Modelar, optimizar e integrar

01 · El desafío

Diseñar un depósito paraboloidal

Modelaremos un depósito cuya base es elíptica y cuya altura disponible disminuye suavemente desde el centro hasta cero en el borde. El material almacenado puede tener una densidad que cambia con la altura.

El proyecto debe responder:

• ¿Cuál es el dominio físico del modelo?
• ¿Dónde se alcanza la altura máxima?
• ¿Qué volumen puede contener?
• ¿Cuál es la masa con densidad variable?
• ¿Dónde queda el centro de masa?
• ¿Cómo comprobar numéricamente las fórmulas?

02 · Variables e hipótesis

Definir antes de calcular

Usaremos parámetros positivos:

• a: semieje de la base en dirección x;
• b: semieje de la base en dirección y;
• H: altura máxima;
• δ₀: densidad en la base;
• κ>−1: variación relativa de densidad con z.

Si las longitudes están en metros y δ₀ en kg/m³, el volumen quedará en m³, la masa en kg y el centroide en metros.

Supondremos paredes definidas por una superficie ideal, material continuo y densidad dependiente solamente de la altura. Estas hipótesis delimitan qué puede afirmar el modelo.

03 · La base elíptica

Construir el dominio

La base es:

La frontera satisface la igualdad y el centro es (0,0). El área de D es πab.

Para convertirla en un disco unitario introducimos coordenadas elíptico-polares:

El jacobiano es abr. Así, la geometría complicada de D se transforma en un rectángulo de parámetros.

04 · Modelo de altura

Una superficie que respeta la frontera

Definimos:

El modelo pasa tres controles básicos:

• h(0,0)=H: alcanza la altura nominal en el centro;
• h=0 sobre la elipse: coincide con el borde de la base;
• h≥0 dentro de D: representa una altura física.

En las nuevas coordenadas, la fórmula se simplifica notablemente:

La ausencia de θ revela la simetría elíptica del modelo.

05 · Gradiente y Hessiano

Localizar y clasificar la altura máxima

El gradiente es:

El único punto crítico interior es (0,0). Su Hessiano:

tiene dos autovalores negativos, por lo que el origen es máximo local estricto. Además, como 0≤x²/a²+y²/b²≤1 en D:

Por comparación global, H es el máximo absoluto. El mínimo 0 se alcanza en toda la frontera elíptica.

06 · Capacidad del depósito

Volumen bajo la superficie

El sólido es:

Su volumen puede escribirse como integral doble o triple:

Con el cambio elíptico:

La integral radial es 1/4, por lo que:

El depósito contiene la mitad del volumen del cilindro elíptico envolvente de base πab y altura H.

07 · Un material no uniforme

Densidad que cambia con la altura

Modelamos la densidad mediante:

Si κ=0, la densidad es uniforme. Si κ>0, aumenta hacia arriba; si −1<κ<0, disminuye sin volverse negativa dentro de 0≤z≤H.

La masa es:

Primero integramos en z:

Esto reduce el problema tridimensional a dos integrales sobre la base.

08 · Resolver la masa

Separar los momentos de la altura

Ya conocemos ∬h dA=πabH/2. También:

Entonces:

Con κ=0 recuperamos M=δ₀V. Esa reducción a un caso conocido es una comprobación imprescindible.

09 · Centro de masa

Momentos y simetría

La simetría respecto de los planos x=0 e y=0 da inmediatamente:

Para la coordenada vertical necesitamos el momento:

La integral interior es:

Usando ∬h²dA=πabH²/3 y ∬h³dA=πabH³/4:

Finalmente:

Con densidad uniforme, z̄=H/3.

10 · Resultado exacto y controles

Una ficha técnica del modelo

Las dimensiones también cierran: V escala como longitud³, M como densidad×longitud³ y z̄ como longitud. Si se duplican a,b,H, el volumen se multiplica por ocho.

11 · Aproximación computacional

Una suma triple en coordenadas adaptadas

Para verificar las fórmulas, particionamos:

La transformación x=ar cosθ, y=br senθ aporta jacobiano abr. En cada celda de punto medio acumulamos:

• ΔV=abr·ΔrΔθΔz para volumen;
• δ(z)ΔV para masa;
• zδ(z)ΔV para el momento vertical.

La altura de cada columna depende de r, por lo que Δz cambia entre anillos. La aproximación debe usar ese espesor local.

12 · Confiar mediante evidencia

Plan de validación

1. Casos límite: κ=0, a=b, radio pequeño y altura pequeña.
2. Convergencia: repetir con n, 2n y comparar cambios.
3. Invariantes: masa positiva, 0≤z̄≤H y volumen menor que πabH.
4. Unidades: verificar cada fórmula antes de sustituir números.
5. Simetría: los momentos en x e y deben anularse.
6. Exacto contra numérico: reportar error absoluto y relativo.

Una coincidencia aislada puede ser accidental. Una familia de pruebas que cubra escalas, simetrías y casos degenerados ofrece evidencia mucho más sólida.

13 · Simulador del proyecto

Laboratorio: depósito elíptico

Modificá geometría, densidad y resolución. El panel izquierdo muestra alturas sobre la base; el derecho representa la superficie y el centro de masa.

El color representa altura. La cruz clara en la perspectiva marca el centro de masa y la malla muestra la geometría de la superficie.

Experimentos sugeridos

1. Duplicá a y verificá que volumen y masa se duplican, mientras z̄ no cambia.
2. Duplicá H y comprobá la escala lineal de V, M y z̄.
3. Usá κ=0 para recuperar densidad uniforme y z̄=H/3.
4. Aumentá κ: la masa y el centro de masa deben subir.
5. Compará resoluciones consecutivas y observá la disminución del error.

14 · Implementación modular

Convertir el modelo en código verificable

Solución exacta

function resultadosExactos({ a, b, altura, densidad, kappa }) {
  const factor = Math.PI * a * b * altura;
  const volumen = factor / 2;
  const masa = densidad * factor * (3 + kappa) / 6;
  const centroZ = altura * (2 + kappa) / (2 * (3 + kappa));
  return { volumen, masa, centro: [0, 0, centroZ], alturaMaxima: altura };
}

console.log(resultadosExactos({
  a: 2, b: 1.5, altura: 3, densidad: 1, kappa: 0.5
}));

Verificación por suma triple

function integrarDeposito(modelo, n = 30) {
  const dr = 1 / n;
  const dt = 2 * Math.PI / n;
  let volumen = 0, masa = 0, momentoZ = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    const r = (i + 0.5) * dr;
    const alturaLocal = modelo.altura * (1 - r ** 2);
    const dz = alturaLocal / n;
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      for (let k = 0; k < n; k++) {
        const z = (k + 0.5) * dz;
        const densidad = modelo.densidad * (1 + modelo.kappa * z / modelo.altura);
        const dV = modelo.a * modelo.b * r * dr * dt * dz;
        volumen += dV;
        masa += densidad * dV;
        momentoZ += z * densidad * dV;
      }
    }
  }
  return { volumen, masa, centroZ: momentoZ / masa };
}

console.log(integrarDeposito({
  a: 2, b: 1.5, altura: 3, densidad: 1, kappa: 0.5
}, 24));

Estudio de convergencia

function aproximarVolumen(a, b, altura, n) {
  const dr = 1 / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    const r = (i + 0.5) * dr;
    suma += altura * (1 - r ** 2) * a * b * r * dr * 2 * Math.PI;
  }
  return suma;
}

const exacto = Math.PI * 2 * 1.5 * 3 / 2;
for (const n of [4, 8, 16, 32, 64]) {
  const aproximado = aproximarVolumen(2, 1.5, 3, n);
  console.log({ n, aproximado, error: Math.abs(aproximado - exacto) });
}

Separar modelo, solución exacta, aproximación y presentación permite probar cada parte y sustituir el método numérico sin reescribir la interfaz.

15 · Entrega y extensiones

Convertir el ejemplo en un proyecto propio

Una entrega completa debería incluir:

• descripción del problema, variables, unidades e hipótesis;
• dominio y visualización de la geometría;
• derivación del máximo, volumen, masa y centroide;
• implementación modular y pruebas con casos conocidos;
• tabla de convergencia y discusión del error;
• conclusiones que distingan resultado matemático e interpretación física.

Desafío 1: depósito truncado

Desafío 2: densidad lateral

Desafío 3: restricción de volumen

Desafío 4: datos medidos

Desafío 5: Monte Carlo

Desafío 6: informe de sensibilidad

16 · Cierre del recorrido

Del objeto matemático a una decisión

Completaste el recorrido de cálculo multivariable: desde funciones y límites hasta un modelo optimizado, integrado, programado y validado.