distintas alturas y, además, satisface ∫A(y)dy=∬f dA.

12 · Cuadratura anidada

Integradores dentro de integradores

Un programa puede aproximar la integral interior para cada punto requerido por la regla exterior. Si se usan n muestras exteriores y m interiores, el costo básico es nm evaluaciones.

Hay dos fuentes de error:

• la aproximación de cada integral interior;
• la aproximación exterior de la función parcial resultante.

Si la cuadratura es adaptativa, las tolerancias internas deben ser suficientemente estrictas para que su error acumulado no domine al exterior. También conviene reutilizar evaluaciones y evitar recalcular límites o factores constantes.

En una malla rectangular fija, cambiar el orden de los bucles no altera matemáticamente la suma finita, aunque puede cambiar mínimamente el redondeo y afectar el acceso a memoria.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: sumar por filas o columnas

El panel izquierdo muestra la función sobre [0,a]×[0,b]. Las bandas resaltadas indican el tipo de corte interior. El panel derecho grafica el resultado de cada integral interior.

El mapa codifica valores de f. Las líneas representan cortes interiores y el gráfico lateral muestra cuánto aporta cada corte antes de la integración exterior.

Preguntas para explorar

1. Cambiá el orden y observá cómo filas y columnas describen el mismo rectángulo.
2. En la función producto, compará la forma de los dos perfiles interiores.
3. Usá distintas cantidades de divisiones en x e y y comprobá que ambos bucles suman las mismas celdas.
4. Con la onda, aumentá el dominio y observá la cancelación en los perfiles.
5. Refiná la malla para acercar la aproximación de punto medio al valor exacto.

14 · Implementación

Integrales iteradas con JavaScript

Cuadratura de punto medio reutilizable

function puntoMedio1D(funcion, inicio, fin, divisiones = 200) {
  const paso = (fin - inicio) / divisiones;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < divisiones; i++) {
    suma += funcion(inicio + (i + 0.5) * paso);
  }
  return suma * paso;
}

const valor = puntoMedio1D(x => x ** 2, 0, 1);
console.log(valor);

Anidar el integrador

function integralIterada(funcion, [a, b], [c, d], nx = 100, ny = 100) {
  const integrarX = y => {
    const dx = (b - a) / nx;
    let suma = 0;
    for (let i = 0; i < nx; i++)
      suma += funcion(a + (i + 0.5) * dx, y) * dx;
    return suma;
  };
  const dy = (d - c) / ny;
  let total = 0;
  for (let j = 0; j < ny; j++)
    total += integrarX(c + (j + 0.5) * dy) * dy;
  return total;
}

console.log(integralIterada((x, y) => 3 * x + 2 * y, [0, 2], [0, 1]));

Comprobar ambos órdenes

function sumarMalla(funcion, a, b, nx, ny, orden = "xy") {
  const dx = a / nx;
  const dy = b / ny;
  let suma = 0;
  if (orden === "xy") {
    for (let j = 0; j < ny; j++) for (let i = 0; i < nx; i++)
      suma += funcion((i + 0.5) * dx, (j + 0.5) * dy) * dx * dy;
  } else {
    for (let i = 0; i < nx; i++) for (let j = 0; j < ny; j++)
      suma += funcion((i + 0.5) * dx, (j + 0.5) * dy) * dx * dy;
  }
  return suma;
}

const f = (x, y) => Math.exp(x + y);
console.log(sumarMalla(f, 1, 1, 80, 80, "xy"));
console.log(sumarMalla(f, 1, 1, 80, 80, "yx"));

Los dos últimos resultados pueden diferir en los bits finales por el orden de las sumas en coma flotante, aunque matemáticamente contienen exactamente los mismos sumandos.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: integrar respecto de x

Calculá ∫02(x²+3y)dx, tratando y como constante.

Ejercicio 2: integral iterada

Calculá ∫01∫02xy dx dy.

Ejercicio 3: orden inverso

Escribí y calculá el ejercicio anterior integrando primero respecto de y.

Ejercicio 4: separabilidad

Calculá ∬[0,π]×[0,1]sen(x)eʸdA.

Ejercicio 5: simetría

Evaluá ∬[−1,1]×[0,2]x cos(y)dA.

Ejercicio 6: hipótesis

¿Puede intercambiarse sin más cualquier par de integrales impropias?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos estas ideas a regiones generales y aprenderemos a cambiar el orden reescribiendo sus límites.