Razón de cambio promedio

01 · De la idea al cálculo

Resumir un intervalo con una razón

En el tema anterior vimos que una razón de cambio compara la variación de una salida con la variación de su entrada. Ahora formalizaremos esa idea para una función f observada entre dos valores distintos, x₁ y x₂.

La sigla RCP significa razón de cambio promedio. El numerador mide el cambio total de la función y el denominador mide el ancho del intervalo. El cociente distribuye conceptualmente el cambio total entre las unidades de entrada recorridas.

02 · Dos formas equivalentes

Extremos del intervalo o incremento h

La fórmula puede escribirse usando los dos extremos a y b:

También podemos describir el extremo final como a + h, donde h es el incremento de entrada:

Ambas expresiones son iguales porque b = a + h y, por lo tanto, b − a = h. La segunda forma recibe el nombre de cociente incremental y será especialmente importante al construir la derivada.

03 · Método paso a paso

Calcular sin perder el significado

Calculemos la razón de cambio de f(x) = x² + 1 en el intervalo [2, 5].

1. Evaluamos: f(2) = 2² + 1 = 5 y f(5) = 5² + 1 = 26.
2. Calculamos el cambio de salida: Δy = 26 − 5 = 21.
3. Calculamos el cambio de entrada: Δx = 5 − 2 = 3.
4. Dividimos: Δy/Δx = 21/3 = 7.

La salida de la función aumenta, en promedio, 7 unidades por cada unidad que aumenta x entre 2 y 5. Esta oración comunica el intervalo, la dirección y el significado del resultado.

04 · Cambio constante

Las funciones lineales conservan su razón

Sea f(x) = mx + c. Su razón de cambio entre dos entradas cualesquiera es:

Los términos c se cancelan y el numerador queda m(x₂ − x₁). Siempre que x₂ ≠ x₁:

Por eso, en una función lineal, la razón de cambio promedio es siempre su pendiente m, sin importar qué intervalo elijamos. El término independiente c desplaza el gráfico verticalmente, pero no cambia su inclinación.

05 · Cambio variable

En una curva, el intervalo importa

Para f(x) = x², la razón de cambio entre a y b puede simplificarse mediante diferencia de cuadrados:

El resultado depende de los extremos. Esto confirma algebraicamente que x² no crece a un ritmo constante:

Todos los intervalos tienen ancho 1, pero la salida aumenta cada vez más. Una función no lineal puede tener razones positivas, negativas o nulas en diferentes regiones.

06 · Orden de los extremos

Invertir el recorrido no cambia la razón

Si intercambiamos x₁ y x₂, tanto el numerador como el denominador cambian de signo:

Los dos signos negativos se cancelan. Por ejemplo, para f(x) = x²:

La pendiente entre dos puntos no depende del orden en que los nombremos. El signo de la razón describe la relación entre las variables, no simplemente el sentido elegido para recorrer el intervalo.

07 · Lectura gráfica

Una secante resume los extremos

Los puntos P = (a, f(a)) y Q = (b, f(b)) determinan una recta secante. Su pendiente coincide con la razón de cambio promedio:

La secante reemplaza el comportamiento posiblemente curvo del intervalo por una recta con el mismo cambio neto entre los extremos. Es un resumen útil, pero no afirma que la función siga esa recta entre P y Q.

• Si Q está por encima de P, la pendiente es positiva.
• Si ambos puntos tienen la misma altura, la pendiente es cero.
• Si Q está por debajo de P, la pendiente es negativa.

En el tema siguiente estudiaremos con mayor profundidad cómo construir, comparar e interpretar rectas secantes.

08 · Interpretar con contexto

El número necesita unidades

Las unidades de una razón de cambio se obtienen dividiendo las unidades de la salida por las de la entrada. Cambiar las unidades puede cambiar el valor numérico sin cambiar el fenómeno.

Movimiento

Si la posición está en kilómetros y el tiempo en horas, la razón se expresa en km/h.

Rendimiento

Si el tiempo está en milisegundos y la carga en usuarios, se expresa en ms/usuario.

Transferencia

Si los datos están en megabytes y el tiempo en segundos, se expresa en MB/s.

Temperatura

Si se mide en grados Celsius a lo largo de minutos, se expresa en °C/min.

Una velocidad de 72 km/h y una de 20 m/s son iguales físicamente. Comparar razones exige convertirlas primero a unidades compatibles.

09 · Casos computacionales

Promedios que describen sistemas

La razón promedio aparece al medir procesos que cambian entre dos observaciones:

Estas razones permiten comparar ejecuciones de distinta duración o intervalos de distinto tamaño. Aun así, un promedio puede ocultar picos, pausas y oscilaciones; cuando esos detalles importan, debemos usar intervalos más cortos o conservar todas las muestras.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: comparar intervalos

Elegí una función, mové el punto inicial a y cambiá el incremento h. El laboratorio evalúa f(a) y f(a + h), calcula el cociente incremental y dibuja la secante correspondiente.

La curva amarilla representa la función. Los puntos P y Q marcan los extremos; la recta violeta es la secante cuya pendiente coincide con la razón promedio.

Preguntas para explorar

1. Con f(x) = x², mantené a = 1 y reducí h. ¿Cómo cambia la razón?
2. Elegí la función lineal y modificá ambos controles. ¿Qué valor permanece constante?
3. En la función cúbica, buscá un intervalo cuya razón sea negativa y otro cuya razón sea positiva.
4. En el modelo decreciente, explicá la relación entre el signo de Δy y la inclinación de la secante.

11 · Implementación

Una función segura y reutilizable

Además de impedir la división por cero, una implementación reutilizable puede comprobar que las evaluaciones produzcan números finitos:

function razonPromedio(funcion, a, b) {
  if (!Number.isFinite(a) || !Number.isFinite(b)) {
    throw new TypeError("Los extremos deben ser números finitos");
  }
  if (a === b) {
    throw new RangeError("El intervalo debe tener ancho distinto de cero");
  }

  const fa = funcion(a);
  const fb = funcion(b);

  if (!Number.isFinite(fa) || !Number.isFinite(fb)) {
    throw new RangeError("La función debe estar definida en ambos extremos");
  }

  return (fb - fa) / (b - a);
}

const f = x => x ** 2 + 1;
console.log(razonPromedio(f, 2, 5)); // 7

Calcular razones entre muestras consecutivas

Cuando los datos provienen de sensores o registros, podemos obtener una razón para cada par consecutivo. No es necesario que los intervalos tengan el mismo ancho.

function razonesConsecutivas(muestras) {
  const resultados = [];

  for (let i = 1; i < muestras.length; i++) {
    const anterior = muestras[i - 1];
    const actual = muestras[i];
    const deltaTiempo = actual.t - anterior.t;

    if (deltaTiempo === 0) continue;

    resultados.push({
      desde: anterior.t,
      hasta: actual.t,
      razon: (actual.valor - anterior.valor) / deltaTiempo
    });
  }

  return resultados;
}

const memoria = [
  { t: 0, valor: 120 },
  { t: 2, valor: 132 },
  { t: 5, valor: 141 },
  { t: 9, valor: 137 }
];

console.log(razonesConsecutivas(memoria));

Las razones son 6 MB/s, 3 MB/s y −1 MB/s. El último signo negativo indica que el proceso liberó memoria durante ese intervalo.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: aplicar la fórmula

Calculá la razón de cambio promedio de f(x) = 2x² − 3 en [1, 4].

Ejercicio 2: usar el cociente incremental

Para f(x) = x², simplificá [f(a + h) − f(a)]/h, suponiendo h ≠ 0.

Ejercicio 3: interpretar datos

La latencia de una API pasa de 140 ms con 50 usuarios a 260 ms con 110 usuarios. Calculá e interpretá la razón promedio.

Ejercicio 4: corregir signos

Una persona calcula [f(5) − f(2)] / (2 − 5). ¿Qué problema tiene la expresión?

Ejercicio 5: programar intervalos

Completá una función que devuelva las razones de cambio de f para una lista de intervalos.

function analizarIntervalos(f, intervalos) {
  return intervalos.map(([a, b]) => ({
    intervalo: [a, b],
    razon: null // Reemplazar con el cálculo
  }));
}

function analizarIntervalos(f, intervalos) {
  return intervalos.map(([a, b]) => {
    if (a === b) throw new Error("Intervalo de ancho cero");

    return {
      intervalo: [a, b],
      razon: (f(b) - f(a)) / (b - a)
    };
  });
}

const f = x => x ** 2;
console.log(analizarIntervalos(f, [[0, 1], [1, 2], [2, 3]]));

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema profundizaremos en las rectas secantes y sus pendientes, conectando el cálculo algebraico con la construcción geométrica sobre el gráfico.