Condicionamiento, estabilidad y convergencia

01 · Punto de partida

¿Dónde se origina un resultado poco confiable?

Cuando una salida cambia demasiado al modificar ligeramente una entrada, podemos culpar al código, a los datos o al método. Sin embargo, existen tres fenómenos distintos:

Esta separación es esencial para diagnosticar. Un algoritmo excelente no puede recuperar información que un problema extremadamente sensible perdió en los datos. A la inversa, un problema bien condicionado puede resolverse mal con una implementación inestable.

02 · Sensibilidad del problema

¿Qué significa que un problema esté condicionado?

Imaginemos un problema representado por y = f(x). El dato real es x, pero recibimos x + Δx. Aun si evaluáramos f con aritmética exacta, la salida cambiaría:

“Bien” y “mal” no son propiedades absolutas sin contexto. Dependen del punto donde evaluamos, de la forma de medir los errores y de la precisión que exige la aplicación.

03 · Medidas de sensibilidad

Número de condición absoluto y relativo

Para una función derivable de una variable, el cambio local cumple aproximadamente:

Por eso, una medida absoluta de condición es:

Si queremos relacionar errores relativos y x ≠ 0, f(x) ≠ 0, obtenemos:

La interpretación aproximada es:

04 · Comparar funciones

Ejemplos de números de condición

Potencia f(x) = xⁿ

Como f′(x) = nxⁿ⁻¹, el número relativo es:

Elevar al cuadrado duplica aproximadamente el error relativo; elevar a la décima potencia lo multiplica por diez.

Recíproco f(x) = 1/x

Para x ≠ 0, el número relativo es 1. Aunque la función crece cerca de cero, un pequeño error relativo en x produce aproximadamente el mismo error relativo en 1/x.

Función f(x) = 1/(1−x)

Su número relativo es:

Cerca de x = 1, el denominador se aproxima a cero y el condicionamiento empeora rápidamente.

function condicionReciprocoDesplazado(x) {
  if (x === 1) return Infinity;
  return Math.abs(x / (1 - x));
}

for (const x of [0, 0.5, 0.9, 0.99, 0.999999]) {
  console.log(x, condicionReciprocoDesplazado(x));
}

05 · Un problema inherentemente sensible

Condicionamiento de una resta

Para calcular x − y con perturbaciones independientes en ambos datos, una medida relativa aproximada es:

Si x e y son cercanos, el denominador es pequeño y el número de condición crece.

La cancelación estudiada en el tema anterior es la manifestación computacional de esta sensibilidad. A veces podemos reformular el problema; otras veces la pequeña diferencia es precisamente el dato buscado y necesitamos entradas de mayor precisión.

06 · Dos formas de medir un algoritmo

Error hacia adelante y error hacia atrás

Sea y = f(x) la respuesta exacta y ỹ la respuesta calculada.

Error hacia adelante

Mide la distancia entre la salida calculada ỹ y la salida exacta y.

Error hacia atrás

Busca una entrada cercana x + Δx para la cual la salida calculada sea exacta: ỹ = f(x + Δx).

Ejemplo: raíz cuadrada

Si deseamos √2 y obtenemos ỹ = 1.4142:

• el error hacia adelante compara 1.4142 con Math.sqrt(2);
• el error hacia atrás observa que 1.4142 es exactamente la raíz del dato perturbado 1.4142² = 1.99996164.

const dato = 2;
const calculada = 1.4142;

const errorAdelante = Math.abs(calculada - Math.sqrt(dato));
const datoPerturbado = calculada ** 2;
const errorAtras = Math.abs(datoPerturbado - dato);

console.log({ errorAdelante, datoPerturbado, errorAtras });

07 · Comportamiento del algoritmo

Estabilidad numérica

Un algoritmo es numéricamente estable si los errores introducidos durante su ejecución no crecen de manera innecesaria. Una definición especialmente útil es la estabilidad hacia atrás: el resultado calculado es la solución exacta de un problema ligeramente perturbado.

Esto no garantiza por sí solo un error hacia adelante pequeño. Si el problema está mal condicionado, una pequeña perturbación hacia atrás puede producir una gran diferencia de salida.

08 · Mismo problema, algoritmos distintos

Evaluar √(x+1) − √x

Las expresiones directa y racionalizada resuelven el mismo problema:

Para x grande, la forma directa resta cantidades cercanas y pierde cifras. La forma racionalizada evita esa operación.

function formaDirecta(x) {
  return Math.sqrt(x + 1) - Math.sqrt(x);
}

function formaEstable(x) {
  return 1 / (Math.sqrt(x + 1) + Math.sqrt(x));
}

for (const x of [1, 1e8, 1e12, 1e16]) {
  console.log(x, formaDirecta(x), formaEstable(x));
}

El condicionamiento pertenece a la función que queremos evaluar en el punto dado. La diferencia entre ambas implementaciones revela la estabilidad de la forma de cálculo.

09 · Aproximaciones sucesivas

Convergencia

Un método iterativo produce una sucesión x₀, x₁, x₂, …. Decimos que converge a x* si el error tiende a cero:

En un método basado en una discretización, como integración o ecuaciones diferenciales, el parámetro puede ser el tamaño de paso h. En ese caso buscamos que la aproximación converja cuando h → 0.

10 · Velocidad asintótica

Orden de convergencia

Si eₙ = |xₙ − x*|, decimos informalmente que el método tiene orden p cuando, cerca de la solución:

La bisección converge linealmente: el intervalo se reduce a la mitad. Newton-Raphson suele converger cuadráticamente cerca de una raíz simple si se cumplen sus condiciones.

function estimarOrden(errores) {
  const ordenes = [];
  for (let n = 2; n < errores.length; n++) {
    const numerador = Math.log(errores[n] / errores[n - 1]);
    const denominador = Math.log(errores[n - 1] / errores[n - 2]);
    ordenes.push(numerador / denominador);
  }
  return ordenes;
}

console.log(estimarOrden([0.1, 0.01, 0.0001, 1e-8]));

11 · Métodos discretos

Consistencia, estabilidad y convergencia

En métodos que reemplazan un problema continuo por pasos discretos aparecen tres preguntas relacionadas:

Consistencia

¿La ecuación discreta se aproxima a la ecuación original cuando el paso tiende a cero?

Estabilidad

¿Los errores y perturbaciones permanecen controlados mientras avanza el cálculo?

Convergencia

¿La solución discreta completa se acerca a la solución exacta?

Un método puede ser localmente razonable pero amplificar errores de un paso al siguiente. También puede ser estable y resolver con precisión una discretización que no representa correctamente el problema. En los temas de integración y ecuaciones diferenciales volveremos sobre esta relación.

12 · Diagnóstico

No confundir los tres conceptos

La estrategia profesional consiste en analizar los tres niveles. Cambiar de algoritmo no arregla datos insuficientes; aumentar iteraciones no arregla una sucesión divergente; aumentar decimales mostrados no arregla inestabilidad.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: sensibilidad cerca de una singularidad

Estudiaremos f(x) = 1/(1−x) con x = 1−10⁻ᵏ. A medida que k crece, x se acerca a 1 y el número de condición aumenta. Después perturbamos la entrada con Δx = 10ᵖ.

Preguntas para explorar

1. Mantené fija la perturbación y acercá x a 1. ¿Cómo cambia κ?
2. Compará el error relativo previsto con el observado cuando la perturbación es pequeña.
3. ¿Qué sucede cuando la perturbación lleva la entrada exactamente a 1?
4. ¿Ese resultado extremo es culpa del algoritmo de división o del problema?

14 · Método de análisis

Evaluar un método numérico paso a paso

1. 1
   Definir las medidas.

   Elegir errores absolutos o relativos y las unidades relevantes.

2. 2
   Perturbar los datos.

   Observar cómo responde la solución exacta o una referencia de alta precisión.

3. 3
   Analizar el algoritmo.

   Buscar cancelación, escalas extremas y crecimiento de errores intermedios.

4. 4
   Estudiar la convergencia.

   Registrar errores, residuos o diferencias al aumentar iteraciones o disminuir el paso.

5. 5
   Comparar alternativas.

   Contrastar formulaciones, valores iniciales y algoritmos con costos semejantes.

6. 6
   Documentar límites.

   Indicar rangos válidos, tolerancias y situaciones en las que el método puede fallar.

function experimentarPerturbacion(funcion, x, perturbacion) {
  const y = funcion(x);
  const yPerturbado = funcion(x + perturbacion);
  const errorEntrada = Math.abs(perturbacion) / Math.abs(x);
  const errorSalida = Math.abs(yPerturbado - y) / Math.abs(y);

  return {
    x,
    perturbacion,
    errorRelativoEntrada: errorEntrada,
    errorRelativoSalida: errorSalida,
    amplificacionObservada: errorSalida / errorEntrada
  };
}

console.log(experimentarPerturbacion(x => 1 / (1 - x), 0.99, 1e-8));

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: número de condición de una potencia

Calculá el número de condición relativo de f(x) = x⁵ para x ≠ 0.

Ejercicio 2: sensibilidad de una resta

Estimá κ = (|x|+|y|)/|x−y| para x = 100.01 e y = 100.

Ejercicio 3: clasificar afirmaciones

Indicá si cada frase se refiere a condicionamiento, estabilidad o convergencia:

1. El intervalo se reduce a la mitad en cada iteración.
2. Una perturbación de 0.001 % cambia la salida un 10 %.
3. Una forma racionalizada evita restar raíces cercanas.

Ejercicio 4: orden de convergencia

Una sucesión presenta errores 0.1, 0.01, 0.0001 y 10⁻⁸. ¿Qué orden sugiere?

Ejercicio 5: experimento computacional

Implementá una función que estime la amplificación de una perturbación y comparala con κ = |x/(1−x)| para varios valores cercanos a 1.

const f = x => 1 / (1 - x);
const condicion = x => Math.abs(x / (1 - x));
const perturbacionRelativa = 1e-10;

for (const x of [0.5, 0.9, 0.99, 0.999]) {
  const dx = x * perturbacionRelativa;
  const errorSalida = Math.abs(f(x + dx) - f(x)) / Math.abs(f(x));
  console.log({
    x,
    condicion: condicion(x),
    amplificacion: errorSalida / perturbacionRelativa
  });
}

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema definiremos tolerancias y criterios de parada para convertir estas medidas en decisiones robustas: cuándo aceptar una aproximación y cuándo detener un algoritmo.