Regiones generales y cambio del orden

01 · Cuando la base no es rectangular

Los límites también describen geometría

En un rectángulo, ambas variables recorren intervalos constantes. En una región limitada por curvas, el intervalo de la variable interior cambia según la posición de la variable exterior.

La integral interior recorre cada corte desde una frontera hasta otra; la exterior desplaza ese corte por toda la región.

• ¿Cómo pasar de un dibujo a desigualdades?
• ¿Cuándo una región es simple respecto de x o de y?
• ¿Cómo se invierte el orden sin cambiar la región?
• ¿Por qué a veces hay que dividir en varios integrales?
• ¿Qué orden evita antiderivadas difíciles?
• ¿Cómo verificar que los nuevos límites cubren exactamente D?

02 · Cortes verticales

Regiones tipo I

Una región es simple respecto de y, o tipo I, si cada recta vertical la corta en un único intervalo:

El recorrido se interpreta así:

1. x se desplaza desde a hasta b;
2. para cada x fijo, y sube desde la frontera inferior g₁ hasta la superior g₂.

La integral correspondiente es:

Los límites interiores pueden depender de x, pero no de y: y es precisamente la variable que está siendo eliminada.

03 · Cortes horizontales

Regiones tipo II

Una región es simple respecto de x, o tipo II, si cada recta horizontal la corta en un único intervalo:

Ahora y es la variable exterior y, para cada altura fija, x avanza desde la frontera izquierda hasta la derecha:

Una misma región puede ser tipo I y tipo II, solo una de las dos, o necesitar varias piezas en ambos sentidos.

04 · Del dibujo a los límites

Un procedimiento que evita adivinar

1. 1
   Dibujá las fronteras.

   Marcá intersecciones y determiná qué curvas forman realmente el borde.

2. 2
   Elegí la orientación.

   Imaginá una recta vertical o horizontal atravesando la región.

3. 3
   Encontrá la proyección.

   Los extremos de la variable exterior son la sombra de D sobre su eje.

4. 4
   Nombrá entrada y salida.

   Para cada corte, identificá la primera y la segunda frontera.

5. 5
   Detectá cambios.

   Si una frontera activa cambia, separá el intervalo exterior en ese valor.

6. 6
   Probá puntos.

   Verificá que puntos interiores satisfagan los límites y que puntos exteriores no lo hagan.

7. 7
   Escribí los diferenciales.

   El diferencial interior corresponde a la dirección del corte.

05 · Ejemplo en ambos sentidos

Un triángulo bajo una recta

Sea D={(x,y):x≥0, y≥0, x+y≤2}. Con cortes verticales:

Entonces:

Con cortes horizontales, la proyección sobre y también es [0,2], y x va desde el eje y hasta la misma recta:

Para f=1, ambas expresiones calculan el área del triángulo: 2.

06 · Fronteras curvas

Entre y=x² e y=2x

Las curvas se intersectan cuando x²=2x, es decir, en x=0 y x=2. En ese intervalo, la parábola queda abajo y la recta arriba:

La integral tipo I es:

Para invertir, despejamos x en cada frontera. En el primer cuadrante, y=x² da x=√y y y=2x da x=y/2. La altura total va de 0 a 4:

Una comprobación rápida en y=1 confirma que 1/2≤x≤1.

07 · Invertir correctamente

La región permanece; los cortes cambian

Para cambiar de dy dx a dx dy:

1. ignorá momentáneamente la integral y reconstruí D;
2. proyectá D sobre el eje y para obtener los nuevos límites exteriores;
3. recorré una línea horizontal de izquierda a derecha;
4. despejá x en las fronteras relevantes;
5. separá donde cambie la frontera izquierda o derecha;
6. verificá que la unión de las nuevas piezas sea exactamente D.

08 · Cuando una descripción se parte

Una región que requiere tres integrales al invertir

Consideremos:

Es una sola región tipo I. Su altura total va de y=0 a y=3. Sin embargo, los cortes horizontales cambian:

• si 0≤y≤1, van de x=0 a x=√y;
• si 1≤y≤2, recorren todo 0≤x≤1;
• si 2≤y≤3, van de x=y−2 a x=1.

Por eso:

Los valores y=1 e y=2 son alturas donde cambia una frontera activa.

09 · El orden puede resolver el cálculo

Una antiderivada imposible se vuelve elemental

Analicemos:

La integral interior de ey² no tiene una primitiva elemental. La región satisface 0≤x≤1 y x≤y≤1. Con cortes horizontales:

Al invertir:

El cambio de orden no es solo una comprobación: puede convertir un problema inaccesible en uno directo.

10 · Regiones no simples

Uniones, huecos y cortes desconectados

Si una línea vertical corta D en dos intervalos separados, D no es tipo I con una sola pareja de funciones. Puede:

• dividirse D en subregiones tipo I y sumar sus integrales;
• probar cortes horizontales, que quizá produzcan una sola región tipo II;
• describir un dominio exterior y restar el agujero;
• usar coordenadas adaptadas a la simetría, como polares.

Las fronteras compartidas entre piezas tienen área cero, así que contarlas en ambas integrales no altera el valor. Lo importante es no omitir ni superponer zonas con área positiva.

11 · Controles geométricos

Cómo saber si los límites son correctos

• Área: integrá f=1 en ambas descripciones; los resultados deben coincidir.
• Puntos de prueba: verificá un punto interior, uno exterior y varios de frontera.
• Proyección: los límites exteriores deben cubrir exactamente la sombra sobre el eje.
• Orden: la cota inferior no debe superar la superior en el intervalo indicado.
• Secciones: cada corte debe coincidir con la intersección geométrica real.

Un gráfico ayuda, pero las intersecciones deben calcularse algebraicamente. Una imagen aproximada puede ocultar puntos de cruce o sugerir un orden incorrecto entre curvas cercanas.

12 · Límites variables en programas

Cuadratura sobre cortes

Para una región tipo I, un integrador numérico anida límites dependientes de x:

El costo depende de la cantidad de muestras exteriores e interiores. Las fronteras deben evaluarse en cada posición exterior.

Si la región está dividida, se integra cada pieza y se suman los resultados. Es preferible conservar las piezas explícitas: usar una fórmula con min o max puede ocultar puntos no suaves donde una cuadratura adaptativa debería dividir el intervalo.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: cambiar la dirección de los cortes

Elegí una región y alterná entre cortes verticales y horizontales. El mapa muestra el integrando solamente dentro de D y la cuadratura usa los límites correspondientes a cada descripción.

Las líneas blancas representan cortes de la variable interior. En la región dividida, los cortes horizontales cambian de fórmula en y=1 e y=2.

Preguntas para explorar

1. En el triángulo, verificá que ambas orientaciones necesitan una sola pieza.
2. En el casquete parabólico, identificá las fronteras izquierda y derecha después de invertir.
3. Entre la parábola y la recta, compará x²≤y≤2x con y/2≤x≤√y.
4. En la última región, observá los tres grupos de cortes horizontales.
5. Aumentá las muestras y compará ambos órdenes con la referencia refinada.

14 · Implementación

Integrar regiones con límites variables

Región tipo I

function integrarTipoI(funcion, xMin, xMax, yInferior, ySuperior, nx = 200, ny = 200) {
  const dx = (xMax - xMin) / nx;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < nx; i++) {
    const x = xMin + (i + 0.5) * dx;
    const desde = yInferior(x);
    const hasta = ySuperior(x);
    const dy = (hasta - desde) / ny;
    for (let j = 0; j < ny; j++) {
      const y = desde + (j + 0.5) * dy;
      total += funcion(x, y) * dx * dy;
    }
  }
  return total;
}

console.log(integrarTipoI(() => 1, 0, 2, () => 0, x => 2 - x));

Sumar una descripción por piezas

function integrarPiezasTipoII(funcion, piezas, nx = 200, ny = 200) {
  return piezas.reduce((total, pieza) => {
    const dy = (pieza.yMax - pieza.yMin) / ny;
    let parcial = 0;
    for (let j = 0; j < ny; j++) {
      const y = pieza.yMin + (j + 0.5) * dy;
      const desde = pieza.xIzquierda(y);
      const hasta = pieza.xDerecha(y);
      const dx = (hasta - desde) / nx;
      for (let i = 0; i < nx; i++)
        parcial += funcion(desde + (i + 0.5) * dx, y) * dx * dy;
    }
    return total + parcial;
  }, 0);
}

const piezas = [
  { yMin: 0, yMax: 1, xIzquierda: () => 0, xDerecha: y => Math.sqrt(y) },
  { yMin: 1, yMax: 2, xIzquierda: () => 0, xDerecha: () => 1 },
  { yMin: 2, yMax: 3, xIzquierda: y => y - 2, xDerecha: () => 1 }
];
console.log(integrarPiezasTipoII(() => 1, piezas));

Comprobar puntos contra una región

function perteneceEntreCurvas(x, y, tolerancia = 1e-10) {
  return x >= -tolerancia && x <= 2 + tolerancia &&
    y >= x ** 2 - tolerancia && y <= 2 * x + tolerancia;
}

console.log(perteneceEntreCurvas(1, 1.5)); // true
console.log(perteneceEntreCurvas(1, 3));   // false

Las funciones de frontera deben validarse en todo su intervalo. Si el ancho calculado es negativo, los límites están invertidos o la pieza fue extendida fuera de su rango válido.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: leer una región

Describí la región de ∫₀¹∫x²xf(x,y)dy dx.

Ejercicio 2: invertir

Invertí el orden del ejercicio anterior.

Ejercicio 3: área

Calculá el área entre y=x² e y=2x.

Ejercicio 4: límites verticales

Escribí una integral para el disco unitario usando cortes verticales.

Ejercicio 5: cambiar para calcular

Evaluá ∫₀¹∫x¹ cos(y²)dy dx invirtiendo el orden.

Ejercicio 6: detectar división

¿Qué indica que una descripción en el nuevo orden necesita varias piezas?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema adaptaremos las coordenadas a regiones circulares mediante cambio de variables e integrales polares.