Raíces de ecuaciones no lineales

01 · Punto de partida

Resolver una ecuación es encontrar una raíz

Una raíz o cero de una función f es un valor r que satisface:

Muchas ecuaciones pueden escribirse en esta forma. Por ejemplo, resolver cos(x) = x equivale a encontrar una raíz de:

En ecuaciones lineales o cuadráticas existen fórmulas conocidas. Para ecuaciones trascendentes, polinomios de grado alto o modelos complejos, una solución simbólica puede no existir o resultar poco práctica. Entonces buscamos aproximaciones numéricas.

• ¿Existe al menos una raíz?
• ¿En qué región debemos buscarla?
• ¿Puede haber varias soluciones?
• ¿La función es continua y está definida en el intervalo?
• ¿Cómo verificaremos la aproximación obtenida?

02 · De la ecuación a una función

Construir f(x)=0

Si una ecuación tiene la forma g(x) = h(x), trasladamos todos los términos a un lado:

Las soluciones son los puntos donde ambas expresiones coinciden.

La forma elegida puede influir en la estabilidad y en el comportamiento de algunos métodos. Dos funciones con las mismas raíces no necesariamente producen los mismos residuos ni la misma convergencia.

03 · Aplicaciones

Raíces en problemas de programación

Ejemplo: altura de un objeto

Si h(t) = 20 + 15t − 4.9t² describe la altura en metros, el impacto con el suelo ocurre cuando h(t)=0. Además debemos imponer t ≥ 0, porque una raíz negativa no representa un tiempo posterior al lanzamiento.

04 · Interpretación geométrica

Raíces como cruces e intersecciones

En el gráfico de y=f(x), una raíz es un punto donde la curva alcanza el eje horizontal.

El gráfico permite estimar cantidad y ubicación de raíces, elegir intervalos y detectar comportamientos problemáticos. Sin embargo, una pantalla utiliza una cantidad finita de píxeles y muestras: una raíz estrecha, una oscilación rápida o una discontinuidad pueden pasar inadvertidas.

05 · Existencia garantizada

Continuidad y cambio de signo

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y los valores de los extremos tienen signos opuestos:

entonces existe al menos una raíz en (a,b). Es una consecuencia del Teorema del Valor Intermedio.

Ejemplo

Para f(x)=x³−x−2:

Como el polinomio es continuo y cambia de signo, sabemos que existe al menos una raíz entre 1 y 2.

const f = x => x ** 3 - x - 2;
const a = 1;
const b = 2;

console.log(f(a), f(b));
console.log(f(a) * f(b) < 0); // true

El cambio de signo garantiza al menos una raíz, pero no afirma que sea única. Para garantizar unicidad necesitamos información adicional, como monotonía estricta en el intervalo.

06 · Lo que el cambio de signo no detecta

Raíces pares y discontinuidades

Una raíz sin cambio de signo

La función f(x)=(x−1)² toca el eje en x=1 y vuelve a subir. Es positiva a ambos lados:

Un detector basado únicamente en signos puede omitir esta raíz de multiplicidad par.

Un cambio de signo sin raíz

La función f(x)=1/(x−1) cambia de signo alrededor de 1, pero no tiene una raíz allí: posee una discontinuidad vertical.

07 · Antes de evaluar

Dominio y restricciones del modelo

Un buscador de raíces debe respetar tanto el dominio matemático como las restricciones del problema.

• log(x) requiere x > 0.
• √x requiere x ≥ 0 si trabajamos con reales.
• Un denominador no puede ser cero.
• Tiempo, masa o cantidad pueden requerir valores no negativos.
• Un ángulo o una probabilidad puede estar limitado a un intervalo específico.

function modeloLogaritmico(x) {
  if (!(x > 0)) return NaN;
  return Math.log(x) + x - 2;
}

for (const x of [-1, 0, 0.5, 1, 2]) {
  console.log(x, modeloLogaritmico(x));
}

Devolver NaN permite que un explorador genérico descarte muestras fuera del dominio, pero una API también puede lanzar una excepción o describir explícitamente los intervalos válidos.

08 · Exploración numérica

Construir una tabla de valores

Una tabla permite localizar cambios de signo sin depender únicamente del gráfico. Elegimos un intervalo y un paso, evaluamos la función y observamos pares consecutivos.

function tablaDeValores(funcion, inicio, fin, paso) {
  if (!(paso > 0) || !(fin >= inicio)) {
    throw new Error("Intervalo o paso inválido");
  }

  const filas = [];
  const cantidad = Math.ceil((fin - inicio) / paso);

  for (let i = 0; i <= cantidad; i++) {
    const x = Math.min(inicio + i * paso, fin);
    filas.push({ x, y: funcion(x) });
  }
  return filas;
}

console.table(tablaDeValores(x => x ** 3 - x - 2, 0, 2, 0.25));

Calcular cada x desde el índice evita acumular repetidamente el error de sumar el paso. Aun así, los valores siguen siendo aproximaciones de punto flotante.

09 · Preparar el método

Aislar intervalos candidatos

Un intervalo de aislamiento contiene una raíz candidata y, idealmente, ninguna otra. Para detectar cambios de signo:

1. 1
   Elegir rango y paso.

   Usar información del modelo para limitar la exploración.

2. 2
   Evaluar muestras finitas.

   Descartar NaN e infinitos y registrar posibles discontinuidades.

3. 3
   Comparar signos consecutivos.

   Guardar [xᵢ,xᵢ₊₁] si el producto es negativo.

4. 4
   Detectar valores cercanos a cero.

   Considerar raíces tangentes que no cambian de signo.

5. 5
   Verificar continuidad y dominio.

   Un candidato no es todavía una garantía.

function intervalosConCambioDeSigno(funcion, inicio, fin, paso) {
  const intervalos = [];
  let xAnterior = inicio;
  let yAnterior = funcion(xAnterior);

  for (let x = inicio + paso; x <= fin + paso / 2; x += paso) {
    const actual = Math.min(x, fin);
    const yActual = funcion(actual);

    if (Number.isFinite(yAnterior) && Number.isFinite(yActual)
        && yAnterior * yActual < 0) {
      intervalos.push([xAnterior, actual]);
    }
    xAnterior = actual;
    yAnterior = yActual;
    if (actual === fin) break;
  }
  return intervalos;
}

console.log(intervalosConCambioDeSigno(
  x => Math.sin(3 * x) - 0.2, -3, 3, 0.1
));

10 · Resolución de búsqueda

Cómo influye el tamaño del paso

Un paso grande reduce evaluaciones, pero puede saltar sobre dos raíces próximas o no muestrear cerca de una raíz tangente. Un paso pequeño mejora la resolución y aumenta el costo.

Una estrategia adaptativa comienza con una exploración gruesa y refina las regiones donde:

• aparece un cambio de signo;
• el valor absoluto de la función disminuye mucho;
• la pendiente o curvatura parece elevada;
• hay valores no finitos o saltos grandes.

No existe un paso universal: debe relacionarse con la escala y frecuencia esperada del problema.

11 · Tipos de raíz

Raíces simples y múltiples

Una raíz r tiene multiplicidad m si la función contiene un factor (x−r)ᵐ.

Las raíces múltiples suelen ser más difíciles numéricamente: la función es plana cerca de la solución, el residuo puede ser pequeño sin gran precisión en x y algunos métodos pierden velocidad de convergencia.

12 · Evaluar un candidato

Residuo, intervalo y coherencia

Una aproximación r̃ debe verificarse desde varios ángulos:

Residuo

Comprobar que |f(r̃)| sea pequeño en la escala de la función.

Intervalo

Si existe un intervalo con garantía, verificar que la aproximación permanezca dentro.

Dominio

Confirmar que el valor sea matemáticamente válido y tenga sentido en el modelo.

Unicidad

Determinar si el intervalo puede contener otras raíces.

function verificarCandidato(funcion, candidato, toleranciaResiduo) {
  const valor = funcion(candidato);
  return {
    candidato,
    valorFuncion: valor,
    residuo: Math.abs(valor),
    aceptado: Number.isFinite(valor)
      && Math.abs(valor) <= toleranciaResiduo
  };
}

console.log(verificarCandidato(
  x => x ** 3 - x - 2,
  1.5213797068,
  1e-9
));

Un residuo pequeño no basta si la función está mal condicionada, pero es una comprobación imprescindible de la ecuación.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: localizar raíces candidatas

Elegí una función y un paso de muestreo. El laboratorio marca cambios de signo y muestras cercanas a cero. Probá especialmente la raíz doble y la discontinuidad.

Preguntas para explorar

1. Reducí el paso de la función oscilante. ¿Aparecen más intervalos?
2. ¿Por qué la raíz doble puede no producir un cambio de signo?
3. En la función discontinua, ¿un cambio de signo garantiza una raíz?
4. ¿Cómo cambia la mejor muestra al reducir el paso en la función cúbica?

14 · Diseño reutilizable

Separar exploración y resolución

Conviene dividir el proceso en componentes:

El explorador no debería afirmar que encontró raíces definitivas. Puede devolver objetos con evidencia y advertencias:

const candidato = {
  intervalo: [1.5, 1.75],
  tipo: "cambio_de_signo",
  valores: [-0.125, 1.609375],
  continuidadVerificada: false,
  requiereRefinamiento: true
};

Luego un método como bisección, falsa posición o Newton-Raphson utiliza esa información según sus propios requisitos. Esta separación facilita cambiar estrategias y conservar diagnósticos.

15 · Comprensión

Confusiones frecuentes

16 · Práctica guiada

Ejercicios

Ejercicio 1: formular una raíz

Transformá eˣ = 3x en un problema f(x)=0 de dos maneras.

Ejercicio 2: cambio de signo

Para f(x)=x³−4x+1, evaluá f(0), f(1), f(2) y f(3). Identificá intervalos con raíces garantizadas por continuidad.

Ejercicio 3: raíz sin cambio de signo

Explicá por qué f(x)=(x+2)²(x−1) puede presentar una raíz que un escaneo de signos no detecte.

Ejercicio 4: discontinuidad

La función f(x)=tan(x) tiene signos opuestos cerca de π/2. ¿Por qué no podemos aplicar directamente el Teorema del Valor Intermedio?

Ejercicio 5: programar un explorador

Modificá el buscador de intervalos para registrar también muestras con |f(x)| ≤ toleranciaMuestra.

function explorarRaices(funcion, inicio, fin, paso, toleranciaMuestra) {
  const cambios = [];
  const cercanas = [];
  let anterior = { x: inicio, y: funcion(inicio) };

  for (let x = inicio; x <= fin + paso / 2; x += paso) {
    const actualX = Math.min(x, fin);
    const actual = { x: actualX, y: funcion(actualX) };

    if (Number.isFinite(actual.y)
        && Math.abs(actual.y) <= toleranciaMuestra) {
      cercanas.push(actual);
    }
    if (Number.isFinite(anterior.y) && Number.isFinite(actual.y)
        && anterior.y * actual.y < 0) {
      cambios.push([anterior.x, actual.x]);
    }
    anterior = actual;
    if (actualX === fin) break;
  }
  return { cambios, cercanas };
}

17 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos el método de bisección, que utiliza un intervalo continuo con cambio de signo para reducir sistemáticamente la región que contiene una raíz.