Cambio de variables e integrales polares

01 · Elegir coordenadas que entiendan la región

Un círculo no debería parecer complicado

En coordenadas cartesianas, un disco exige raíces y límites variables. En polares, el mismo conjunto puede convertirse en un rectángulo de parámetros:

El cambio simplifica la región y expresiones como x²+y², pero altera las pequeñas áreas. Para conservar la integral debemos medir esa deformación.

• ¿Cómo se transforma una región completa?
• ¿Por qué aparece el determinante jacobiano?
• ¿De dónde surge el factor r en polares?
• ¿Cómo se describen discos, coronas y sectores?
• ¿Cuándo una transformación cuenta puntos más de una vez?
• ¿Cómo comprobar que se transformaron todos los elementos?

02 · Un nuevo sistema de parámetros

La aplicación T(u,v)

Una transformación diferenciable asigna puntos del plano de parámetros al plano original:

Una región S en el plano uv se convierte en D=T(S). Las curvas u=constante y v=constante forman una nueva red coordenada sobre D.

Para que el cambio sea útil, T debe cubrir la región deseada y ser esencialmente uno a uno en el interior. También necesitamos que sus derivadas describan correctamente la deformación local.

La inversa, cuando existe, permite expresar u y v a partir de x,y y traducir las fronteras de D al plano de parámetros.

03 · Escala local de área

El determinante jacobiano

Los vectores tangentes a la red transformada son:

Un pequeño rectángulo de lados du,dv se transforma aproximadamente en un paralelogramo generado por esos vectores. Su área es:

En dos dimensiones:

El signo indica orientación; el área usa |J|. Si J=0, la transformación aplasta localmente una dirección y el cambio regular falla allí.

04 · Fórmula de cambio de variables

Integrar después de deformar

El orden práctico es:

1. 1
   Elegí T.

   Buscá que las fronteras y el integrando se simplifiquen.

2. 2
   Transformá la región.

   Encontrá los límites correctos en las nuevas variables.

3. 3
   Sustituí el integrando.

   Reemplazá cada aparición de x e y.

4. 4
   Calculá |J|.

   Multiplicá el nuevo integrando por el factor de área.

5. 5
   Revisá cobertura.

   Evitá huecos, superposición y parametrizaciones múltiples.

6. 6
   Integrá y verificá.

   Controlá signo, unidades y casos simples como f=1.

05 · Distancia y ángulo

Coordenadas polares

La transformación polar es:

Con r≥0, el radio mide la distancia al origen y θ determina la dirección. Las identidades fundamentales son:

Las curvas r=constante son círculos y θ=constante son semirrectas. Por eso polares es natural cuando aparecen discos, coronas, sectores o funciones dependientes de x²+y².

El ángulo no es único: θ y θ+2π describen la misma dirección. Debemos elegir un intervalo que cubra la región una vez, salvo coincidencias en la frontera.

06 · Derivar el elemento de área

Por qué dA no es dr dθ

Para x=r cosθ, y=r senθ:

Por lo tanto:

Geométricamente, una celda polar angosta tiene grosor dr y longitud de arco aproximada r dθ. Su área es dr·r dθ. Cerca del origen los sectores son pequeños; lejos del origen, el mismo incremento angular cubre más área.

07 · Límites naturales

Discos, coronas y sectores

Para elegir el intervalo angular, imaginá un rayo que gira y preguntá desde qué ángulo hasta cuál barre exactamente la región.

08 · Recuperar una fórmula conocida

Área del disco

Integrar 1 sobre el disco de radio R debe producir su área:

La integral radial vale R²/2 y la angular aporta 2π:

Si se omitiera el jacobiano, el resultado sería 2πR, que tiene unidades de longitud y no de área. Este control dimensional detecta el error inmediatamente.

09 · Simetría en el integrando

Integrar x²+y² sobre un disco

Sea D el disco x²+y²≤R². Como x²+y²=r²:

El r adicional proviene del área:

En general, si f depende solo de la distancia, f(x,y)=F(√(x²+y²)), la integral sobre un disco se reduce a:

10 · La parte angular informa

Funciones que se cancelan

Sobre un disco centrado, x=r cosθ. Entonces:

La integral angular de cosθ en una vuelta completa es cero. La cancelación expresa la simetría entre la mitad derecha e izquierda.

Para x²:

Antes de integrar, conviene preguntar si una reflexión cambia el signo del integrando y conserva la región.

11 · Más allá de polares

De un disco a una elipse

La elipse x²/a²+y²/b²≤1 se simplifica con:

La región uv es el disco unitario y:

Así, su área es:

También pueden combinarse escalado y polares: x=ar cosθ, y=br senθ, con jacobiano abr. El principio es siempre el mismo: parametrizar una región simple y medir su escala de área.

12 · Cobertura, signo y singularidades

Comprobar la transformación

• Valor absoluto: un jacobiano negativo invierte orientación, no produce área negativa.
• Multiplicidad: usar 0≤θ≤4π cubre un disco dos veces.
• Ramas: despejar una raíz puede omitir media región.
• Singularidad: en polares J=0 cuando r=0; es un solo punto y normalmente no afecta la integral.
• Centro: un círculo desplazado puede requerir trasladar coordenadas antes de usar polares.
• Integrando: no deben quedar x,y sin sustituir tras completar el cambio.

Integrar f=1 es una prueba poderosa: el resultado debe coincidir con el área geométrica conocida o estimada de la región.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: del rectángulo al sector

El panel izquierdo es el rectángulo de parámetros [θ₀,θ₀+Δθ]×[r₀,R]. El derecho muestra su imagen polar. Compará la suma correcta con otra que omite el factor r.

Cada rectángulo del plano de parámetros se convierte en una celda curva. Las celdas exteriores ocupan más área aunque tengan el mismo Δr y Δθ.

Preguntas para explorar

1. Con f=1 y radio interior cero, recuperá áreas de discos y sectores.
2. Aumentá el radio interior: observá que la misma malla rectangular genera una corona.
3. Compará la suma correcta y la incorrecta cuando el sector está lejos del origen.
4. Para f=x y una vuelta completa, verificá la cancelación angular.
5. Refiná ambas divisiones y observá la convergencia al valor exacto.

14 · Implementación

Integración polar con JavaScript

Regla del punto medio polar

function integrarPolar(funcion, rMin, rMax, thetaMin, thetaMax, nr = 200, nt = 300) {
  const dr = (rMax - rMin) / nr;
  const dt = (thetaMax - thetaMin) / nt;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < nr; i++) {
    const r = rMin + (i + 0.5) * dr;
    for (let j = 0; j < nt; j++) {
      const theta = thetaMin + (j + 0.5) * dt;
      const x = r * Math.cos(theta);
      const y = r * Math.sin(theta);
      suma += funcion(x, y) * r * dr * dt;
    }
  }
  return suma;
}

console.log(integrarPolar(() => 1, 0, 2, 0, 2 * Math.PI), 4 * Math.PI);

Jacobiano numérico de una transformación

function jacobiano2D(transformar, u, v, h = 1e-5) {
  const [xMasU, yMasU] = transformar(u + h, v);
  const [xMenosU, yMenosU] = transformar(u - h, v);
  const [xMasV, yMasV] = transformar(u, v + h);
  const [xMenosV, yMenosV] = transformar(u, v - h);
  const xu = (xMasU - xMenosU) / (2 * h);
  const yu = (yMasU - yMenosU) / (2 * h);
  const xv = (xMasV - xMenosV) / (2 * h);
  const yv = (yMasV - yMenosV) / (2 * h);
  return xu * yv - xv * yu;
}

const polar = (r, t) => [r * Math.cos(t), r * Math.sin(t)];
console.log(jacobiano2D(polar, 2, 0.7)); // aproximadamente 2

Transformación elíptica

function puntoElipse(r, theta, a, b) {
  return {
    x: a * r * Math.cos(theta),
    y: b * r * Math.sin(theta),
    jacobiano: a * b * r
  };
}

console.log(puntoElipse(0.5, Math.PI / 3, 4, 2));

Un integrador general debe comprobar límites, valores finitos y el signo del determinante. Para área siempre se usa el valor absoluto del jacobiano.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: corona

Escribí en polares la integral de f sobre 1≤x²+y²≤9.

Ejercicio 2: cuarto de disco

Calculá el área de x²+y²≤4 en el primer cuadrante.

Ejercicio 3: integral radial

Calculá ∬D(x²+y²)dA sobre el disco unitario.

Ejercicio 4: simetría

Evaluá ∬Dxy dA sobre cualquier disco centrado en el origen.

Ejercicio 5: jacobiano lineal

Para x=2u+v, y=u−3v, calculá el factor de área.

Ejercicio 6: detectar el error

Una persona obtiene ∫₀²π∫₀ᴿ1 drdθ=2πR como área del disco. ¿Qué falta?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema extenderemos estas ideas al espacio mediante integrales triples y coordenadas cilíndricas y esféricas.