Regla de la cadena

01 · Funciones dentro de funciones

El cambio viaja por una cadena de dependencias

Una composición aparece cuando la salida de una función se convierte en la entrada de otra. Si g actúa primero y f después:

Un cambio en x modifica g(x); ese cambio intermedio modifica a su vez f(g(x)). La tasa total combina ambos efectos:

02 · Leer de adentro hacia afuera

Identificar qué ocurre primero

En F(x)=(x²+1)⁵, la potencia quinta no recibe directamente x: recibe la expresión x²+1. Podemos introducir una variable intermedia:

El orden de escritura puede confundir: la función exterior aparece visualmente por fuera, pero se evalúa después. Para descomponer, preguntá «¿qué expresión completa está ocupando el lugar de la variable en la fórmula exterior?».

03 · Fórmula fundamental

Derivar afuera, evaluar adentro y multiplicar

Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces la composición es derivable y:

La notación de Leibniz ayuda a visualizar las variables intermedias. Si y=f(u) y u=g(x):

Los símbolos sugieren una cancelación de du, pero no son fracciones ordinarias. La igualdad es una forma compacta de la regla de la cadena y debe justificarse mediante derivadas.

04 · Por qué se multiplican las tasas

Descomponer el cociente incremental

En un punto a, consideremos F=f∘g. Cuando g(a+h) ≠ g(a), podemos escribir:

El primer factor mide el cambio de f respecto de su entrada intermedia; el segundo mide el cambio de g respecto de x. Al tomar el límite, tienden a f′(g(a)) y g′(a).

Para cubrir también incrementos en los que g(a+h)=g(a), definimos una función auxiliar:

La existencia de f′(g(a)) hace que φ(t) → f′(g(a)) cuando t → 0. Entonces el cociente de la composición puede escribirse como:

Sus factores tienden a f′(g(a)) y g′(a), respectivamente. Esto demuestra la regla sin dividir necesariamente por un incremento intermedio que podría valer cero.

05 · Patrón esencial

Potencia de una función

Para F(x)=[g(x)]ⁿ, la función exterior es f(u)=uⁿ, cuya derivada es nuⁿ⁻¹. La cadena produce:

Volvamos a F(x)=(x²+1)⁵:

1. 1
   Interior.

   g(x)=x²+1 y g′(x)=2x.

2. 2
   Exterior.

   f(u)=u⁵ y f′(u)=5u⁴.

3. 3
   Evaluar afuera en adentro.

   f′(g(x))=5(x²+1)⁴.

4. 4
   Multiplicar por la derivada interior.

   F′(x)=5(x²+1)⁴·2x=10x(x²+1)⁴.

06 · Diferentes funciones interiores

La misma capa exterior, distintos factores internos

El signo del resultado puede depender por completo de la capa interior. En el tercer ejemplo, el signo negativo no proviene de la potencia cúbica sino de derivar 5−x².

La forma factorizada suele comunicar mejor el origen de cada factor y evita expansiones innecesarias.

07 · Cadena más larga

Una derivada por cada capa

Consideremos:

Hay tres transformaciones relevantes:

Derivamos desde la capa exterior hacia la interior, conservando las expresiones que aún no toca derivar:

Podemos simplificar los coeficientes:

Cada flecha de dependencia aporta un factor. Si falta uno, la cadena quedó interrumpida antes de llegar a x.

08 · Elegir la regla correcta

Composición no es producto

Los paréntesis pueden encerrar un producto o la entrada de una función exterior. Hay que reconocer la operación principal.

Las reglas pueden combinarse. Para H(x)=x²(x+1)³:

En el segundo aporte usamos cadena para derivar (x+1)³; su derivada interior es 1 y no altera visualmente el resultado.

09 · Evaluar una composición

La derivada exterior se consulta en g(a)

La fórmula puntual es:

Supongamos que g(2)=3, g′(2)=−4 y f′(3)=5. Entonces:

No necesitamos f′(2). La función exterior recibe g(2)=3, por lo que su derivada debe evaluarse en ese valor intermedio.

10 · Estrategia de cálculo

Seguir las capas sin perder factores

1. 1
   Detectar la operación exterior.

   Preguntá cuál es la última transformación aplicada.

2. 2
   Nombrar la expresión interior.

   Usá u=g(x) si ayuda a hacer visible la estructura.

3. 3
   Derivar la exterior.

   Tratando temporalmente a u como una sola variable.

4. 4
   Volver a sustituir.

   Reemplazá u por la expresión interior completa.

5. 5
   Multiplicar por u′.

   Continuá hacia adentro si hay más capas.

6. 6
   Verificar la cadena.

   Cada dependencia variable debe haber aportado su derivada.

La regla puede pensarse como un recorrido inverso: la función se evalúa de adentro hacia afuera, pero su derivada se construye reconociendo capas desde afuera hacia adentro.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: multiplicar tasas encadenadas

Elegí una composición, mové el punto a y reducí h. El laboratorio separa el factor exterior f′(g(a)) del factor interior g′(a) y compara su producto con una secante.

La curva amarilla representa la composición, la recta coral es una secante entre a y a+h, y la recta violeta es la tangente obtenida por la regla de la cadena.

Preguntas para explorar

1. Buscá puntos donde la derivada interior sea cero. ¿Qué ocurre con la derivada total?
2. En (2x−1)⁴, ¿por qué el factor interior siempre vale 2?
3. Elegí la composición anidada. ¿Cuántas capas contribuyen al resultado?
4. Reducí h. ¿Cómo evoluciona la secante respecto del producto exacto?

12 · Componer pares derivables

Programar la regla de la cadena

Representamos cada función mediante su valor y su derivada. El combinador de composición evalúa primero la función interior:

function funcionDerivable(valor, derivada) {
  return { valor, derivada };
}

function componer(exterior, interior) {
  return funcionDerivable(
    x => exterior.valor(interior.valor(x)),
    x => exterior.derivada(interior.valor(x)) *
         interior.derivada(x)
  );
}

const cubo = funcionDerivable(
  u => u ** 3,
  u => 3 * u ** 2
);

const cuadraticaMasUno = funcionDerivable(
  x => x ** 2 + 1,
  x => 2 * x
);

const f = componer(cubo, cuadraticaMasUno);
console.log(f.valor(1));     // 8
console.log(f.derivada(1)); // 24

El orden de los argumentos importa: componer(exterior, interior) representa exterior ∘ interior. Intercambiarlos suele producir una función diferente.

Componer varias capas

function componerCadena(...funciones) {
  if (funciones.length === 0) {
    return funcionDerivable(x => x, () => 1);
  }
  return funciones.reduceRight((interior, exterior) =>
    componer(exterior, interior)
  );
}

const sumarUno = funcionDerivable(x => x + 1, () => 1);
const cuadrado = funcionDerivable(x => x ** 2, x => 2 * x);

// sumarUno(cuadrado(sumarUno(x))) = (x + 1)² + 1
const anidada = componerCadena(sumarUno, cuadrado, sumarUno);
console.log(anidada.valor(2));     // 10
console.log(anidada.derivada(2)); // 6

13 · Árboles y dependencias

Una composición produce producto y sustitución

En un árbol simbólico, un nodo de composición contiene una función exterior y una expresión interior. Su derivada necesita derivar la exterior, sustituir su variable y multiplicar por la derivada interior:

const composicion = (exterior, interior) =>
  ({ tipo: "composicion", exterior, interior });

const producto = (izquierda, derecha) =>
  ({ tipo: "producto", izquierda, derecha });

function derivarComposicion(nodo, derivar, sustituir) {
  const derivadaExterior = derivar(nodo.exterior);
  const evaluadaEnInterior = sustituir(
    derivadaExterior,
    "u",
    nodo.interior
  );

  return producto(
    evaluadaEnInterior,
    derivar(nodo.interior)
  );
}

La sustitución es crucial. No basta guardar f′: hay que evaluarla en el nodo interior completo. Esta misma estructura aparece en diferenciación automática, donde un grafo computacional propaga derivadas a través de cada operación.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: potencia de una función lineal

Derivá F(x)=(4x−3)⁶.

Ejercicio 2: interior polinómica

Calculá la derivada de G(x)=(x⁴−2x+1)³.

Ejercicio 3: datos en puntos diferentes

Si g(1)=4, g′(1)=−2 y f′(4)=3, hallá (f∘g)′(1).

Ejercicio 4: tres capas

Derivá H(x)=[(x²+2)³−1]⁵.

Ejercicio 5: producto y cadena

Derivá Q(x)=x³(x²+1)⁴.

Ejercicio 6: completar la composición

Completá la derivada en el combinador.

function componer(f, g) {
  return {
    valor: x => f.valor(g.valor(x)),
    derivada: x => null // completar
  };
}

function componer(f, g) {
  return {
    valor: x => f.valor(g.valor(x)),
    derivada: x =>
      f.derivada(g.valor(x)) * g.derivada(x)
  };
}

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema extenderemos la regla de la potencia a raíces y exponentes racionales, prestando especial atención al dominio.