Integrales triples

01 · De láminas a sólidos

Acumular en tres dimensiones

Una integral triple suma una función sobre un volumen E. Cada contribución local tiene la forma f(x,y,z)ΔV:

Si f=1, el resultado es el volumen de E. Si f es una densidad de masa, la integral entrega la masa total. La misma estructura representa carga, energía, probabilidad o cualquier cantidad distribuida en el espacio.

• ¿Cómo se construye una suma de Riemann tridimensional?
• ¿Cómo se describen sólidos mediante límites anidados?
• ¿Cuándo conviene usar coordenadas cilíndricas o esféricas?
• ¿De dónde surgen los factores r y ρ² senφ?
• ¿Cómo aprovechar simetría para reducir cálculos?
• ¿Cómo aproximar una integral triple sin confundir resolución con exactitud?

02 · Cajas cada vez más pequeñas

Sumas de Riemann en el espacio

En una caja B=[a,b]×[c,d]×[e,h], una partición uniforme usa:

Cada subcaja tiene volumen ΔV=ΔxΔyΔz. Eligiendo un punto en cada celda:

La integral es el límite cuando el diámetro máximo de las celdas tiende a cero. Una función continua sobre un sólido compacto razonable es integrable.

El costo crece rápidamente: n divisiones por eje generan n³ celdas. Este fenómeno es una primera manifestación de la “maldición de la dimensionalidad”.

03 · Integrar por capas

Integrales triples iteradas

Sobre una caja, Fubini permite integrar en cualquiera de los seis órdenes:

Se lee de adentro hacia afuera. En la integral respecto de z, x e y se consideran constantes. El resultado depende de x,y; luego desaparece y y, finalmente, x.

Para funciones continuas, los seis órdenes coinciden. El orden más conveniente depende del integrando y de la descripción del sólido.

04 · Límites que describen un volumen

Entre dos superficies

Si E está sobre una región D del plano xy y entre z=u(x,y) y z=v(x,y):

El procedimiento geométrico es:

1. 1
   Proyectá el sólido.

   Encontrá su sombra D sobre un plano coordenado.

2. 2
   Identificá entrada y salida.

   Para cada punto de D, determiná las superficies inferior y superior.

3. 3
   Describí D.

   Usá límites cartesianos o un cambio de coordenadas adecuado.

4. 4
   Comprobá cobertura.

   Verificá que cada punto del sólido se cuente una vez.

05 · Simetría alrededor de un eje

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas aplican polares en el plano xy y conservan z:

Como x²+y²=r², son naturales para cilindros, conos y sólidos de revolución alrededor del eje z. El elemento de volumen es:

El factor r es el mismo jacobiano polar; la tercera dirección aporta dz sin deformación. El orden de los diferenciales puede cambiar, siempre que los límites correspondan.

06 · Distancia, azimut e inclinación

Coordenadas esféricas

Usaremos la convención:

• ρ≥0: distancia al origen;
• 0≤θ≤2π: ángulo azimutal en el plano xy;
• 0≤φ≤π: ángulo medido desde el eje z positivo.

Las identidades útiles son:

Algunos textos intercambian los nombres θ y φ. Siempre verificá la convención antes de usar fórmulas.

07 · La celda esférica

Por qué dV=ρ² senφ dρ dφ dθ

Una pequeña celda esférica tiene aproximadamente tres longitudes:

• espesor radial dρ;
• arco meridiano ρ dφ;
• arco azimutal ρ senφ dθ.

Su producto es:

El determinante jacobiano confirma el mismo factor. El seno se anula en los polos porque allí todos los valores de θ representan el mismo punto; esa degeneración ocurre en un conjunto de volumen cero.

08 · Volumen en cilíndricas

Un cilindro de radio R y altura H

El sólido x²+y²≤R², 0≤z≤H tiene límites:

Su volumen es:

Las integrales se separan:

Si la altura depende de r o θ, el límite de z cambia, pero la descripción cilíndrica sigue siendo ventajosa cuando la proyección es circular.

09 · Volumen en esféricas

La esfera de radio R

La bola x²+y²+z²≤R² se describe mediante:

Por tanto:

Los tres factores son 2π, 2 y R³/3:

Para una esfera completa, integrar φ solo de 0 a π/2 cubriría únicamente el hemisferio superior.

10 · Masa y valor promedio

Integrar una densidad volumétrica

Si δ(x,y,z) se mide en masa por unidad de volumen:

El valor promedio de una función sobre E es:

Para una densidad radial δ=δ(ρ) en una esfera:

El factor 4π reúne todos los ángulos. La masa de capas esféricas aumenta como ρ² aunque la densidad sea constante, porque las capas exteriores tienen mayor área.

11 · Traducir superficies

Planos, cilindros, esferas y conos

Un cono con vértice en el origen corresponde a un ángulo φ constante. Un casquete esférico limitado por un plano suele producir un límite radial o angular dependiente; conviene dibujar una sección meridiana.

12 · Elegir coordenadas y estimar costo

La simetría debe simplificar región e integrando

• Cartesianas: cajas, tetraedros y superficies dadas como gráficos.
• Cilíndricas: simetría alrededor de un eje, cilindros y conos.
• Esféricas: bolas, cascarones, conos con vértice en el origen y densidades radiales.

Antes de decidir, transformá mentalmente tanto las fronteras como el integrando. Una esfera desplazada puede ser más simple tras una traslación; un sólido cilíndrico inclinado quizá no favorezca el eje z.

En cálculo numérico, n³ celdas crecen rápido. Métodos adaptativos refinan solo donde la función cambia, mientras Monte Carlo evita una malla completa y converge lentamente pero con un costo menos sensible a la dimensión.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: una caja de parámetros esféricos

La región usa ρ₀≤ρ≤R, un intervalo azimutal y 0≤φ≤φmax. El panel derecho proyecta los puntos muestreados. Compará el cálculo correcto con uno que omite ρ² senφ.

El panel izquierdo muestra la sección (ρ,φ); el derecho proyecta centros de celdas en tres dimensiones. El tamaño visual crece con su peso volumétrico.

Preguntas para explorar

1. Con f=1, θ=360° y φ=180°, recuperá el volumen de una esfera.
2. Usá φ=90° para obtener un hemisferio.
3. Aumentá el radio interior y observá un cascarón esférico.
4. Con f=z y una esfera completa, comprobá la cancelación entre hemisferios.
5. Refiná la resolución y compará el resultado con el valor exacto.

14 · Implementación

Integrales triples con JavaScript

Punto medio en una caja

function integrarCaja(funcion, limites, nx = 40, ny = 40, nz = 40) {
  const dx = (limites.xMax - limites.xMin) / nx;
  const dy = (limites.yMax - limites.yMin) / ny;
  const dz = (limites.zMax - limites.zMin) / nz;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < nx; i++) for (let j = 0; j < ny; j++)
    for (let k = 0; k < nz; k++) {
      const x = limites.xMin + (i + 0.5) * dx;
      const y = limites.yMin + (j + 0.5) * dy;
      const z = limites.zMin + (k + 0.5) * dz;
      suma += funcion(x, y, z) * dx * dy * dz;
    }
  return suma;
}

console.log(integrarCaja(() => 1, {
  xMin: 0, xMax: 2, yMin: 0, yMax: 3, zMin: 0, zMax: 4
}));

Integración cilíndrica

function integrarCilindricas(funcion, radio, altura, nr = 80, nt = 120, nz = 80) {
  const dr = radio / nr, dt = 2 * Math.PI / nt, dz = altura / nz;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < nr; i++) for (let j = 0; j < nt; j++)
    for (let k = 0; k < nz; k++) {
      const r = (i + 0.5) * dr;
      const t = (j + 0.5) * dt;
      const z = (k + 0.5) * dz;
      suma += funcion(r * Math.cos(t), r * Math.sin(t), z) * r * dr * dt * dz;
    }
  return suma;
}

console.log(integrarCilindricas(() => 1, 2, 3), 12 * Math.PI);

Integración esférica

function integrarEsfericas(funcion, radio, n = 50) {
  const dr = radio / n, dp = Math.PI / n, dt = 2 * Math.PI / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) for (let j = 0; j < n; j++)
    for (let k = 0; k < n; k++) {
      const rho = (i + 0.5) * dr;
      const phi = (j + 0.5) * dp;
      const theta = (k + 0.5) * dt;
      const x = rho * Math.sin(phi) * Math.cos(theta);
      const y = rho * Math.sin(phi) * Math.sin(theta);
      const z = rho * Math.cos(phi);
      suma += funcion(x, y, z) * rho ** 2 * Math.sin(phi) * dr * dp * dt;
    }
  return suma;
}

console.log(integrarEsfericas(() => 1, 1), 4 * Math.PI / 3);

Las tres rutinas usan n³ evaluaciones en el caso uniforme. Para resoluciones grandes conviene evitar trabajo repetido, procesar por bloques o emplear cuadratura adaptativa.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: caja

Calculá ∭[0,1]×[0,2]×[0,3]1dV.

Ejercicio 2: cilindro

Escribí los límites cilíndricos para x²+y²≤9, −1≤z≤2.

Ejercicio 3: esfera

Calculá ∭ρ≤Rρ dV.

Ejercicio 4: hemisferio

¿Qué intervalo de φ representa la mitad inferior de una esfera?

Ejercicio 5: simetría

Evaluá ∭Bz dV sobre una bola centrada en el origen.

Ejercicio 6: unidades

Una densidad está expresada en kg/m³. ¿Qué unidad tiene su integral triple?

16 · Errores frecuentes y síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema reuniremos modelado, optimización, integración y visualización en un proyecto integrador.