Derivadas laterales y extremos del dominio

01 · Separar las direcciones

Dos caminos hacia el mismo punto

La definición bilateral de derivada utiliza incrementos h positivos y negativos. En un punto interior del dominio podemos estudiar cada conjunto por separado:

Cada dirección produce una derivada lateral. Compararlas permite detectar esquinas y también trabajar en extremos donde solo existen entradas vecinas de un lado.

02 · Definiciones formales

Derivada izquierda y derivada derecha

La derivada por izquierda de f en a es:

La derivada por derecha es:

También pueden escribirse usando un punto móvil x:

Los subíndices − y + indican el lado de aproximación, no el signo que tendrá la pendiente.

03 · Criterio bilateral

Cuándo se forma una única derivada

En un punto interior del dominio:

La igualdad debe ser exacta a nivel de límites. En una exploración numérica veremos aproximaciones cercanas, no necesariamente números idénticos.

04 · Una esquina

Derivadas laterales de |x| en cero

Para f(x) = |x| y a = 0, el cociente incremental es |h|/h.

Las dos derivadas laterales existen y son finitas, pero no coinciden. Por eso f′(0) no existe. Geométricamente, cada lado de la esquina tiene una dirección diferente.

05 · Punto de unión

Usar la fórmula correspondiente a cada lado

Consideremos la función continua:

Como f(0) = 0, analizamos:

La función es continua en cero, pero las pendientes laterales difieren. Este análisis confirma que continuidad no basta para derivabilidad.

06 · Dominios cerrados o acotados

Qué ocurre en un extremo

Supongamos que f está definida en el intervalo cerrado [a, b]. En el extremo izquierdo a no hay entradas del dominio inmediatamente a la izquierda; en el extremo derecho b no las hay a la derecha.

Por ejemplo, si f(x) = x² está restringida a [0, 3], entonces:

No exigimos lados que no pertenecen al dominio. Las derivadas laterales describen el comportamiento accesible desde el interior del intervalo.

07 · Convenciones de vocabulario

¿Es derivable en el extremo?

Existen dos convenciones habituales:

Convención bilateral estricta

La palabra «derivada» se reserva para puntos interiores; en los extremos solo se habla de derivada lateral.

Derivabilidad relativa al dominio

Una función puede llamarse derivable en un extremo si existe la derivada desde el único lado disponible.

En este curso escribiremos explícitamente derivada derecha en el extremo izquierdo y derivada izquierda en el extremo derecho. Así evitamos ambigüedades y dejamos claro qué límite se calculó.

08 · Un extremo con pendiente sin cota

La raíz cuadrada en cero

La función f(x) = √x tiene dominio [0, ∞). En el extremo izquierdo solo podemos calcular el cociente derecho:

Cuando h → 0⁺, el cociente crece sin cota. El gráfico tiene una tangente vertical en el origen, pero no existe una derivada lateral real finita.

Esto muestra que disponer de un solo lado no garantiza automáticamente una derivada lateral: el límite correspondiente todavía debe existir como número finito.

09 · Puntos sin vecinos continuos

El dominio debe permitir aproximaciones

La derivada requiere entradas del dominio arbitrariamente cercanas al punto. Si una función solo está definida en números enteros, no podemos hacer h → 0 conservando a + h en el dominio, salvo usando finalmente h = 0, que está prohibido.

En datos discretos podemos calcular diferencias entre muestras, pero esas diferencias no son derivadas en el sentido continuo. Esta distinción es importante al modelar arreglos, secuencias temporales muestreadas o índices enteros.

10 · Ejemplo para programadores

La función ReLU y su esquina

La unidad lineal rectificada, utilizada en redes neuronales, se define por:

Equivale a 0 para x ≤ 0 y a x para x > 0. En cero:

La derivada bilateral no existe. En implementaciones de aprendizaje automático suele elegirse por convención un valor como 0 en ese punto para continuar el algoritmo. Esa elección computacional no cambia el hecho matemático de que las derivadas laterales difieren.

const relu = x => Math.max(0, x);

function derivadaReluConvencional(x) {
  if (x < 0) return 0;
  if (x > 0) return 1;
  return 0; // Convención del programa, no derivada bilateral
}

console.log(relu(-2), relu(0), relu(3));

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: disponibilidad y coincidencia lateral

Elegí un modelo y reducí |h|. El laboratorio distingue lados ausentes del dominio, pendientes laterales finitas y tendencias sin cota.

La secante violeta utiliza puntos de la izquierda y la coral puntos de la derecha. Un lado no se dibuja cuando no pertenece al dominio.

Preguntas para explorar

1. En |x|, verificá que reducir |h| no cambia las pendientes.
2. En x², observá cómo las pendientes laterales se aproximan al mismo valor.
3. En la función por partes, compará las dos fórmulas activas cerca del punto.
4. En los modelos con dominio x ≥ 0, explicá por qué no aparece el lado izquierdo.
5. Compará el extremo lineal con la raíz cuadrada: tener un lado disponible no garantiza un límite finito.

12 · Implementación

Explorar un lado sin inventar el otro

Una función puede recibir el lado de aproximación y comprobar si las evaluaciones pertenecen al dominio:

function cocienteLateral(f, perteneceAlDominio, a, h, lado) {
  if (h <= 0) throw new Error("h debe ser positivo");
  if (!perteneceAlDominio(a)) return null;

  const incremento = lado === "derecha" ? h : -h;
  const vecino = a + incremento;

  if (!perteneceAlDominio(vecino)) return null;

  return (f(vecino) - f(a)) / incremento;
}

const raiz = x => Math.sqrt(x);
const dominioRaiz = x => x >= 0;

console.log(cocienteLateral(raiz, dominioRaiz, 0, 0.01, "izquierda")); // null
console.log(cocienteLateral(raiz, dominioRaiz, 0, 0.01, "derecha"));   // 10

Comparar resultados estructurados

function compararLaterales(izquierda, derecha, tolerancia = 1e-6) {
  if (izquierda === null || derecha === null) {
    return { bilateral: false, motivo: "un lado no está disponible" };
  }

  const coinciden = Math.abs(izquierda - derecha) <= tolerancia;
  return {
    bilateral: coinciden,
    motivo: coinciden ? "pendientes compatibles" : "pendientes diferentes"
  };
}

console.log(compararLaterales(-1, 1));
console.log(compararLaterales(2.0000001, 1.9999999));

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: comparar lados

Una función tiene f′₋(2) = 5 y f′₊(2) = 5. Ambas son finitas. ¿Qué podés concluir?

Ejercicio 2: detectar una esquina

En un punto interior, la derivada izquierda vale −2 y la derecha 3. Interpretá el resultado.

Ejercicio 3: extremo de un intervalo

La función f(x) = 2x + 4 está restringida a [1, 5]. Calculá las derivadas laterales pertinentes en los extremos.

Ejercicio 4: unión por partes

Una función vale 2x para x ≤ 0 y x² para x > 0. Analizá continuidad y derivabilidad en cero.

Ejercicio 5: representar un lado ausente

Completá la función para que no confunda un lado ausente con pendiente cero.

function pendienteDisponible(valor, disponible) {
  if (!disponible) return null; // conservar ausencia
  return valor;
}

const izquierda = pendienteDisponible(0, false);
const derecha = pendienteDisponible(3, true);

console.log({ izquierda, derecha });

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema reuniremos los distintos mecanismos que hacen que una función no sea derivable: discontinuidades, esquinas, cúspides, tangentes verticales y oscilaciones.